排列组合 古典概型-复习归纳(教师)

排列组合古典概型—复习归纳(教师)排列组合古典概型—复习归纳(教师)排列组合古典概型—复习归纳(教师)资料仅供参考文件编号：2022年4月排列组合古典概型—复习归纳(教师)版本号：A修改号：1页次：1.0审核：批准:发布日期：1．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15解析：∵20组随机数中恰有2个大于等于1且小于等于4的共有191、271、932、812、393五组，∴其概率为eq\f(5,20)＝0.25.2．(2010·北京高考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b＞a的概率是()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,5)解析：分别从两个集合中各取一个数，共有15种取法，其中满足b＞a的有3种取法，故所求事件的概率为P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).3．先后抛掷两枚均匀的骰子(骰子是一种正方体玩具，在正方体各面上分别有点数1,2,3,4,5,6)，骰子落地后朝上的点数分别为x，y，则log2xy＝1的概率为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(5,36)C.eq\f(1,12)D.eq\f(1,2)解析：抛掷2枚骰子，共有6×6＝36种情况，因为log2xy＝1，所以y＝2x，此时满足题意的数对(x，y)共有(1,2)、(2,4)、(3,6)三种情况，所以概率P＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12).4．(2010·江苏高考)盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________．解析：设3只白球为A，B，C,1只黑球为d，则从中随机摸出两只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为eq\f(1,2).5.学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为________．解析：每人用餐有两种情况，故共有23＝8种情况．他们在同一食堂用餐有2种情况，故他们在同一食堂用餐的概率为eq\f(2,8)＝eq\f(1,4).1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典模型．(1)试验中所有可能出现的基本事件．(2)每个基本事件出现的可能性．3．古典概型的概率公式一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P(A)＝.考点一简单古典概型的概率有两颗正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两颗正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1颗正四面体玩具出现的点数，y表示第2颗正四面体玩具出现的点数．(1)写出试验的基本事件；(2)求事件“出现点数之和大于3”的概率；(3)求事件“出现点数相等”的概率．[自主解答](1)这个试验的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)共16个．(2)事件“出现点数之和大于3”包含以下13个基本事件：(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．故P＝eq\f(13,16).(3)事件“出现点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．故P＝eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的2只球都是白球的概率是多少？解：(1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，从中摸出2只球，有如下基本事件[摸到1,2号球用(1,2)表示]：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)．因此，共有10个基本事件．如图所示，上述10个基本事件的可能性相同，且只有3个基本事件是摸到2只白球(记为事件A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故P(A)＝eq\f(3,10).故共有10个基本事件，摸出2只球都是白球的概率为eq\f(3,10).考点二复杂的古典概型(2011·苏北四市联考)如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中A1、A2、A3、A4是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处．今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止．(1)求甲经过A2到达N处的方法有多少种；(2)求甲、乙两人在A2处相遇的概率；(3)求甲、乙两人相遇的概率．[自主解答](1)甲经过A2，可分为两步：第一步，甲从M到A2的方法有Ceq\o\al(1,3)种；第二步，甲从A2到N的方法有Ceq\o\al(1,3)种．所以甲经过A2到达N处的方法有(Ceq\o\al(1,3))2＝9种．(2)由(1)知，甲经过A2的方法数为9；乙经过A2的方法数也为9.所以甲、乙两人在A2处相遇的方法数为9×9＝81；甲、乙两人在A2处相遇的概率为eq\f(81,C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(81,400).(3)甲、乙两人沿最短路径行走，只可能在A1、A2、A3、A4处相遇，他们在Ai(i＝1,2,3,4)处相遇的走法有(Ceq\o\al(i－1,3))4种方法，所以(Ceq\o\al(0,3))4＋(Ceq\o\al(1,3))4＋(Ceq\o\al(2,3))4＋(Ceq\o\al(3,3))4＝164，故甲、乙两人相遇的概率为eq\f(164,400)＝eq\f(41,100).某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有10名工人，其中有6名女工人．现采用分层抽样方法(层内采用不放回简单随机抽样)从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核．(1)求从甲、乙两组各抽取的人数；(2)求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；(3)求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率．解：(1)由于甲、乙两组各有10名工人，根据分层抽样原理，要从甲、乙两组中共抽取4名工人进行技术考核，则从每组各抽取2名工人．(2)记A表示事件：从甲组抽取的工人中恰有1名女工人，则P(A)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(8,15).(3)Ai表示事件：从甲组抽取的2名工人中恰有i名男工人，i＝0,1,2.Bj表示事件：从乙组抽取的2名工人中恰有j名男工人，j＝0,1,2.B表示事件：抽取的4名工人中恰有2名男工人．Ai与Bj独立，i，j＝0,1,2，且B＝A0·B2＋A1·B1＋A2·B0.故P(B)＝P(A0·B2＋A·B1＋A2·B0)＝P(A0)·P(B2)＋P(A1)·P(B1)＋P(A2)·P(B0)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))·eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＋eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,6),C\o\al(2,10))·eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＋eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))·eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(31,75).现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通晓日语，B1、B2、B3通晓俄语，C1、C2通晓韩语，从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．