《矩阵分析》配套教学课件

同济大学数学系2009-3-22矩阵分析预备知识1矩阵运算例.解线性方程组2线性方程组与矩阵的对应关系34矩阵定义5简记为其中数称为的第i行第j列的元素,的(i,j)

元素。6同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等。矩阵相等：矩阵相等7设有两个矩阵那末矩阵A与B的和记作A+B，规定为定义：矩阵的加法注意：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.8负矩阵：称为矩阵A的负矩阵。9矩阵加法满足的运算规律:10定义：数与矩阵相乘11数乘矩阵满足的运算规律：设

A,B为m×n矩阵，l,m为数12定义：并把此乘积记作C=

AB设是一个

m×s矩阵，是一个

s×n矩阵，那末规定矩阵

A与矩阵

B的乘积是一个

m×n矩阵，其中矩阵的乘法131415矩阵乘法满足的运算规律：线性方程组的矩阵表示16(1)方程组(1)的系数矩阵(CoefficientMatrix)17方程组(1)的增广矩阵(AugmentedMatrix)18方程组(1)的未知向量和常数项方程组(1)又可以表示为19在方程组(1)中记方程组(1)又可以表示为21定义:把矩阵

A

的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做

A的转置矩阵，记作

.矩阵的转置22转置矩阵满足的运算规律：23定义：由

n阶方阵

A的元素所构成的行列式，叫做方阵

A的行列式，记作|A|或

detA方阵的行列式24运算规律：对角线法则:主对角线副对角线25对角线法则：26基本结论：(1)上三角形行列式27(2)下三角形行列式28行列式的性质性质1：行列式与它的转置行列式相等。2022/12/1530性质2：互换行列式的两行(列)，行列式变号。互换i、j两行：互换i、j

两列：“运算性质”2022/12/15性质3：用非零数k

乘行列式的某一行（列）中所有元素，等于用数k

乘此行列式。“运算性质”用k

乘第i

行：用k

乘第i

列：2022/12/15性质4：若某一行是两组数的和，则此行列式就等于如下两个行列式的和。2022/12/1533性质5：行列式的某一行（列）的所有元素乘以同一数k后再加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。用数k乘第j

行加到第i

行上：用数k乘第j

列加到第i

列上：“运算性质”2022/12/1534性质6：方阵的迹定义：

n阶方阵

A的对角元素的和称为

A的迹，记作

tr(A)，即矩阵的迹满足的运算规律：36定义：设

A是

n阶矩阵，若存在n阶矩阵X使AX=E,XA=E则称

A是可逆的，并称X是A的逆矩阵，矩阵的逆37若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的。记A的逆矩阵为38方阵A的逆矩阵的求法:39定义：行列式的各个元素的代数余子式所构成的如下矩阵称为矩阵

A的伴随矩阵.2022/12/15解：例：2022/12/152022/12/1543用消元法解方程组2线性方程组方程组(1)的增广矩阵4445464748行阶梯形行阶梯形49行最简形“最简方程组”行最简形50令定义：下面三类变换称为矩阵的初等行变换:同样可定义矩阵的初等列变换

(“r”换成“c”)初等行变换和初等列变换统称初等变换。初等变换51三类初等变换都是可逆的，并且其逆变换是同一类的初等变换。52若矩阵

A经过有限次初等变换变成

B，则称

A与B等价，记作A

~

B.矩阵的等价关系满足：反身性A

~

A；对称性若A

~B，则B

~

A；传递性若A

~

B，B

~

C，则A

~

C。5354等价标准形等价标准形542022/12/1555任一m×n矩阵A

都等价于一个如下的矩阵

称F为A的等价标准形。552022/12/1556定义：矩阵A的非零子式的最高阶数

称为

A的秩，记作rank(A)。56矩阵的秩定理:

若A≌B,则rank(A)=rank(B)事实上，设

A

经过一次初等变换变为B， 若A的k

阶子式全等于零, 则B的k

阶子式也全等于零。定义：矩阵A的行阶梯形中非零行的行数称为

A的秩，记作rank(A)。5758定义：设向量组及一组实数称为向量组A的一个线性组合，称为线性组合的系数。表达式向量组的线性相关性59定义：设向量组和向量b若存在一组实数使得则称向量b

是向量组A的一个线性组合，或称向量b

能由向量组A

线性表示。60例如：则b能由线性表示.设即61所以，得62定理:

向量b可由向量组线性表示有解，其中则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示，若B组中的每一个向量都能由向量组A

线性表示，定义:设向量组及则称向量组A与向量组B等价。64定义：65n维向量组线性相关定理:则向量组也线性相关若向量组线性相关，定理:(1)(2)n+1个n维向量线性相关.(3)向量组线性无关,向量组线性相关,

则

能由向量组A唯一地线性表示式。67称r为向量组A的秩，记作rank(A)

(2)A的任意向量都可由A0线性表示.线性无关,则称A0为向量组A的一个最大线性无关组，定义:设A为一个向量组，满足：3相似矩阵其中69设A是n阶方阵,P为n阶可逆阵此过程的逆推在最后一步要求矩阵P是可逆的。71定义:设A

是n阶方阵，若数l

和非零向量x，则称l

是A

的一个特征值，x为A

的对应于特征值l的特征向量。使得72由而既齐次线性方程组有非零解方程组的解空间称为对应于l

的特征子空间.在C中的n个根为设矩阵A

的特征多项式则定理：设A

为n

阶实对称矩阵，则必存在n

阶正交矩阵Q使得其中L是以A

的n个特征值为对角元素的对角阵。定义:设二次型若对任意都有，则称f

为正定二次型并称A

为负定矩阵，也记作

A<0。并称A

为正定矩阵，也记作

A>0.，则称f

为负定二次型若对任意都有4正定矩阵76定理:二次型为正定二次型的充要条件是f

标准形的n个系数全为正，即其正惯性指数是n推论:对称矩阵A

为正定的充要条件是

A

的特征值全为正。77定理:对称矩阵A

为正定的充要条件是：

A

的各阶主子式全是正的；对称矩阵A

为负定的充要条件是：A

的奇数阶主子式是负的，偶奇数阶主子式是正的。同济大学数学系2009-3-22第1章线性空间与线性变换1.1线性空间的基本概念79定义：设F是复数的一个非空集合，若满足1）F中包含0和1；2）F对数的四则运算封闭则称集合F是一个数域（field）例子：本教程所见数域都是实数域R或者是复数域C线性空间的定义80定义：设V是一个非空集合，F为数域，a,b,gV,对于任意的a,bV,总有唯一的元素gV与之对应，称g

为a与b的和，记作g=a+b，且81对于任意的l

F

及任意的a

V

，总有唯一的元素d

V与之对应，称d为l与a的积，记作d=la，且则称V

为数域F

上的线性空间，称V

的元素为向量，称满足(1)-(4)的和为加法，满足(5)-(8)的积为数乘。82定义加法：例1.实数域上全体

n维向量的集合定义数乘：例2实数域R上的全体m×n

矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成R上的线性空间，记作Rm×n∴

Rm×n是一个线性空间。83对于多项式的加法、数乘多项式构成线性空间。84例3次数小于n的多项式的全体，记作P[x]n

对于多项式的加法和乘数运算不构成线性空间n-1次多项式的全体}0{][

01¹+++=aaxaxaxQn-1n-1n-1nL例4.][对运算不封闭xQn\85例5

在区间[a,b]上全体实连续函数，对函数的加法与数和函数的数量乘法，构成实数域R上的线性空间，记作C[a,b]。86∴

C[a,b]是一个线性空间。例6正实数的全体R+

，在其中定义加法及乘数运算为验证R+对上述加法与乘数运算构成线性空间．87有对任何中存在零元素,,1)3(++ÎRaR使有负元素,,)4(1+-+ÎÎ"RaRa证明88所以对所定义的运算构成线性空间．89线性空间的性质（1）V中的零元素是惟一的。（2）V中任何元素的负元素是惟一的。（3）数零和零元素的性质：定义:设V是一个线性空间，a1,a2,…

