美国大学的留学申请问题模型-张悦舟

数学建模竞赛论文论文题目:美国大学留学申请问题模型参赛队员信息：姓名年级专业参赛队员1张悦舟2023级数学与应用数学参赛队员2景茂轩2023级数学与应用数学参赛队员3张丽君2023级数学与应用数学摘要本文主要研究美国大学的留学申请问题，通过对申请人的具体情况进行分析，结合往年美国各大学的录取数据，建立数学模型，帮助申请人合理地申报学校。问题一，我们通过层次分析法，使用判定矩阵计算出了是否跨专业、GPA、GRE分数、托福分数以及班级/专业排名这五项影响因素对大学录取学生的影响权重。再给出了各项影响因素的评分标准，结合申请人的实际情况算出了该生的综合素质分。接着算出申请人的备选学校历年录取学生的平均综合素质分，通过正态统计模型计算出了该申请人被录取的概率。并通过华盛顿大学的案例进行说明。此外，增加了申请人是否发表过相关专业论文和是否参加了竞赛并获奖两个影响因素，进行了模型扩展。问题二，我们建立了在有限的资金约束下，使申请人至少被一所大学录取的概率最大化的最优化模型。通过对一名学生的实际情况和美国大学历年录取数据进行比较，选出12所备选学校，用问题一的模型计算出了该学生被各个大学录取的概率，再使用该最优化模型得出了该学生的最佳申请方案。问题三，首先我们将申请模型分为冲刺层级和保底层级。保底层级的学校选择是在保证一定录取概率的约束下，使申请费最小化的优化模型。总资金除去在保底层级的申请费用后用于冲刺层级学校的申请，然后用问题二的优化模型得出最佳的冲刺方案，并通过实例加以说明。本模型不仅可以计算出申请人被录取可能性，还可以通过录取判定标准合理地制定学习计划，提升个人综合素质水平，增加留学成功的几率。关键词：层次分析法影响权重最优化模型正态统计模型一．问题重述：现在，越来越多的学生选择去海外留学，尤其是美国。校园中随处可见考托福、考GRE的身影。申请的程序很繁杂，录取的时候影响因素也很多。现考虑申请美国研究生的同学，包括硕士研究生（master）和博士研究生（Ph.D.），建立一个模型，帮助申请人做结果的定性和定量评估。问题一：一个申请人是否能够被录取，需要考虑很多因素。在假设一个申请人只能申报一个学校的前提下，现根据申请的专业、他/她的平均成绩（GPA）、托福分数、GRE分数、班级/专业排名五个影响因素建立模型，来计算一个申请者录取的可能性。如果一个申请人曾经发表过相关专业的论文，或是参加了一些竞赛并获奖（例如全国大学生数学建模竞赛、美国大学生数学建模竞赛、电子设计竞赛等），这样他/她就会比其他人更有优势，从而拿到“offer”。考虑这两个因素，进而改善模型。问题二：大多数情况下，一个申请人会同时申请多个学校。申请的学校越多，获得录取的可能性也就越大。如果一个申请人认为只要能拿到一个录取就算是成功的，在资金有限的情况下，分析应该申请的学校个数。问题三：几乎所有的申请人都想拿到美国顶尖学校的录取通知，可是学校的排名越高，获得录取的可能性就越小。根据模型，写一份分析报告，帮助申请人合理的选择学校。二．问题分析每年都会有申请国外留学的同学因为错估自己的录取水平导致学校选择的不合理，以至于错过了海外留学的机会，所以我们要通过建立关于留学申请问题的数学模型，来帮助申请人能成功出国留学。而在申请过程中，往年各学校的信息是最重要的参考，我们需要根据往年的数据来正确评估申请人的录取水平。三．模型假设：1、美国各大学近年来录取条件、招生政策没有发生变化：2、美国各大学对申请人的吸引力没有发生变化；3、申请人通过报纸、网络等渠道获得的信息是全面并且权威的；4、申请人申报学校时不受家庭等因素的影响。5、申请人的成绩服从正态分布。四．符号说明：A1——表示申请的专业A2——表示他/她的平均成绩（GPA）A3——表示GRE分数A4——表示托福分数A5——表示班级/专业排名A6——表示发表过相关专业的论文A7——参加了一些竞赛并获奖C——学生的总预算约束z——达到99%录取率所用的最小费用CI——一致性指标RI——平均随机一致性指标——第i个学校所需要的总申请费用五．问题一解决方案：根据题意，一个申请者录取的可能性受到诸多因素的影响，而且，由于学校的不同，各个因素对录取可能性的作用大小也不同。显然，这是一个多目标决策问题，无法通过足够的数据进行量化计算。根据以上分析，我们可以采用层次分析法。层次分析法是将于决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，通过逐层比较各种关联因素的重要性来为分析以及最终的决策提供定量的依据的决策方法。