2020-2021北京各区高三二模数学数列与创新压轴题分类汇编

2020-2021北京各区高三二模数学数列与创新压轴题分类汇编数列与创新压轴题（2020■丰台高三二模）已知数列理：的前n项和S=n2-n，则a+a=TOC\o"1-5"\h\zn23（A）3（B）6（C）7（D）8（2020■海淀二模）数列a中，a2,a2a,nN*.若其前k项和为126,则k.n1n+1n==G=（2020・西城咼三（下）6月模拟）在等差数列｛a｝中，若a+a=16,a=1，则a=n1251；使得数列｛a｝前n项的和S取到最大值的n=.nn（2020■昌平高三二模）设是等差数列，且勺/，晞=讯-‘，则数列9｝的前n项和比-.（2020■丰台高三二模）天干地支纪年法（简称干支纪年法）是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.天干有十，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；地支有十二，即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.干支纪年法中，天干地支对应的规律如下表：天干甲乙丙丁戊己庚辛壬癸甲乙丙-…地支子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥子-…干支纪年甲子年乙丑年丙寅年丁卯年戊辰年己巳年庚午年辛未年壬申年癸酉年甲戌年乙亥年丙子年-…2049年是新中国成立100周年.这一百年，中国逐步实现中华民族的伟大复兴.使用干支纪年法，2049年是己巳年，则2059年是年；使用干支纪年法可以得到种不同的干支纪年.（2020■密云高三二模）已知鸟是数列UJ的前n项和，且乞=旳2_11風応眄，贝间=,4的最小值为.（2020■海淀二模）（本小题共14分）已知｛a｝是公差为d的无穷等差数列，其前n项和为S.又，且S=40，是否存在大于1nn5的正整数k，使得S=S?若存在，求k的值；若不存在，说明理由.k1从①a1=4，②d=-2这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。（2020■西城高三二模）（本小题满分14分）从①前n项和S=n2+p（pgR），②a=a-3，③a=11且2a=a+a这三个条件中任nnn+16n+1nn+2选一个，补充到下面的问题中，并完成解答.在数列｛a｝中，a=1，，其中ngN*.n1（I）求｛a｝的通项公式；n（II）若a,a,a成等比数列，其中m,ngN*，且m>n>1，求m的最小值.1nm注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（2020■东城高三二模）（本小题14分）已知｛a｝为等比数列，其前n项和为S，且满足a=1，S=3a+1-｛b｝为等差数列，其nn332n前n项和为T，如图，T的图象经过A,B两个点.nn（I）求S；n（II）若存在正整数n，使得b>s，求n的最小值.nn从图①，图②，图③中选择一个适当的条件，补充在上面问题中并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。nn图①图②图③（2020■朝阳高三二模）（本小题14分）已知｛a｝是公差为d的等差数列，其前n项和为S，且a二1,.若存在正整数n,nn5使得S有最小值.n（I）求｛a｝的通项公式；n（II）求S的最小值.n从①a3=-1,②d=2,③d=-2这三个条件中选择符合题意的一个条件，补充在上面问题中并作答.（2020■丰台高三二模）（本小题共14分）已知等差数列｛a｝的前n项和为S，a=2，S=20nn15（I）求数列｛a｝的通项公式；（II）若等比数列｛b｝满足a+b=9，且公比为q，从①q二2:②1；③q=_1这三n44q=2个条件中任选一个作为题目的已知条件，求数列｛a_b｝的前n项和T-nnn注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（2020■房山高三二模）（本小题14分）已知数列｛a｝的前n项和为s，a=1，•是否存在正整数k（k>1），使得a,a,s成nn11kk+2等比数列？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.从①a_2a=0，②S=S+n（n三2），③S二n2这三个条件中任选一个，补充在上面n+1nnn_1n问题中并作答．（2020■海淀二模）（本小题共14分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点•对任意的点P(xy)，定义||OP||=|xI+1y|•任取点A(x,y),B(x,y)'记A'(x,y),B'(x,y)'右此时||OAII2+||OBII2>IIOA'II2+IIOB'II2成立'则称11221221点A,B相关.分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由；①A(-2,1)0(3,2)；②C(4,—3),D(2,4)•给定n&N*，n>3，点集。二{(x,y)I-n<x<n,-n<y<n,x,yeZ}.n求集合0中与点A(1,]相关的点的个数；n若su°，且对于任意的A,BeS，点A,B相关，求S中元素个数的最大值.n14．