线性组合与线性相关

1.n元线性方程组Ax=b有解.且：无穷多解。一、线性方程组解的判定定理有唯一解;2.n元齐次线性方程组Ax=0有非零解。只有零解；特别地：（1）方程个数<未知数个数时（2）方程数=未知个数时：有非零解。只有零解；，有非零解。线性组合与线性相关共17页，您现在浏览的是第1页!二、向量组的线性组合1.线性表示：如果β=k11+k22+···+kss，则称β可由1,2,···,s线性表示，或称β是1,2,···,s的线性组合。2.β能由1,2,···,s线性表示的含义是线性方程组x11+x22+···+xss=β有解，其充要条件是r(A)=r(A|β)注：判断β能不能由1,2,···,s线性表示的方法：把矩阵(1,2,···,s,β)变换为行阶梯形矩阵，并从中观察r(1,2,···,s)和r(1,2,···,s,β)，进行比较。即r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s,β)线性组合与线性相关共17页，您现在浏览的是第2页!例：设有向量组1=(1,0,2)T,2=(1,2,0)T,3=(2,1,3)T,4=(2,5,－1)T，试问4是否可由1,2,3线性表示？若可以，写出表示式。解：设有数x1,x2,x3,使得x11+x22+x33=4<3所以方程组有无穷多解，即4可由1,2,3线性表示，且表示方式不唯一。线性组合与线性相关共17页，您现在浏览的是第3页!对继续施行初等行变换，最后一个矩阵对应的线性方程组为：若取x3=1，所以:－21+22+3=4若取x3=－1，所以：1+32－3=4有:x1=－2有:x1=1,x2=2,,x2=3,线性组合与线性相关共17页，您现在浏览的是第4页!例：设有向量组1=(1,0,－1,2)T,2=(－1,－1,2,－4)T,3=(2,3,－5,10)T,试讨论向量组1,2,3及向量组1,2的线性相关性。解：<3所以1,2,3线性相关；所以1,2线性无关。线性组合与线性相关共17页，您现在浏览的是第5页!例：如果1,2,···,s线性无关，1,2,···,s,β线性相关，则β可由1,2,···,s线性表示。r(1,2,···,s)=s分析：1,2,···,s线性无关从而β可由1,2,···,s线性表示。1,2,···,s,β线性相关r(1,2,···,s,β)r(1,2,···,s)r(1,2,···,s,β)<s+1≤s=所以：r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s,β)方程组有唯一解而且：x11+x22+···+xss=β有解<s+1r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s,β)=s，表示法唯一。线性组合与线性相关共17页，您现在浏览的是第6页!若1,2,···,s中有一向量可由其余s－1个向量线性表示，证明：()不妨设：1.定理：向量组1,2,···,s(s≥2)

线性相关的充要条件是向量组中最少有一向量可由其余s－1个向量线性表示。则：不全为零，从而1,2,···,s线性相关。线性组合与线性相关共17页，您现在浏览的是第7页!例：两个向量α1,α2线性相关的充要条件是它们对应的分量成比例。α1=kα2或α2=lα1

线性组合与线性相关共17页，您现在浏览的是第8页!思考：线性无关判断的线性相关性。讨论方程组x11+x22+x33=O的解，前三个方程是x11+x2

2+x3

3=O，从而x1=x2=x3=0单位向量组线性组合与线性相关共17页，您现在浏览的是第9页!7.向量个数大于维向量维数时8.n个n维向量组线性相关的条件是小结：判断n维向量组1,2,···,s是否线性相关1.若s>n2.若s=n当|A|＝0时当|A|≠0时3.若s<n当r(1,2,···,s)<

s时，此法也适用于前两种情形。，向量组线性相关。它们所构成矩阵的行列式等于零。，可先比较向量个数s与向量维数n的大小：，则向量组线性相关，无需计算。，则可计算向量组构成矩阵A的行列式，，向量组线性相关；，向量组线性无关。，则计算r(1,2,···,s)当r(1,2,···,s)=

s时，向量组线性相关；向量组线性无关。线性组合与线性相关共17页，您现在浏览的是第10页!三、向量组的线性相关性1.线性相关定义：存在一组不全为零的数k1,k2,···,ks,使得k11+k22+···+kss=O.若k1,k2,···,ks必须全为零，则称1,2,···,s

线性无关。2.1,2,···,s线性相关的含义是齐次线性方程组x11+x22+···+xss=O有非零解，（即Ax=0）线性无关的含义是方程组

其充要条件是r(A)=s,r(A)<s,即r(1,2,···,s)<s.只有零解即r(1,2,···,s)=s.线性组合与线性相关共17页，您现在浏览的是第11页!例：如果β可由1,2,···,s线性表示，则表示法唯一的充要条件是1,2,···,s线性无关。r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s,β)x11+x22+···+xss=β分析：β可由1,2,···,s线性表示有解1,2,···,s线性无关。r(1,2,···,s)=r(1,2,···,s,β)=s在此前提下x11+x22+···+xss=β有唯一解，表示法唯一线性组合与线性相关共17页，您现在浏览的是第12页!定理：若1,2,···,s线性无关，而1,2,···,s,β线性相关，则β可由1,2,···,s线性表示，且表示法唯一。四、线性相关性与线性组合的关系1.定理：向量组1,2,···,s(s≥2)

线性相关的充要条件是向量组中最少有一向量可由其余s－1个向量线性表示。例：判断α1=(1,1,1)T,α2=(3,2,3)T,α3=(4,3,4)T是否线性相关。解：显然1+2=3

，所以1+2－3

=O.从而α1,α2,α3线性相关。线性组合与线性相关共17页，您现在浏览的是第13页!

向量组1,2,···,s(s≥2)

线性无关的充要条件是其中每个向量都不能可由其余向量线性表示。证明：()1.定理：向量组1,2,···,s(s≥2)

线性相关的充要条件是向量组中最少有一向量可由其余s－1个向量线性表示。逆否命题：若1,2,···,s(s≥2)

线性相关，则存在一组不全为零的数k1,k2,···,ks，使得：k11+k22+···+kss=O.不妨设k1≠0，即

1可由其余s－1个向量线性表示。则：线性组合与线性相关共17页，您现在浏览的是第14页!五、线性相关性的一些常用结论1.零向量是线性相关的，一个非零向量是线性无关的。2.两个向量线性相关的充分条件是对应分量成比例。3.含有零向量的向量组线性相关。4.部分组线性相关，则整个向量组组线性相关；向量组线性无关，则其部分组线性无关。线性组合与线性相关共17页，您现在浏览的是第15页!五、关于向量组线性相关性的主要结论1.零向量是线性相关的，一个非零向量是线性无关的。3.含有零向量的向量组线性相关。4.部分组线性相关，则整个向量组组线性相关；向量组线性无关，则其部分组线性无关。5.线性无关向量组的“加长”向量组线性无关；线性相关向量组的“减短”向量组线性相关。2.两个向量线性相关的充分条件是对应分量成比例。6.若1,2,···,s线性无关，而1,2,···,s,β线性相关，则β可由1,2,···,s线性表示，且表示法唯一。“加长”—加入相同序号的分量线性组合与线性相关共17页，您现在浏览的是第16页!练习:设向量组α1=(1,1,1)T,α2=(1