下面我们根据题目要求，利用层次分析法来对留学申请问题建立数学模型。模型建立：模型一：建立留学申请问题的层次结构图是否录取学生是否录取学生申请的专业A1平均成绩A2GRE分数A3托福分数A4班级/专业排名A5评估学生素质目标层中间层评估层构造各个层次中的判断矩阵为了确定抽象因素的影响程度，必须主观给出各准则在目标衡量中所占的比重，将决定性分析定量化。在留学申请问题中，我们可以采取所有影响因素两两比较建立成对比较矩阵的办法。构造判断矩阵的方法是：每一个具有向下隶属关系的元素（被称作准则）作为判断矩阵的第一个元素（位于左上角），隶属于它的各个元素依次排列在其后的第一行和第一列。重要的是填写判断矩阵。填写判断矩阵的方法有：大多采取的方法是：向填写人（专家）反复询问：针对判断矩阵的准则，其中两个元素两两比较哪个重要，重要多少，层次分析法对重要性程度按1-9赋值（重要性标度值见下表）。重要性标度含义表重要性标度含义1表示两个元素相比，具有同等重要性3表示两个元素相比，前者比后者稍重要5表示两个元素相比，前者比后者明显重要7表示两个元素相比，前者比后者强烈重要9表示两个元素相比，前者比后者极端重要2，4，6，8表示上述判断的中间值倒数若元素I与元素j的重要性之比为aij,则元素j与元素I的重要性之比为aji=1/aij因此n阶判断矩阵A具有如下特征：应用层次分析法保持判断思维的一致性是非常重要的，只要矩阵中的aij满足上述三条关系式时，就说明判断矩阵具有完全的一致性。有关一致性的检验其中是判断矩阵的最大特征值，n是判断矩阵的阶数。判定方法：①一致性指标C.I.的值越大，表明判断矩阵偏离完全一致性的程度越大，C.I.的值越小，表明判断矩阵越接近于完全一致性。②平均随机一致性指标R.I值需要通过查表得到。平均随机一致性指标R.I.表（1000次正互反矩阵计算结果）矩阵阶数12345678R.I.000.520.891.121.261.361.41矩阵阶数9101112131415R.I.1.461.491.521.541.561.581.59③当CR<0.10时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；否则应对判断矩阵作适当修正。.（2）模型求解：根据申请的专业、平均成绩、GRE分数、托福分数和班级/专业排名五个影响因素，可以得到的正互反矩阵（判断矩阵）为（3）求判断矩阵最大特征值对应的特征向量，给出层次单排序和一致性检验通过MATLAB计算其最大特征值以及对应的特征向量算得其最大特征值经计算查表得各项指标为：从而认为上述的特征向量可以当作权向量。那么A1的权重为0.33，A2的权重为0.3855，A3的权重为0.1182，A4的权重为0.1073，A5的权重为0.0551。决定因素所占权重A1——表示申请的专业33.00%A2——表示他/她的平均成绩（GPA）38.55%A3——表示GRE分数11.82%A4——表示托福分数10.73%A5——表示班级/专业排名5.51%现在制定评级标准,首先给每一部分20分的满分,按不同级别给予分值,预计标准如下:评分项属性得分A1——申请的专业本专业20跨专业（相关联）15跨专业（不相关联）10A2——GPA20*GPA/4A3——GRE20*GRE/2400(旧）20*GRE/340（新）A4——TOEFLTOEFL>=A(A为学校的要求）20A-5=<TOEFL<A10TOEFL<A-50A5——班级排名<5%205%～30%1530%～50%10>50%0则我们就可以得出算个人得分的公式如下：其中A1,A2,A3,A4,A5分别对对应项的得分。现在模型中个人的得分标准就建立起来了，下面谈论如何计算其概率。假设所有申请人的得分服从,现在每个学校的期望和方差都是不同的，那么某得分为S的同学申请成功的概率为至此对于一个成绩为S的学生申请一个学校的模型就基本建立完成。