学案角与弧度

8/8角与弧度【第一学时】任意角【学习目标】1．结合实例，了解角的概念的推广及其实际意义。2．理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示。【学习重难点】1．了解角的概念的推广及其实际意义。2．理解象限角的概念，并掌握终边相同角的含义及其表示。【学习过程】一、新知初探1．角的分类注意正角、负角的旋转方向类型定义图示正角按逆时针方向旋转所成的角负角按顺时针方向旋转所成的角零角不旋转所成的角2．角的加法对于两个任意角α、β，将角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角称为α与β的和，记作α＋β；射线OA绕端点O分别按逆时针方向、顺时针方向旋转相同的量所成的两个角称为相反角、角α的相反角为－α，于是α－β＝α＋（－β）。3．象限角以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系，那么，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角。4．终边相同角的表示一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}。二、初试身手1．与－457°角的终边相同的角的集合是（）A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}2．－378°是第________象限角。3．终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？三、合作探究题型一与任意角有关的概念辨析【例1】（1）下列说法中正确的是________（填序号）。①终边落在第一象限的角为锐角；②锐角是第一象限的角；③第二象限的角为钝角；④小于90°的角一定为锐角；⑤角α与－α的终边关于x轴对称。（2）如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝________。题型二终边相同的角【例2】在与角10030°终边相同的角中，求满足下列条件的角。（1）最大的负角；（2）最小的正角；（3）[360°，720°）内的角。题型三象限角和区间（域）角【例3】（1）－2019°是第________象限角。（2）已知，如图所示。①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；②写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合。【学习小结】1．通过本节课的学习，学会利用图形描述建立形与数的联系，提升学生的数学抽象、直观想象素养。2．本节主要借助坐标系，加深对角的概念的理解。3．会写终边相同的角、区域角。【精炼反馈】1．在①160°；②480°；③－960°；④1530°这四个角中，属于第二象限角的是（）A．①B．①②C．①②③D．①②③④2．（多选题）下列说法不正确的是（）A．三角形的内角一定是第一、二象限角B．钝角不一定是第二象限角C．相差180°整数倍的角为终边相同的角D．钟表的时针旋转而成的角是负角3．把－936°化为α＋k·360°（0°≤α<360°，k∈Z）的形式为________。4．终边在直线y＝－x上的角的集合S＝________。5．如图所示，（1）写出终边落在射线OA，OB上的角的集合；（2）写出终边落在阴影部分（包括边界）的角的集合。【第二学时】弧度制【学习目标】1．理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换。2．体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集的一一对应关系。3．掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式。【学习重难点】理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换。【学习过程】一、新知初探1．度量角的两种单位制在用弧度制表示角时，单位可以省略角度制定义用度作为单位来度量角的单位制1度的角周角的eq\f(1,360)为1度的角，记作1°弧度制定义以弧度为单位来度量角的单位制1弧度的角长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。1弧度记作1rad2．弧度数（1）正角：正角的弧度数是正数。（2）负角：负角的弧度数是负数。（3）零角：零角的弧度数是0.（4）如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝eq\f(l,r)。3．角度制与弧度制的换算牢记180°＝πrad，1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°角度化弧度弧度化角度360°＝2π__rad2πrad＝360°180°＝π__radπrad＝180°1°＝eq\f(π,180)__rad≈0.01745rad1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°≈57．30°度数×eq\f(π,180)＝弧度数弧度数×eq\f(180,π)＝度数4．扇形的弧长和面积公式如图：（1）则有l＝|α|·r。若r＝1，则有l＝|α|。（2）若|α|≤2π，则圆心角为α的扇形的面积为S＝eq\f(1,2)rl。5．角与实数的关系在弧度制下，角的集合与弧度数的集合之间建立起一一对应关系。如图所示：二、初试身手1．下列命题中的假命题是（）A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B．1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)C．1rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关2．将2340°转化为弧度为________。3．已知半径为1的扇形面积为eq\f(3π,8)，则扇形的圆心角为________。4．若θ＝－5，则角θ的终边在第________象限。三、合作探究题型一角度与弧度的互化及应用【例1】将下列角度与弧度进行互化：（1）20°；（2）－800°；（3）eq\f(7π,12)；（4）－eq\f(4,5)π。题型二用弧度制表示角的集合【例2】用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合（不包括边界，如图）。题型三弧长公式与面积公式的应用【例3】如图所示，十字形公路的交叉处周围成扇形，某市规划拟在这块扇形土地上修建一个圆形广场。已知∠AOB＝60°，eq\o(AB,\s\up8(︵))的长度为100πm。怎样设计能使广场的占地面积最大？其值是多少？【学习小结】1．通过本节课的学习，重点提升学生的数学抽象、数学运算素养。2．本节课主要讲述角度制与弧度制的互化和利用弧长公式、面积公式解决有关计算问题。【精炼反馈】1．下列各命题中，真命题是（）A．1弧度就是1°的圆心角所对的弧B．1弧度是长度等于半径的弧C．1弧度是1°的弧与1°的角之和D．1弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角2．将－1485°化成α＋2kπ（0≤α<2π，k∈Z）的形式是（）A．－eq\f(π,4)－8π B．eq\f(7,4)π－8πC．eq\f(π,4)－10π D．eq\f(7,4)π－10π3．若α∈（0，π），且α与角－eq\