全程高分零基础课-2020获取第一讲义

—、基础阶段任务（１）熟记基本概念、定理、公（２）掌握基本方法与技（３）培养基本计算能力：求极限、求导数、求积分二、目标：（１）建成基础知识结（２）形成基础数学素养三、内容安排：（１）极（２）一元微分（３）一元积分（４）多元微分（５）二重积（６）微分方

高数高数烎１第一 极考点：（１）定（２）性（３）计（４）应—、极限定１函数极犳（狓）→犳（狓）→犳（狓）＋∞犳（狓）→－狓→狓ε＞０δ＞０使当０＜狘狓－狓０＜δ时即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞０δ＞０，＜δ时即有狘犳（狓）狘０犕犕＞０δ＞０使当０＜狘狓－狓０＜δ时即有犳（狓）＞犕犕＞０δ＞０使当０狘狓－狓０＜δ时即有犳（狓）＜－犕狓→狓０ε＞０δ＞０使当０＜狓－狓０＜δ时即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞０δ＞０，０＜狓－狓０＜即有狘犳（狓）狘时犕，·０＜即犕＞０δ＞０狓－狓０＜δ有犳（狓）＞犕，犕＞０δ＞００＜狓－狓０＜δ时即有犳（狓）＜－犕狓→狓ε＞０δ＞００＜狓０－狓＜δ时即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞０δ＞０，０＜狓０－狓＜δ即有狘犳（狓）狘＞时犕，·０＜即犕＞０δ＞０狓０－狓＜δ时有犳（狓）＞犕，犕＞０δ＞００＜狓０－狓＜δ时即有犳（狓）＜－犕２续犳（狓）→犳狓）→＋犳（狓）→－狓→ε＞０犡＞０狘狓狘＞犡时即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞０犡＞０狘狓狘＞犡时即有狘犳（狓）狘＞犕犕＞０犡＞０狘狓狘＞犡时即有犳（狓）＞犕犕＞０犡＞０狘狓狘＞犡时即有犳（狓）＜－犕狓→＋ε＞０犡＞０狓＞犡时即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞０犡＞０狓＞犡时即有狘犳（狓）狘＞犕犕＞０犡＞０狓＞犡时即有犳（狓）＞犕犕＞０犡＞０狓＞犡时即有犳（狓）＜－犕狓→－ε＞０犡＞０狓＜－犡时即有狘犳（狓）－犃狘＜ε犕＞０犡＞０狓＜－犡时即有狘犳（狓）狘＞犕犕＞０犡＞０狓＜－犡时即有犳（狓）＞犕犕＞０犡＞０狓＜－犡时即有犳（狓）＜－犕【例１】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１６第１０题证明：若狓→＋∞及狓→∞时，函数犳狓）的极限都存在且都等于犃，则ｌｉｍ犳狓）＝犃狓→【分析３【例２】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１７第１１题根据函数极限的定义证明：函数犳狓）当狓→狓０时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等．【分析４【例３】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１７第１２题试给出狓→∞时函数极限的局部有界性的定理，并加以证明【定理】若ｌｉｍ犳狓）存在，则存在犡＞０及犕＞０，使 狘狓狘狓→犡均有狘犳狓）狘≤犕【分析５２数列极狀为自然数狀→ 专指狀→＋∞，而略去“＋”不ｌｉｍ狓狀＝ ε＞０ 犖＞０，当狀＞犖时，有狘狓 犃狘＜狀→【例４】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１４第６题若ｌｉｍ狌狀＝犪，证明ｌｉｍ狘狌狀狘＝狘犪狘．并举例说明：如果数列狘狓狀狀→∞ 狀→∞狘｝有极限，但数列狓狀｝未必有极限【分析６【例５】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１４第８题对于数列狓狀｝，若狓２犽１→犪犽→∞），狓２犽→犪犽→∞），证明：狓狀→犪狀→∞）．【分析７二、极限三大性１唯一若ｌｉｍ犳狓）＝犃，则犃唯一狓→狓【分析８【例６】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１５第４题求犳狓）＝狓