案例：我们以华盛顿大学为例，其历年的GPA与GRE情况如下历年GPA统计表时间2001-022002-032003-042004-052005-062006-072007-082023-092023-102023-11历年平均GPA分数3.49763.503.513.553.543.553.553.553.553.563.54历年GRE统计表时间2001-022002-032003-042004-052005-062006-072007-082023-092023-102023-11历年平均VerbalScore558.82555559556555555561555560564557.88QuantitativeScore641.28647652652656658659665669674657.33AnalyticalScore637.15648661647652636643606631646640.72则我们按上面的评分标准可以估算出其期望的得分为其中我们假定有1/3的人跨专业（不相关联），有1/3的人选择本专业，则专业平均得分为15分。认为申请的人几乎都排在前百分之三十内，故得分为15分，托福得分认为平均为10分。假设其得分,其中，，若现在申请人小明的申请条件如下 条件申请人是否为本专业GPAGRETOEFL班级排名小明是3.821920100前百分之三则按上述的标准可以计算出小明的得分为那么该同学被华盛顿大学录取的概率为从而他被该学校录取的概率为87.08%。（3)模型扩展：现在对模型进行扩展，加入A6,A7两个变量，通过层次分析法得出其正互反矩阵（判断矩阵）为通过MATLAB计算求的其最大特征值与特征向量为经计算查表得各项指标为：根据已知的判断标准，符合一致性检验，其特征向量可以用作权向量，则其分布如下表：决定因素所占权重A1——表示申请的专业18.66%A2——表示他/她的平均成绩（GPA）28.20%A3——表示GRE分数5.89%A4——表示托福分数5.45%A5——表示班级/专业排名3.21%A6——表示发表过相关专业的论文22.50%A7——参加了一些竞赛并获奖16.13%现在给出A6,A7的判别标准如下表：评分项属性得分A6-是否发表过相关专业的论文在国际期刊上发表20在国内期刊上发表15在校内期刊上发表10没发表0A7-是否参加了一些竞赛并获奖获得国际上的竞赛奖励20获得国内的竞赛奖励15获得校级竞赛奖励10没获得奖励0则可以按照此扩展模型算出任意一个学生的录取率，在此不在详细叙述，方法同上。五．问题二：根据题意，我们需要在申请人资金有限的情况下，帮助其获得最大的录取率。这是一个最优化问题，我们的目标是最大化其录取概率（被一所录取就可以）。最优化问题，主要是指以下形式的问题：给定一个函数，寻找一个元素使得对于所有A中的，（最小化）；或者（最大化）。根据分析，这是一个0-1非线性规划问题。模型二：那么约束条件下极值问题的数学模型就为：目标函数：约束条件：说明：这个是广义的模型，其中C是个人总的预算，是第i个学校的申请费用，是第i个学校的成功率，对于不同的学校,带入个人成绩S后可以计算出，然后便可以通过EXCEL带入具体数据后计算。我们假设该学生打算往商科方向发展，我们搜集了一些学校商科的数据。设该学生数据如下：条件申请人是否为本专业GPAGRETOEFL班级排名预算约束小红是3.53239910%5000元假设所有学校方差都为1，那么由第一问的结论和方法我们可以算出该生在不同学校的成绩以及他被录取的概率如下表：大学名称申请费（美元）平均绩点托福要求平均GRE该校录取学生综合素质平均分该生托福达标分该生综合素质分录取该校概率申请总费用（资料寄送费200元）芝加哥大学753.5110432515.891515.470.336663.665麻省理工学院753.5210032815.932014.790.275663.665哥伦比亚大学803.5010032615.881515.280.276694.576达特茅斯学院803.5210032715.921515.050.193694.576耶鲁大学753.5210032815.931514.790.129663.665德州农工大学653.508031715.812016.940.869601.843罗彻斯特大学603.4610032015.761516.140.647570.932天普大学703.467931415.712017.140.922632.754南卫理公会大学653.498031715.792016.940.873601.843亚利桑那大学753.456131615.712017.010.903663.665康涅狄格大学753.517931415.812017.140.907663.665迈阿密大学653.538031715.872016.940.856601.843我们通过EXCEL计算出当我们的预算约束为5000时最优化的选择，见下表：被录取的概率0.999999406变量x（0,1）概率费用芝