三角形问题中的数学思想方法

--PAGE6-三角形问题中的数学思想方法桥梁，是灵活应用数学知识、技能的灵魂.因此，在解三角形题过程中准确快捷的关键是正确运用数学思想方法.这里对三角形解题时常用的分类讨论思想、整体思想、方程思想、转.一、分类讨论思想(..115cm6cm.分析:要注意等腰三角形有两边相等，一腰上的中线把它的腰分成的两段相等.由于问题中未指明哪一段为15cm，哪一段为6cm，故需分类讨论.1D解:设腰长为xcm，底边为ycm，即AB=x，则AD=CD=2x，BC=y AD1 1⑴若x+2x=6时，则y+2x=15.1 1x+2x=6得x=4.把x=4代入y+2x=15y=13.B C因为4+4<13，所以不能构成三角形.图11 1⑵若x+2x=15时，则y+2x=6.1 1由x+2x=15得x=10.把x=10代入y+2x=15得y=1.10+1>10符合题意，所以三角形三边分别为10cm、10cm、1cm.2ABC中，∠A=45°BDCEH，求∠BHC的度数.分析:三角形的形状不同，高的交点的位置也就不同.高的交点可能在三角形内部，也可A能在三角形外部，故应分两种情况加以讨论.解:⑴当△ABC为锐角三角形时(图2)E∵BDCE是△ABC的高，∠A=45°，∴∠ADB=∠BEH=90°. DH在△ABD中，∠ABD=180°－90°－45°=45°. B C图2∵∠BHC是△BHE的外角，∴∠BHC=90°+45°=135°.AEC⑵当△ABC为钝角三角形时(AEC∵H是△ABC两条高所在直线的交点∠A=45°，∴∠ABD=180°－90°－45°=45°.在Rt△BEH中，∠BHC=180°－90°－45°=45°.∴∠BHC的度数是135°或45°.

B D H图3注意：涉及三角形高的问题，常常会因为高的位置而需要讨论，否则就会漏解.二、整体思想研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是将待解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式，整体结构做整体处理后，达到解决问题的目的.34，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G.分析:观察图形可得，图由一个四边形和一个三角形构成，可根据四边形和三角形的内角BDBDAE和定理求度数之和.解:因为∠A+∠C+∠E=180°，又因为∠B+∠D+∠F+∠G=360°，G F所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°. 图4剖析:例题中若直接求出每一角的度数再求其和显然是做不到的.因此，设法整体求值是解题的关键.事实上，有些数学问题，如果从局部去考虑，拘泥于常规，则举步维艰.如果从全局着手，突破常规，则会柳暗花明.三、方程思想..例4如图5，在△ABC中，∠B=∠C，∠1=∠2，∠BAD=40°.求∠EDC.21EDx分析：利用三角形的外角性质，设法建立关于21EDx解:设∠EDC=x.因为∠1是△DEC的外角，所以∠1=x+∠C.B C又因为∠1=∠2，所以∠2=x+∠C. 图5又因为∠2是△ABD所以∠B+∠BAD=∠2+x，即∠B+40°=∠C+2x.因为∠B=∠C，所以2x=40°，解得x=20°.剖析:四、转化思想用简单、已学过的知识解决复杂、未知的知识，把复杂的问题转化为简单的问题，将陌生的问题转化为熟悉的问题来解.这种解题思想叫转化思想.112例5如图6，求五角星各顶角之和.分析:因为、、、∠D、∠E较分散，本例中又不 B E知其度数，因此，应设法将它们集中起来，将问题转化为三角形C D来处.根据三角形外角性质和内角和定理可以求解． 图6解:因为∠1=∠C+∠E，∠2=∠B+∠D，又因为∠1+∠2+∠A=180°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.点拨:此题还可以连接CD求解.当我们求多个角之和不能直接计算时，应考虑转化为三角形求解.五、数形结合思想67，在△ABCAD是角平分线，∠B=60°，∠C=45°，求∠ADB和∠ADC的度数.分析:在△ABD中，∠ADB是一个内角，它等于180°－∠B－∠BAD，故求出∠BAD即可求出∠ADB的度数，这由已知条件不难求得;同理可求出∠ADC的度数.解:在△ABC中， A∵∠B=60°，∠C=45°，∠B+∠C+∠BAC=180°，∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－60°－45°=75°.1 B D C又∵AD是角平分线，∴∠BAD=∠DAC=2∠BAC=37.5°.图7在△ABD中，∠ADB=180°－∠B－∠BAD=180°－60°－37.5°=82.5°.同理∠ADC=180°－∠C－∠DAC=180°－45°－37.5°=97.5°.点拨:几何与代数是患难兄弟，密不可分.在求解几何题中，通常数与形要结合起来才能打开思路，进行运算.否则，一头舞水，扑朔迷离，茫然不知所措.数学思想方法在三角形中的应用一、方程思想方法：例1、已知：等腰三角形的周长是24cm，腰长是底边长的2倍，求腰长.分析=+2的长为xcmx+2x+2x=24.解：(1)设底边长xcm，则腰长为2xcmx+2x+2x=24x=4.8∴腰长=2x=2×4.8=9.6(cm)点拨：用设未知数，找相等关系，列方程来解，体现了几何问题用代数方法解和方程思想.二、分类讨论的思想方法：ABC，高BD和CE所在直线交于H的度数..EHB EHA D CEAEACD图2H解：∵△ABC为斜三角形，∴△ABC可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形，ABC为锐角三角形时（如图1，∵BD、CE是△ABC的高，∠A=45°，∴∠ADB=∠BEH=90°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABH+∠BEH=45°+90°=135°.ABC为钝角三角形时（如图2，H为△ABC的两条高所在直线的交点，∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，在Rt△EBH中，∠BHC=90°-∠ABD=90°-45°=45°.综上所述，∠BHC的度数是135°或45°.想.此类问题的出现，往往会被同学们忽视，或考虑不全面，希望大家在平时就要养成分类..三、转化的数学思想方法：例3、如图3，已知五角星形的顶点分别为A、B、C、D、E，请你求出∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.AB M 1 2 N EC D图3分析.解法一：∵∠1是△CEM的外角，∴∠1=∠C+∠E，∵∠2是△BDN在△AMN中，由三角形内角和定理，得∠A+∠1+∠2=180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.解法二：如图4，连结CD，在△BOE和△COD中，∠5=∠6，∵∠3+∠4+∠6=∠B+∠E+∠5=180°，∴∠3+∠4=∠B