狓

当狓→０时的左、右极限，并说明们在狓→０时的极限是否存在【分析９【例７】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ４４例６（１当狓→

时，函数狓 ｅ ｅ

狓１

的极限为 （Ａ （Ｂ（Ｃ （Ｄ）不存在但不 【分析２局部有界若ｌｉｍ犳狓）＝犃， 犕＞０，δ＞０，当０＜狘 狓０狘＜δ时狓→狓恒有狘犳狓）狘＜犕【分析【例８犳狓）

狘狓狘ｓｉｎ狓 ２）在（ ）内有界．狓狓 １）（狓 ２）２Ａ．（ １，０） Ｃ．（１，２ Ｄ．（２，３【分析３局部保号若ｌｉｍ犳狓）狓→狓若ｌｉｍ犳狓）狓→狓【分析

>０，则狓*狓０时犳狓） ＜０，则狓*狓０时犳狓）＜【例９】设ｌｉｍ犳狓）＝犳（０）且ｌｉｍ犳狓 ＝ ２，则狓＝０狓→ 狓→０ ｃｏｓ Ａ．极大值 Ｂ．极小值Ｃ．非极值 Ｄ．无法判【分析三、极限的计１函数极限计①七种未定式烄０，∞，∞·０ ∞，∞０，００，１∞烆 【注０不是真的０，１不是真的１②计算工（１）洛必达法狓→

犳′狓

狓→

犳狓ｂ）且ｌｉｍ ，则ｌｉｍ ＝ｌｉｍ犳′狓）狓→犵′狓 狓→犵狓 狓→犵′狓隐含条件犳狓），犵狓）都为无穷小量可导函数比值的极限存在．【注１】如ｌｉｍｓｉｎ

＝

ｃｏｓ１狓→

狓→ 洛必达法则能不能用，用了再说，用了若存在，则存在；用了若不存在，只能说洛必达法则失效，并不能说原极限一定不存在，如：【例１０】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９７第２题验证极限狓→

狓＋ｓｉｎ狓

存在，但不能用洛必达法则得出【分析【例１１】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９７第３题］狓２ｓｉｎ１验证极限狓→

ｓｉｎ

存在，但不能用洛必达法则得出【分析【注２】常用等价无穷小当狓→０时，ｓｉｎ狓～狓ａｒｃｓｉｎ狓～狓ｔａｎ狓～狓ａｒｃｔａｎ狓～狓ｅ狓１～狓ｌｎ（１＋狓）～（１＋狓）α１～α狓１ｃｏｓ狓～狓２２第一组烄０烆

，∞·烎【例１】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９５第１（９）题

ｌｎ１烆

狓烎烄０烌狓→＋∞ａｒｃｃｏｔ狓烆０【分析【例２】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９５第１（７）题ｌｉｍｌｎｔａｎ７狓烄∞烌狓→０＋ｌｎｔａｎ２狓烆∞【分析【例３】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９５第１（１２）题］ｌｉｍ狓２ｅ１／狓２（０·∞）．狓→【分析第二组 ∞①有分母，则通【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１２３第１０（２）题ｌｉｍ 狓→０燀ｌｎ（１＋狓【分析

１燄（∞ ∞）．狓燅②没有分母，创造分１【例】狓→＋【分析

１）狓第三组（∞０，００，１∞）犝狓）犞（狓）＝ｅ犞（狓）ｌｎ犝（狓【例１】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９５第１（１６）题狓→