an∈V

若(1)a1,a2,…an线性无关，

(2)a∈V,a可由a1,a2,…an线性表示，

a=

x1a1+

x2a2+…+xnan则称a1,a2,…

an为V的一组基，

称x1,x2,…,xn为a

在基a1,a2,…

an下的坐标，称n为V的维数，记作dimV=n。维数，基与坐标9192例1设则是实数域R上的线性空间。93自然基94例2设下的坐标。求a=(1,0,-1)T

在基为

R3的一组基，9596例3求中的元素，在基下的坐标。97解：设98定理:设a1,a2…,ar(1≤r≤n)是n维线性空间V中的r个线性无关的向量，则存在V中n-r个向量ar+1,…an

使得a1,…,ar

,ar+1,…an

成为V的基.基的扩张定理基变换与坐标变换定义:设V是一个线性空间，a1,a2,…

an∈Vb1,b2,…

bn∈V为V的两组基，若【基变换公式】的则

P称为由基到基【基变换公式】转移矩阵（或过渡矩阵），其中102例3设是中的两组基，求由基到基的转移矩阵P；103基变换公式P是由基到基的转移矩阵P定理:设V是线性空间，a1,a2,…

an,b1,b2,…

bn

是V的两组基，P是由基a1,a2,…

an到b1,b2,…

bn

的

过渡矩阵，则是由

x到

y的坐标变换公式，其中105106例4设是中的两组基，下的坐标在基下的坐标。向量是

，求

在基107108定义:设V是数域F上的线性空间，W是V的非空子集，

若对于V中的加法和数乘二种运算，W是数域F

上的线性空间，则称W是V的子空间。定理:设V是数域F上的线性空间，W是V的非空子集，

若W对于V中的加法和数乘二种运算封闭，即则称W是V的子空间。1.2子空间与维数定理109例1.实数域上

n维向量的集合例2.设A为m×n矩阵，向量的集合例3.设V是数域F上的线性空间，V的子空间,记作则定理:设V是F上的线性空间，为W1与

W2

的和，记作W1+W2定义:设W1,W2

是线性空间V的子空间，称集合称集合为W1与

W2

的交，记作W1∩W2定理:设W1,W2

是线性空间V的子空间，则W1+W2与

W1∩W2都是V的子空间。称W1+W2为W1与

W2

的和空间，称W1∩W2为W1与

W2

的积空间。例4.线性空间R3的子空间求Rx+Ry，Rx+Rxy

和Rx∩Rxy。例题例题定理(维数公式):设V1,V2

是线性空间V的子空间，则维数公式例5设V1,V2

是n维线性空间V的子空间，若则V1,V2

中必有非零的公共向量。子空间的直和定义：设V1,V2

是线性空间V的子空间，若对每个向量aV1+V2都有唯一的分解式则称V1与V2

的和V1+V2是直和，记作V1

V2。例1.线性空间R3的子空间求Rx

Ry，Rx

Ryz。定理：设V1,V2

是线性空间V的子空间，则下列命题等价(2)向量0的分解式是唯一的；(4)V1的一组基与V2

的一组基的简单并是V1+V2的基；(1)V1与V2

的和V1+V2是直和;(3)V1∩V2

={0};(5)dim(V1+V2)=dimV1

+dimV2

。例2.设定理：设U是线性空间V的子空间，则存在V的子空间W，使得V=

U

W。称W是U在V中的直和补。1.3线性空间的同构同构的性质同构保持线性关系不变。定理：数域F上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数.应用：借助于空间Fn中已经有的结论和方法可以研究一般线性空间的线性关系。1.4线性变换定义设V

为线性空间，V

上的变换T:V

→V若满足则称T

为

V

上的线性变换。例1.设T为R2上的线性变换，T:

R2→R2T(a)=a′（如图）T把向量a绕原点逆时针旋转q

角度变换为a′。xyOaa′q称T为旋转变换。例2.设T为R3上的线性变换，T:

R3→R3例3.设T为

上的线性变换，

其中矩阵A是n阶方阵.线性变换的性质：设T是V上的线性变换，则线性变换的矩阵定义设T

为

V

上的线性变换，a1,a2,…,an为

V

的基A

称为T在基a1,a2,…,an下的矩阵.132A线性变换的核与像133例1.设T为上的线性变换，，求T在基下的矩阵.解：例2.设T为R3上的变换，下的矩阵.(2)求T在基(1)证明：T为R3上的线性变换；(3)

求T的象和核例

已知线性空间定义映射T：(1)证明T是V上的线性变换；(2)求V的一组基，使得T在这组基下的矩阵为对角阵。不变子空间定义:设V是线性空间，W是V的子空间，T是V上的线性变换，若aW,都有T(a)W,

则称W是V的T不变空间。例设T是线性空间V上的线性变换，则ImT,

KerT是T不变空间；同济大学数学系2009-3-22第2章内积空间2.1内积空间定义.设V是一个实线性空间，R为实数域，141若a,bV,存在唯一的rR与之对应，记作(a,b

)=r,并且满足(1)(a,b)=(b,a)(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=0a

=0则称(a,b)为a与b的内积，V为实内积空间。实内积空间也称欧几里得(Euclid)空间。对称性线性性非负性142由定义知(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)(6)(a,kb)=k(a,b)143定义内积例.线性空间称为内积空间的标准内积。144定义内积A为

n阶实正定矩阵，例.线性空间145定义内积例.线性空间C[a,b]，f,g∈C[a,b]向量长度,Cauchy-Schwarz不等式定义.

设V为实内积空间，称为向量a的长度，记作||a||。定理.

设V是实内积空间，a,bV,k

R，则等号成立当且仅当a,b线性相关；Cauchy-Schwarz不等式三角不等式正定性齐次性147例：利用Cauchy-Schwaz不等式证明向量的夹角由Cauchy-Schwaz不等式可知向量的正交定义.

设V是实内积空间，a,bV,若(a,b)=0

,则称a与b正交，记作ab。a与b正交这就是实内积空间中的勾股定理。150向量a与b在该基下的坐标为151度量矩阵矩阵

A

称为基的度量矩阵。即

A

为实对称矩阵。即

A

为实正定矩阵。2.2欧氏空间的正交基若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。定理：正交向量组必是线性无关的。154且其中每个向量的长度都是1，注意：(1)

标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即(2)

向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的基向量上的正投影，即Gram-Schmidt正交化过程Gram-Schmidt正交化过程：设是内积空间V中线性无关的向量组，，使得则V中存在正交向量组Gram-Schmidt正交化过程

图解157令是正交向量组，并且则记或注意到K是可逆矩阵，因此是正交向量组下面用归纳法说明由归纳法假设可知是正交向量组。即几个定理和推论定理1：n

维实内积空间V必存在标准正交基。推论1：n

维实内积空间V中任一正交向量组都可扩充成V

的一个正交基。定理2：设是n维欧氏空间V的一组基，，使得则V中存在标准正交基其中R是主对角元为正数的上三角矩阵161几个定理和推论1622.4正交补定义:设W,U是实内积空间V的子空间，(1)aV,若bW,都有(a,b)=0,则称a与W正交，记作aW;(2)若aW,

bU,都有(a,b)=0,则称W

与U正交，记作W

U;(3)若W

U，并且W

+U=V,则称U

为W的正交补。注意：若W

U，则W与U

的和必是直和。正交补的存在唯一性定理:设W是实内积空间V的子空间，则W的正交补存在且唯一，记该正交补为，并且正交补的存在唯一性166定理:设W是实内积空间V的有限维子空间，则向量的正投影定义:设W是实内积空间V的子空间，则称向量b为向量a在W上的正投影，称向量长度||g||为向量a到W的距离。WdbOag垂线最短定理定理:设W是实内积空间V的子空间，aV,b为a在W上的正投影，则dW,有并且等号成立当且仅当b=d。Wdba最小二乘法（1）