加哥大学00.336663.665麻省理工学院00.275663.665哥伦比亚大学00.274694.576达特茅斯学院00.193694.576耶鲁大学00.129663.665德州农工大学10.869601.843罗彻斯特大学10.647570.932天普大学10.922632.754南卫理公会大学10.873601.843亚利桑那大学10.903663.665康涅狄格大学10.907663.665迈阿密大学10.856601.843使用经费约束条件4336.55000通过表格，可以看出在5000元的预算约束内应该选择的学校有德州农工大学，罗彻斯特大学，天普大学，南卫理公会大学，亚利桑那大学，康涅狄格大学，迈阿密大学这7所学校，共计花费4336.5元。六．问题三：（1）模型建立：鉴于我们第一问和第二问建立的模型，我们对第二问的学生（按第二问的成绩进行分析），为此我们要扩展一下第二问的模型。一般来说，一个学生报考学校总会分层级报考，他会在有限的资金约束下试着冒险一番，报考几个难度比较大的学校作为冲刺选项，然后报考几个比较稳的学校作为保底，那么我们就将模型分为两个层级，第一个层级是冲刺层级，第二个层级是保底层级，我们在给定的预算约束下首先对保底层级的学校进行模型二的优化，我们认为当概率达到某个值（我们设定为99%）的所用的最少费用，模型如下：模型三：这个模型其实是模型二的对偶模型，我们通过这个模型可以算出保底层次的最低费用z，则我们用在冲刺层次学校的费用应为C-z，C为总的预算约束。然后我们知道对于冲刺层次使用的费用后就可以用问题二的最优化模型算出冲刺层次学校在固定预算约束下的概率最大化选项。若模型三无解，则说明达不到我们的概率要求，则直接使用模型二进行求解，放弃掉冲刺学校的选择。（2）模型求解个人数据如下：条件申请人是否为本专业GPAGRETOEFL班级排名预算约束小兰是3.53239910%3500元则有我们第一问的和第二问的模型可以得出如下表的数据：第一档次学校名称申请费（美元）平均绩点托福要求平均gre该校录取学生综合素质分该生托福达标分该生综合素质分被录取概率申请总费用（资料寄送费200元）哈佛大学753.6610032916.211514.490.043663.665麻省理工大学753.5210032815.931514.790.129663.665斯坦福大学903.710033016.291514.120.015756.398耶鲁大学753.5210032815.931514.790.126663.665第二档次学校名称芝加哥大学753.5110432515.891515.470.336663.665哥伦比亚大学803.510032615.881515.280.274694.576罗彻斯特大学603.4610032015.761516.140.647570.932迈阿密大学653.538031715.872016.940.856601.843德州农工大学653.58031715.812016.940.869601.843康涅狄格大学753.517931415.812017.140.907663.665南卫理公会大学753.498031715.792016.940.873663.665我们通过模型二和模型三得出下表：最小费用1774.6<=3500变量芝加哥大学00.336663.665哥伦比亚大学00.273694.576罗彻斯特大学10.647570.932迈阿密大学10.856601.843德州农工大学10.869601.843南卫理公会大学00.873663.665约束（概率）0.993340869>=0.99目标函数（最大概率）0.240656164变量哈佛大学00.043663.665麻省理工大学10.129663.665斯坦福大学00.015756.398耶鲁大学10.129663.665使用金额1327.3<=1725.4由上表我们可以看出，在保底学校中我们保证达到录取率99%以上所用的最小费用为1174.6元，这时我们选择申请的学校是罗彻斯特大学，迈阿密大学，德州农工大学，此时至少被其中一所所录取的概率为99.3%，然后我们把剩余的1725.4元全部投入到冲刺学校中，选择可能性最大的组合为麻省理工大学和耶鲁大学，至少被其中一所录取的概率为24.0%。综上，小兰可以将钱分为两部分，用1174.6元投入在罗彻斯特大学，迈阿密大学，德州农工大学的申请上，然后用1327.3投入给麻省理工大学和耶鲁大学，这样即保证了基本上会被保底的学校录取并且也能有余力冲刺更好的大学。