１烌ｔａｎ狓狓

０【分析【例２】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９５第１（１５）题］ｌｉｍ狓ｓｉｎ狓（０）．＋狓→【分析【例３】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１２３第１０（４）题 ［（犪１狓＋犪２狓…＋犪狀狓）／狀］（中犪１，犪２，０狓→（１∞【析（２）泰勒公任何可导函数犳狓） ∑犪狀狓当狓→０时①ｓｉｎ狓＝ １狓３＋狅狓３６②ａｒｃｓｉｎ狓＝狓＋１狓３＋狅狓３６③ｔａｎ狓＝狓＋１狓３＋狅狓３３④ａｒｃｔａｎ狓＝ １狓３＋狅狓３３⑤ｃｏｓ狓＝ １狓２＋１狓４＋狅狓４ 狓 狓 狓 （４狓

）＝ ２＋狓 狓

４＋狅（３⑦ ＝１＋狓＋２！＋３！＋狅 ＝１＋狓＋狓２＋狓３＋狅狓３）（狘狓狘＜１ ⑨（１＋狓

＝１＋α狓

α １狓２＋狅狓２２【例１】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９９第６题求函数犳狓）＝ｔａｎ狓的带有佩亚诺型余项的３阶麦克劳林式【分析【例２】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９８第３题求函数犳狓）＝槡狓按狓４）的幂展开的带有拉格朗日型余项的３阶泰勒公式．【分析槡４【例３】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ１００第１０（１）（３）题槡４（１）狓→＋

（３狓３＋３狓

槡狓

２狓３１＋１狓

槡１＋狓（２狓→【分析

２（ｃｏｓ ｅ狓）ｓｉｎ狓２２数列极限运（１）若狓狀易于连续化，转化为函数极限计算依据：若ｌｉｍ犳狓）＝犃，则ｌｉｍ犳狀）＝犃狓→＋ 狀→槡【例】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ４１第４（３）题槡求极限狀→【分析

狀（狀犪 （２）若狓狀｝不易于连续化，用“准则”（或定积分定义【例１】［张宇带你学高等数学·上册犘４４第４（１）题２求极限ｌｉｍ ＋… 烌２狀→∞烆【分析

＋狀＋ 狀２＋狀＋ 狀２＋狀＋狀２【例２】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ４１第４（１）题］求ｌｉｍ烄 ＋…＋ 烌．２狀→∞烆【分析

＋狀＋ 狀２＋狀＋ 狀２＋狀＋狀（３）若狓狀｝由递推式狓狀＝犳狓狀１）给出，用“单调有界准则”：给出狓狀｝，若 狓狀｝单增且有上界或者单减且有下界ｌｉｍ狓 狓狀｝收狀→【例】［张宇带你学高等数学·上册犘４１第４（２）题存在，并求此极限．【分析

槡６＋狓狀狀＝１，２，…），试证数 狓狀｝极四、极限的应 —— 连续与间 基任何初等函数在其定义区间内连续（只要见到的函数都是初等函数），故考研中只研究两类特殊的点：分段函数的分段点（可能间断）无定义点（必然间断）２连续的定若ｌｉｍ犳狓）＝犳狓０），则犳狓）称在狓＝狓０处连续狓→狓【注】ｌｉｍ犳狓）＝ｌｉｍ犳狓）＝犳狓０）三者相等才连续０狓→狓０３间断的定

狓→狓设犳狓）在狓＝狓０点的某去心邻域有定（１）ｌｉｍ犳狓 （２）ｌｉｍ犳狓 （３犳狓０＋狓→狓 狓→狓ａ）第一类间断点（１），（２）均存在，（１）≠（２）：狓０为跳跃间断（１） （２）≠（３）：狓０为可去间断ｂ）第二类间断点（１），（２）至少一个不存在（目前为止考研只考了（１）（２）均不存在）若不存在＝ 无穷间断若不存 ＝振 振荡间断【注】 单侧定义不讨论间断②若出现左右一边是振荡间断，一边是无穷间断，则我们应该分侧讨论【例１】［张宇带你学高等数学·上册Ｐ９７第４题］讨论函数烄熿（１＋狓）１狓燄狓犳

）＝烅