九年级数学上册圆专题 辅助线

九年级数学上册圆专题辅助线九年级数学上册圆专题辅助线九年级数学上册圆专题辅助线资料仅供参考文件编号：2022年4月九年级数学上册圆专题辅助线版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：圆专题一辅助线1．

遇到弦时（解决有关弦的问题时）常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。或者连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。作用：1、利用垂径定理；2、利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系；3、利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。4、可得等腰三角形；5、据圆周角的性质可得相等的圆周角。例：如图，ＡＢ是⊙O的直径,PO⊥AB交⊙O于P点，弦PN与AB相交于点M，求证：PM•PN=2PO2.分析：要证明PM•PN=2PO2，即证明PM•PC=PO2，过O点作OC⊥PN于C，根据垂经定理NC=PC，只需证明PM•PC=PO2，要证明PM•PC=PO2只需证明Rt△POC∽Rt△PMO.证明:过圆心O作OC⊥PN于C，∴PC=PN∵PO⊥AB,OC⊥PN，∴∠MOP=∠OCP=90°.又∵∠OPC=∠MPO，∴Rt△POC∽Rt△PMO.∴即∴PO2=PM•PC.∴PO2=PM•PN，∴PM•PN=2PO2.【例1】如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A=45°，BC=2，求⊙O的面积。【例2】如图，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．【例3】如图，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在弧AMB上，则∠C的度数是________.2．

遇到有直径时常常添加（画）直径所对的圆周角。作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。例如图，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一点O为圆心，以OB为半径的圆交AB于点M，交BC于点N．求证：BA·BM=BC·BN；如果CM是⊙O的切线，N为OC的中点，当AC=3时，求AB的值．分析：要证BA·BM=BC·BN，需证△ACB∽△NMB，而∠C=90°，所以需要△NMB中有个直角，而BN是圆O的直径，所以连结MN可得∠BMN=90°。MNOCA证明：连结MN，则∠BMN=90MNOCA∴△ACB∽△NMB∴∴AB·BM=BC·BN解：连结OM，则∠OMC=90°∵N为OC中点B∴MN=ON=OM，∴∠MON=60°B∵OM=OB，∴∠B=∠MON=30°∵∠ACB=90°，∴AB=2AC=2×3=6【例4】如图，AB是⊙O的直径，AB=4，弦BC=2,∠B=3．

遇到90°的圆周角时常常连结两条弦没有公共点的另一端点。作用：利用圆周角的性质，可得到直径。【例5】如图，AB、AC是⊙O的的两条弦，∠BAC=90°，AB=6，AC=8，⊙O的半径是5．

遇到有切线时（1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点）（2）常常添加连结圆上一点和切点作用：1、可构成弦切角，从而利用弦切角定理。2、利用切线的性质定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。【例6】如图，AB是⊙O的直径，弦AC与AB成30°角，CD与⊙O切于C，交AB的延长线于D，求证：AC=CD．

6．

遇到证明某一直线是圆的切线时切线判定分两种：公共点未知作垂线、公共点已知作半径切线的判定定理是：“经过半径的外端,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.”，就是说，要判定一条直线是否是切线，应同时满足这样的两条：（1）直线经过半径的外端，（2）直线垂直于这条半径，所以,在证明直线是切线时,往往需要通过作恰当的辅助线,才能顺利地解决问题.下面是添辅助线的小规律.1．无点作垂线需证明的切线，条件中未告之与圆有交点，则联想切线的定义，过圆心作该直线的垂线，证明垂足到圆心的距离等于半径.例7．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于A，BC⊥AB于B，若∠DOC=90°.求证：DC是⊙O的切线.分析：DC与⊙O没有交点，“无点作垂线”，过圆心O作OE⊥DC，只需证OE等于圆的半径.因为AO为半径，若能证OE=OA即可.而OE、OA在△DEO、△DAO中，需证明△DEO≌△DAO证明：作OE⊥DC于E点，取DC的中点F，连结OF.又∵∠DOC=90°.∴FO=FD∴∠1=∠3.∵AD⊥AB，BC⊥AB,∴BC∥AD,∴OF为梯形的中位线.∴OF∥AD.∴∠2=∠3.∴∠1=∠2.∴DO是∠ADE的角平分线.∵OA⊥DA，OE⊥DC，∴OA=OE=圆的半径.∴DC是⊙O的切线.2．有点连圆心.当直线和圆的公共点已知时，联想切线的判定定理，只要将该点与圆心连结，再证明该半径与直线垂直.例8．已知：如图，AB为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：CD是⊙O的切线.分析：D在⊙O上，有点连圆心，连结DO，证明DO⊥DC即可.证明：连结DO，∵OC∥AD∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠DOC而∠DAO=∠ADO∴∠DOC=∠COB，又OC=OC，DO=BO∴△DOC≌△BOC∴∠ODC=∠OBC，∵BC为⊙O的切线，切点为B∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，又D在⊙O上，∴CD是⊙O的切线.【例7】如图所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD⊥L于D，且AC+BD=AB。求证：直线L与⊙O相切。 【例8】如图，△ABO中，OA=OB，以O为圆心的圆经过AB中点C，且分别交OA、OB于点E、F．求证：AB是⊙O切线；

7．

遇到两相交切线时（切线长）常常连结切点和圆心、连结圆心和圆外的一点、连结两切点。作用：据切线长及其它性质，可得到：①角、线段的等量关系；②垂直关系；③全等、相似三角形。【例9】如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O切于A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若△PDE的周长为12，则PA长为______________8．

遇到三角形的内切圆时连结内心到各三角形顶点，或过内心作三角形各边的垂线段。作用：利用内心的性质，可得：①内心到三角形三个顶点的连线是三角形的角平分线；②内心到三角形三条边的距离相等。【例10】如图，△ABC中，∠A=45°，I是内心，则∠BIC=【例11】如图，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I分别切AC，BC，AB于D，E，F，求Rt△ABC的内心I与外心O之间的距离．9．

遇到三角形的外接圆时，连结外心和各顶点作用：外心到三角形各顶点的距离相等。[课后冲浪]1．已知：P是⊙O外一点，PB，PD分别交⊙O于A、B和C、D，且AB=CD.求证：PO平分∠BPD．....2．如图，ΔABC中，∠C=90°，圆O分别与AC、BC相切于M、N，点O在AB上，如果AO=15㎝，BO=10㎝，求圆O的半径..3．已知：□ABCD的对角线AC、BD交于O点，BC切⊙O于E点.求证：AD也和⊙O相切..4．如图，学校A附近有一公路MN，一拖拉机从P点出发向PN方向行驶，已知∠NPA=30°，AP=160米，假使拖拉机行使时，A周围100米以内受到噪音影响，问：当拖拉机向PN方向行驶时，学校是否会受到噪音影响？请说明理由.如果拖拉机速度为18千米∕小时，则受噪音影响的时间是多少秒？