可能无解，即任意都可能使

（2）

不等于零，设法找实数组使（2）最小

这样的为方程组（1）的最小二乘解，

此问题叫最小二乘法问题.1.问题提出：实系数线性方程组2.问题的解决设

（3）

用距离的概念，（2）就是

由（3）知

找使（2）最小，等价于找子空间

中向量使到它的距离比到

中其它向量的距离都短.

设为此必

这等价于

（4）

即

这样（4）等价于或

（5）

例题2.5正交变换定义:设T是实内积空间V的线性变换，若aV有则称T为V的正交变换。正交变换的特征刻画定理:设T是实内积空间V的线性变换，a,bV，则下列命题等价，175推论：(1)两个正交变换的积仍是正交变换；(2)正交变换的逆变换仍是正交变换。Householder变换构造的正交变换讨论正交变换H的几何意义。故H(a)是a关于子空间的反射，dagbwO-g矩阵H称为Householder矩阵，变换H称为Householder变换，变换H也称初等反射变换。2.6复内积空间（酉空间）简介定义.设V是一个复线性空间，C为复数域，178若a,bV,存在唯一的cC与之对应，记作(a,b

)=

c,并且满足(2)(a+b,g)=(a,g)+(b,g)(3)(ka,b)=

k(a,b)(4)(a,a)≥0,(a,a)=

0a

=

0则称(a,b)为a与b的内积，V为复内积空间。复内积空间也称酉空间。对称性线性性非负性(1)(a,b)=(b,a)179定义内积例.线性空间称为复内积空间的标准内积。180在复内积空间中还有(5)(a,b+g)=(a,b)+(a,g)(6)(a,kb)=k(a,b)(8)Cauchy-Schwaz不等式且(a,b)=0

a与b正交(10)Schmidt正交化过程把线性无关的向量组变成正交组181向量a与b在该基下的坐标为182度量矩阵与Hermite矩阵矩阵

A

称为基的度量矩阵。，即

A

为复正定矩阵。，则称

A

为Hermite矩阵。，即A

为Hermite矩阵。称

A

为复正定矩阵。设T是复内积空间V的线性变换，若aV有则称T为V的酉变换。定理:设T是复内积空间V的线性变换，a,bV，则下列命题等价，2.7正规变换与正规矩阵例如，对角阵，酉矩阵，Hermite阵都是正规阵。定义3：设A,B是复方阵，若存在酉矩阵U，使则称A与B酉相似。定理1：任意复方阵必与上三角阵酉相似。定理2：复方阵A与对角阵酉相似的充分必要条件是A是正规阵。推论：实对称阵必与对角阵相似的。同济大学数学系2009-3-22第3章矩阵的标准形3.1一元多项式定义.设

n是一个非负整数，表达式190191则称

f(x)与g(x)相等，记作f(x)=g(x)。若其同次项的系数都相等，即定义.192多项式加法为了方便起见，设193运算规律:194数乘多项式运算规律:195多项式乘法其中k次项的系数是196运算规律:197定理3.1.1（带余除法）设

f(x)和

g(x)是数域

F上的多项式，并且q(x)和

r(x)是唯一的，

带余除法且g(x)≠0，则必存在多项式q(x)和

r(x)，使得若r(x)=0，则称

g(x)是

f(x)的因式，f(x)是

g(x)的倍式，也称g(x)能整除

f(x)，并记作g(x)|

f(x)。198例3.1.1设f(x)和

g(x)是有理数域F上的两个多项式

求满足等式的多项式

1992003.2因式分解定理若h(x)既是

f(x)的因式，又是

g(x)的因式，则称h(x)为f(x)与

g

(x)的一个公因式。

定义.若h(x)既是

f(x)的倍式，又是

g(x)的倍式，则称h(x)为f(x)与

g

(x)的一个公倍式。

则称

d(x)为f(x)和

g(x)