解：从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其所有可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．(1)用M表示“A1恰被选中”这一事件，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，事件M由6个基本事件组成，因而P(M)＝eq\f(6,18)＝eq\f(1,3).用N表示“B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件eq\x\to(N)表示“B1、C1全被选中”这一事件，由eq\x\to(N)＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件eq\x\to(N)有3个基本事件组成，所以P(eq\x\to(N))＝eq\f(3,18)＝eq\f(1,6).由对立事件的概率公式P(N)＝1－P(eq\x\to(N))＝1－eq\f(1,6)＝eq\f(5,6).考点三古典概型与统计的综合问题(2010·湖南高考)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所高校A，B，C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).高校相关人数抽取人数A18xB362C54y(1)求x，y；(2)若从高校B，C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．[自主解答](1)由题意可得，eq\f(x,18)＝eq\f(2,36)＝eq\f(y,54)，所以x＝1，y＝3.(2)记从高校B抽取的2人为b1，b2，从高校C抽取的3人为c1，c2，c3，则从高校B，C抽取的5人中选2人作专题发言的基本事件有(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共10种．设选中的2人都来自高校C的事件为X，则X包含的基本事件有(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)共3种．因此P(X)＝eq\f(3,10).故选中的2人都来自高校C的概率为eq\f(3,10).某高级中学共有学生2000人，各年级男、女生人数如下表：年级性别高一高二高三女生373xy男生377370z已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.(1)现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，问应在高三年级抽取多少人？(2)已知y≥245，z≥245，求高三年级女生比男生多的概率．解：(1)∵eq\f(x,2000)＝0.19，∴x＝380，高三年级人数为y＋z＝2000－(373＋377＋380＋370)＝500，现用分层抽样的方法在全校抽取48名学生，应在高三年级抽取的人数为eq\f(48,2000)×500＝12.(2)设“高三年级女生比男生多”为事件A，高三年级女生、男生数记为(y，z)．由(1)知y＋z＝500，且y，z∈N*，则基本事件空间包含的基本事件有(245,255)，(246,254)，(247,253)，(248,252)，(249,251)，(250,250)，(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共11个，事件A包含的基本事件有(251,249)，(252,248)，(253,247)，(254,246)，(255,245)，共5个，∴P(A)＝eq\f(5,11).故高三年级女生比男生多的概率为eq\f(5,11).高考对本节内容的考查形式既有选择题、填空题，也有解答题，主要考查古典概型概率公式的应用．尤其是古典概型与互斥事件、对立事件的综合问题更是高考的热点，2010年福建高考将古典概型与向量等知识结合考查，代表了高考的一个重要考向．[考题印证](2010·福建高考)(12分)设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m，n∈{1,2,3,4}．(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；(2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的概率．[规范解答](1)有序数组(m，n)的所有可能结果为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个．……………(6分)(2)由am⊥(am－bn)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2.……………(8分)由于m，n∈{1,2,3,4}，故事件A包含的基本事件为(2,1)和(3,4)，共2个．又基本事件的总数为16，故所求的概率为P(A)＝eq\f(2,16)＝eq\f(1,8).……………(12分)1．求古典概型概率的步骤(1)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m.(2)利用公式P(A)＝eq\f(m,n)求出事件A的概率．2．有放回抽样和无放回抽样的概率在古典概型的概率中，将涉及两种不同的抽取方法，设袋内装有n个不同的球，现从中依次摸球，每次只摸一只，具有两种摸球的方法．(1)有放回．每次摸出一只后，仍放回袋中，然后再摸一只，这种摸球的方法称为有放回的抽样，显然，对于有放回的抽样，每次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下去．(2)无放回．每次摸出一只后，不放回原袋中，在剩下的球中再摸一只，这种摸球方法称为无放回的抽样．显然，对于无放回的抽样，每次摸出的球不会重复出现，且摸球只能进行有限次．1．(2011·黄冈模拟)设集合P＝{b,1}，Q＝{c,1,2}，PQ，若b，c∈{2,3,4,5,6,7,8,9}，则b＝c的概率是()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,4)解析：依题意得当b＝2时，c可从3,4,5,6,7,8,9中选取，此时b≠c；当b从3,4,5,6,7,8,9中选取时，有b＝c.因此，b＝c的概率为eq\f(7,7＋7)＝eq\f(1,2).2．(2011·银川模拟)将一骰子抛掷两次，所得向上的点数分别为m和n，则函数y＝eq\f(2,3)mx3－nx＋1在[1，＋∞)上为增函数的概率是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(5,6)C.eq\f(3,4)D.eq\f(2,3)解析：由题可知，函数y＝eq\f(2,3)mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以y′＝2mx2－n≥0在[1，＋∞)上恒成立，所以2m≥n，则不满足条件的(m，n)有(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)共6种情况，所以满足条件的共有30种情况，则函数y＝eq\f(2,3)mx3－nx＋1在[1，＋∞)上单调递增的概率为eq\f(30,36)＝eq\f(5,6).3．(2010·安徽高考)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是()A.eq\f(3,18)B.eq\f(4,18)C.eq\f(5,18)D.eq\f(6,18)解析：甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形的四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，所得的直线共有eq\f(6×6,2)＝18(对)，而相互垂直的有5对，故根据古典概型概率公式得P＝eq\f(5,18).4．(2010·辽宁高考)三张卡片上分别写上字母E，E，B，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE的概率为________．解析：基本事件总数为6，所含基本事件个数为2，所以所求的概率是P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).5．一笼里有3只白兔和2只灰兔，现让它们一一出笼，假设每一只跑出笼的概率相同，则先出笼的两只中一只是白兔，而另一只是灰兔的概率是__________．解析：法一：设3只白免分别为b1，b2，b3,2只灰兔分别为h1，h2.则所有可能的情况是(b1，h1)，(b1，h2)，(b2，h1)，(b2，h2)，(b3，h1)，(b3，h2)，(h1，