我们知道，耶鲁大学和麻省理工大学在美国众大学中排名靠前，耶鲁大学在美国大学本科排名第三，麻省理工大学排名第六，而且这两所大学在世界大学中排名前十。学校不仅环境优美，综合实力也是处于顶级水平的。学校的录取条件较高，但是每年，都有许多的优秀学子申请入学，竞争激烈，所以录取率比较低。而罗彻斯特大学、迈阿密大学、德州农工大学相比于上面两所大学来说，竞争强度有所减弱，被录取的概率就相对较高。对于申请人，最终的目标是申请到合适的大学。因此，我们建议，如果申请人的各项成绩都处于较高的水平，还能在某些学术类刊物上发表论文或者说是参加竞赛并获奖的话那么可以选择像耶鲁大学、麻省理工大学这类高排名的美国大学进行申报。在资金充沛的情况，可以多选择几所学校进行申报。而如果申请人对自己的各项成绩不是十分自信并且资金不是特别充裕，我们推荐像罗彻斯特大学、迈阿密大学这类排名的学校进行申报，被录取的可能性会相对较大。七．模型的评价模型的优点：（1）层次分析法通过化模糊为具体的方式将模糊的判定标准数值具体化，是我们能够构造一种量化的方式来评价学生的水平。（2）模型二通过概率最大化保证了该学生被录取的最大可能性，并且还能融入该学生的个人偏好，将其偏爱的学校的Xi固定为1再求其剩余学校的最大录取概率同样是可行的，模型二的优点就在于通过完全数学化的假设几乎能容纳所有能够考虑的实际情况。（3）对于第三问模型二和模型三的结合能够保证一种更加实际的筛选过程，在保证学生几乎能够被录取的情况下冲刺更好的学校更符合我们的实际情况也更能满足考生的个人偏好。模型的缺点：（1）第一问的假设中假设学生成绩为正态分布是由于缺乏学生个体数据（美国学校对个人数据都是有保密措施的）没办法进行假设检验，导致录取率会有偏离。（2）层次分析法本身的主观性导致的权重分析不准确。（3）模型三由于最低概率的设定不同会导致结果不同，这个本应该有个人选择，但由于缺乏数据只能人为定义。八．参考文献[1]姜启源谢金星叶俊，数学模型（第三版），北京，高等教育出版社,2003年。[2]刘保柱张宏林，MATLAB7.0从入门到精通，北京，人民邮电出版社，2023年。[3]啄木鸟教育（美国留学），，2023/4/24九.附录第一问A=[11335114461/31/41131/31/41121/51/61/31/21];[VD]=eig(A)V=-0.6170-0.2789+0.4140i-0.2789-0.4140i0.68020.6802-0.7208-0.7898-0.7898-0.5128+0.4223i-0.5128-0.4223i-0.22100.1467-0.2820i0.1467+0.2820i0.0967+0.1114i0.0967-0.1114i-0.2006-0.0362-0.0648i-0.0362+0.0648i-0.0886-0.2545i-0.0886+0.2545i-0.10300.1066+0.0958i0.1066-0.0958i-0.0397+0.0155i-0.0397-0.0155i5.052700000-0.0162+0.5043i00000-0.0162-0.5043i00000-0.0101+0.1034i00000-0.0101-0.1034i问题扩展A=[113351111446231/31/41131/51/41/31/41121/51/41/51/61/31/211/61/511/25561211/34451/21];[VD]=eig(A)V=Columns1through5-0.4191-0.0365+0.2471i-0.0365-0.2471i0.73310.7331-0.6332-0.7658-0.7658-0.2885+0.4256i-0.2885-0.4256i-0.13220.1027+0.0333i0.1027-0.0333i-0.1551+0.1598i-0.1551-0.1598i-0.12230.0634+0.0293i0.0634-0.0293i0.0695-0.0097i0.0695+0.0097i-0.0721-0.0057+0.0517i-0.0057-0.0517i-0.0437-0.0929i-0.0437+0.0929i-0.5053-0.1565-0.4158i-0.1565+0.4158i-0.1022+0.1548i-0.1022-0.1548i-0.36120.1645-0.3280i