的一个最大公因式。则称

d(x)为f(x)和

g(x)

的一个最小公倍式。，并且满足:，并且满足:202不可约多项式定义.设

，若在数域F上只有平凡因式，则称为域

F上的不可约多项式，否则，称为域F上的可约多项式。

注意：(1)一次多项式总是不可约多项式；

(2)多项式的不可约性与其所在系数域密切相关。

例如，203因式分解唯一性定理

定理.数域F上任一个次数不小于1的多项式f(x)都可以唯一地分解成数域F上有限个不可约多项式的乘积。

其唯一性是指，若有两个分解式

则

s=t,并且经过对因式的适当排序后有

其中为非零常数。

204称为标准分解式。

分解式其中a是

f(x)的首项系数，是首项系数为１的不可约多项式，而是正整数205复系数多项式的因式分解定理：

因式分解定理

次数不小于1的复系数多项式在复数域上可唯一地分解成一次因式的乘积。

标准分解式为

复系数多项式的其中是正整数，且

206实系数多项式的因式分解定理：

次数不小于1的实系数多项式在实数域上可唯一地分解成一次因式和二次不可约因式的乘积。

标准分解式为

实系数多项式的其中和是正整数，且

的标准分解式。例求在实数域上的标准分解式:在复数域上的标准分解式:Problem：矩阵A到底和一个多简单的矩阵相似？Solution：理想情况下：A为对角形并非所有的矩阵都可以对角化Jordan标准形理论。Jordan标准形的应用:微分方程组的解3.3矩阵的Jordan标准形

Jordan块:形如的ni

阶矩阵称为ni

阶Jordan块。分块对角阵称为Jordan标准形Jordan标准形

定理：任何n阶复方阵A

都和一个Jordan标准形相似即存在可逆阵P，和Jordan标准形使得Jordan标准形基本理论求矩阵的Jordan标准形的方法(I)求矩阵的Jordan标准形的方法(I)(1)行列式因子(Determinatedivisor)(2)

计算行列式因子的步骤：Step1Step2Remark.例不变因子(Invariantdivisor)(3)Remark.例218(3)定义：设

A(l)的各阶不变因子在复数域的标准分解式初等因子称指数为A(l)的初等因子。Remark.来自不同的不变因子的一次因式的方幂不能合并.例的初等因子:初级因子与Jordan块的关系对于ni阶的Jordan块，我们有：初级因子与Jordan块的关系(4)例例

设求矩阵A

的Jordan标准形。初等因子组:2243.4l阵的标准形

定义.元素是

l

的多项式的矩阵称为l

矩阵，记作A(l)例如定义.设l

矩阵A(l),B(l)满足称A(l)为可逆的l

矩阵，且B(l)为A(l)的逆。显然，A(l)可逆226定义.l

矩阵的初等变换227定义:若l矩阵

A(l)经过若干次初等变换变为B(l)，l

矩阵的等价则称A(l)与B(l)等价，记作228定理：设

A(l)为

m×n

阶l矩阵，则A(l)等价于分块

对角阵称为

A(l)等价标准形，其中并且首项系数为1，l

矩阵的等价标准形例：求l

矩阵的等价标准形229230231l

矩阵的秩定义：l矩阵A(l)的不恒为零的子式的最高阶数显然，等价的l矩阵有相同的秩。称为A(l)的秩。事实上，l矩阵的初等变换不会改变其子式恒为零与否的状态，也就不会改变其不恒为零子式最高阶数。例如，A为n阶数字方阵，则不恒为零，故的秩为n。行列式因子定义：l矩阵A(l)的所有k阶子式的首1最大公因式称为A(l)的k阶行列式因子，记作Dk(l)定理：等价的l矩阵有相同的各阶行列式因子。事实上，初等变换不会改变