(2020西城高三二模)(本小题满分14分)TOC\o"1-5"\h\z设N为正整数，区间I=[a,a+1](其中aeR,k=1,2,,N)同时满足下列两个条件:kkkk对任意xe[0,100]，存在k使得xeI;k•…对任意ke{1,2,,N}，存在xe[0,100]，使得x电I(其中i=1,2,,k-1,k+1,,N)・i判断a(k=1;2,,N)能否等于k-1或k-1;(结论不需要证明).…k2求N的最小值;…研究N是否存在最大值，若存在，求出N的最大值；若不在在，说明理由.15.(2020-东城高三二模)(本小题14分)设数列：A：a,a,,a,B：b,b,,b.已知a,be(01}(i=1,2,,n;j=1,2,,n),12n12nij・・・(xx-x「11121n\1a=b,……定义nxn数表X(A,B)=xx・・・x，其中x21222n={ij::::ij10a丰b,ijJxn1xn2・・・xJnn(I)若A:1,1丄0,B:0,1,0,0,写出X(A,B);(II)若A,B是不同的数列，求证：nxn数表X(A,B)满足“x=xijji(i=1,2,,n;j=1,2,,n;i丰j)”的充分必要条件为“a+b=1(k=1,2,,n)”;kkn2(III)若数列A与B•中的1共有n个，求证：nxn数表X(A,B)中1的个数不大于y•16.(2020-朝阳高三二模)(本小题15分)已知函数f(x)=2sinx-xcosx-ax(aeR).若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线的斜率为1.求a的值；证明：函数f(x)在区间(0,兀)内有唯一极值点；当a<1时，证明对任意xe(0,兀),f(x)>0.17.（2020西城高三（下）6月模拟）（本小题满分14分）如图，表1是一个由40疋0个非负实数组成的40行20列的数表，其中am1,2,,40n1,2,,20表示位于第m行第n列的数•将表1中每一列的数都按从m,n大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即bb，其i,ji1,j中i1,2,,39;j1,2,,20）.表1a1,1a1,2•••a1,20aaa2,12,22,0•暑••*e•••«*«aaa40,140,240,20表2b1,1b1,2b1,20bb•••b2,12,22,0•*«•*e•*«bb•••b40,140,240,20（I）判断是否存在表1,使得表2中的bi1,2,,40;j1,2,,20等于100ij?等于i,ji2j呢？（结论不需要证明）（II）如果b】，且对于任意的i1,2,,39;j1,2,,20,都有bb1成立,对于任40,20i,ji1,j意的m1,2,,40n1,2,,19,都有bb2成立,证明：b78;m,nm,n11,1(Ill)若a+a+…+a<19(i=1,2,…,40),求最小的正整数k,使得任给i'k,都有i,1i,2i,20b+b+…+b<19成立.i,1i,2i,20（2020-昌平高三二模）（本小题14分）已知有限数列E，从数列3」中选取第《项、第"项、…、第J项％5㈡…5），顺次排列构成数列®｝，其中®=吆,105，则称新数列①｝为（毎〕的长度为尬的子列.规定：数列的任意一项都是0｝的长度为1的子列.若数列匕｝的每一子列的所有项的和都不相同，贝u称数列为完全数列.设数列0｝满足吗（I）判断下面数列3“｝的两个子列是否为完全数列，并说明由；数列⑴：？C"9‘11；数列⑵：2,4,8,16.（II）数列的子列卩」长度为应，且为完全数列，证明：和的最大值为6；（III）数列的子列也｝长度用事,且｛吩为完全数列,丄（III）数列的子列也｝长度用事,且｛吩为完全数列,丄如的最大值.（2020-丰台高三二模）（本小题共14分）已知无穷集合A,B,且A匸N,B匸N，记A+B=（a+b\aeA,beb｝,定义:满足N*o（A+B）时，则称集合A,B互为“完美加法补集”・(I)已知集合A={a|a=2m+1,meN},B={b|b=2n,neN}•判断2019和2020是否属于集合A+B，并说明理由；I)设集合A=｛xI)设集合A=｛xx=£+£X2+£X24+024+£x2万+2i+£x2,£=0,1f=0,1,,s,se2s2i+£X22s-1,£•2s-1:；=0,1i=1,,s,seN*+£X22s-1,£•2s-1:；=0,1i=1,,s,seN*}.2i-「132i-1(i)求证：集合A,B互为“完美加法补集”；(ii)记A(n)和B(n)分别表示集合A,B中不大于n(neN*)的元素个数，写出满足A(n)B(n)=n+1的元素n的集合.(只需写出结果，不需要证明)（2020-房山高三二模）（本小题14分）已知集合P的元素个数为3n（nEN*）且元素均为正整数，若能够将集合P分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合A，B，C，即p=abc，ab=0，ac=0，BC=0，其中A={a,a,,a}，B={b,b,,b}，Q={c,c,Qc}，且满足12n12n12nc<c<<c，a+b=c，k=1,2,,n，则称集合P为“完美集合”.12nkkk（I）若集合p={1,2,3}，Q={1,2,3,4,5,6}，判断集合P和集合Q是否为“完美集合”？••••••并说明理由；（11）已知集合P={1,x,3,4,5,6}为“完美集合”，求正整数x的值；（III）设集合p={x|1§x§3n,neN*}，证明：集合P为“完美集合”的一个必要条件是n=4k或n=4k+1（neN*）-（2020-密云高三二模）（本小题满分14分）设n为正整数，集合A