A(l)各阶子式的最大公因式也就不会改变其各阶行列式因子。234例：求A(l)的等价标准形的各阶行列式因子。依行列式因子的定义：235不变因子和初等因子定义：设为l矩阵

A(l)的k阶行列式因子，定理：等价的l矩阵有相同的各阶不变因子。称为A(l)的k阶不变因子。定理：等价的l矩阵有相同的初等因子。236定理：l矩阵的等价标准形是唯一的，我们称之为Smith标准形.注意到，A(l)的等价标准形中D(l)的对角元是A(l)的各阶不变因子。求矩阵的Jordan标准形的方法（II）238例2

设求矩阵A

的并求Jordan标准形解：242求矩阵的Jordan标准形J，并求可逆阵P,使例

设（P.61例3.1.6）243解：A的Jordan标准形为244245246定义：设

A

为

n阶方阵，若多项式满足则称j(l)为A

的零化多项式。3.5矩阵的最小多项式定理：(Hamilton-Cayley)设

A

为

n阶方阵，则

A

的特征多项式为A

的零化多项式。哈密顿（Hamilton，WilliamRowan)爱尔兰人．哈密顿自幼聪明，被称为神童．他3岁英语已读得非常好，4岁时是不错的地理学者；5岁时能阅读和翻译拉丁语、希腊语和希伯来语，喜欢用希腊语朗诵荷马史诗；8岁掌握了意大利语和法院，觉得英语过于平庸，用拉丁文的六韵步诗体；10岁不到开始学习阿拉伯语、梵语、波斯语；同时学习马来语、孟加拉语、古叙利亚语...；他即将学习汉语，但是太难搞到书。14岁时，因在都柏林欢迎波斯大使宴会上用波斯语与大使交谈而出尽风头．主要贡献：力学、数学、光学．Hamilton，1805-1865定义：设

A

为

n阶方阵，则称

A

的次数最低的零化多项式为A

的最小多项式，记作250最小多项式的性质：设A

为

n阶方阵，则例

设，求矩阵A

的最小多项式。解：A

的特征多项式为则A

的最小多项式只可能是由于(A-2E)(A-3E)=0，知A的最小多项式为例

设求矩阵A

的Jordan标准形及最小多项式。256初等因子组:同济大学数学系2009-3-22第4章矩阵分解MatrixFactorizationandDecomposition定理：若A的各阶顺序主子式2584.1LU分解（图灵Turing,1948）则

A可唯一分解为：A=LUL

：为主对角元为1的下三角形，U

：为上三角形。259证明261例：设求A的三角分解A=LU262解：263264265例2：设用三角分解求解Ax=b266解：对A做三角分解：A=LU，则267268269LU分解的改进(1)LDU分解270LU分解的改进(2)Cholesky(乔列斯基)分解4.2QR分解定义：Remark:这样的分解称之为QR分解.(1)利用Gram-Schmidt正交化过程的QR分解G-S正交化单位化例：解：例：解：Remark:矩阵不可逆时，这样的QR分解不唯一.(2)利用Householder变换的QR分解正交变换称为Householder变换。Householder变换的构造定理：Householder变换方法的QR分解定理：Remark：其中B

列满秩，C

行满秩。278则称其为对A的满秩分解。4.3满秩分解定义：矩阵的等价标准形满秩分解的实现：向量组最大无关组的求法例：解：满秩分解的实现：向量组最大无关组的求法例：解：例4.设282求A的满秩分解283例5.设求A的满秩分解2844.4奇异值分解定义：对奇异值进行排序(1)的性质，(2)(3)矩阵的奇异值分解是A的奇异值.定理：令奇异值分解定理的证明Step1Step2即求解方程的基础解系，再规范正交化即得Step3Step4例5、求的奇异值分解。解：标准正交化:例6、求的奇异值分解。解：4.5广义逆设A

为m×n阵，若存在n×m阵X

满足：

(1)

AXA=A(2)XAX=X(3)(AX)T=AX(4)(XA)T=XA则称X为A的Penrose-Moore逆，或“+”号逆