《高等数学一》期末复习题与答案-26011462418282891

......下载可编辑.《高等数学（一）》期末复习题一、选择题x2x2xx

x)的结果是（ ）（A）0 （B） （C）12

不存在2、方程x33x10在区间(0,1)内 （ ）（A）无实根 （B）有唯一实根 （C）有两个实根（D）有三个实3、f(x)是连续函数,则f(x)dx是f(x)的 （ ）一个原函数；(B)一个导函数；(C)全体原函数；(D)全体导函数4、由曲线ysinx(0x)和直线y0所围的面积是 （ ）（A）1/2 (B)1 (C)2 (D)5、微分方程yx2满足初始条件y| 2的特解是 ( )x01 1（A）x

（B）

x3 （C）x32 （D）x33 36、下列变量中，是无穷小量的为（ ）1 x2(A)lnx(x(B)ln(x0)(C)cosx(x0) (D) (x2)x x247、极限lim(xsin11sinx)的结果是（ ）x0 x x（A）0 （B）1 （C）（D）不存在8、函数yexarctanx在区间上（ ）单调增加 （B）单调减小 （C）无最大值 （D）无最小值9、不定积分

xx21

dx= （ ）1 1arctanx2C (B)ln(x21)C (C)2arctanxC10、由曲线yex(0x和直线y0所围的面积是（ ）（A）e1 (B)1 (C)2 (D)edyxy

ln(x21)C211、微分方程dx

的通解为 （ ）（A）

yCe2

（）

1x2yyCe

yeCx

（D）

yCex212、下列函数中哪一个是微分方程y3x20的解( )（A）yx2 （B） yx3 （C）y3x2 （D）yx313、函数

ysinxcosx1 是 （ ）x1奇函数；(B)偶函数；(C)非奇非偶函数；(D)既是奇函数又是偶函数14、当x0x1（A）ex1

(B)ln(x1) (C)sin(x(D)15、当x时，下列函数中有极限的是 （ ）x1（A）

(B)

cos

1(C)

arctanxx21 ex16、方程x3px10(p0)的实根个数是（ ）（A）零个 （B）一个 （C）二个（D）三个17、(

)dx（ ）（A）

1x211x2

11x2

C （C）arctanx （D）arctanxc18、定积分ba

f(x)dx是 （ ）（A）一个函数族 （B）f(x)的的一个原函数（C）一个常数 （D）一个非负常数x2x2119、函数

yln x

是（ ）（A）奇函数（B）偶函数 （C）非奇非偶函数（D）既是奇函数又是偶函数20、设函数

fx在区间,上连续，在开区间内可导，且fx0，则( )(A)

f00 (B)ff0 (C)f0 (D)ff0221y

1e

2，则下列选项成立的是（ ）没有渐近线 (B)仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D)仅有水平渐近22、(cosxsinx)dx( )（A）sinxcosxC

sinxcosxC（C） sinxcosxC sinxcosx（C） n(1)n23、数列{ n }的极限为（ ）（A）1 (B)1 (C)0 (D)不存24、下列命题中正确的是（ ）（A）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量两无穷大量的和仍为无穷大量 （D）两无穷大量的差为零25、若f(x)g(x)，则下列式子一定成立的有（ ）(A)

f(x)g(x) (B)df(x)dg(x)(C)(df(x))(dg(x)) (D)f(x)g(x)126、下列曲线有斜渐近线的是( )yxsinx (B)yx2sinx1 1yx

yx2sinx x二、填空题lim1cosx1、x0 x22、 311

f(x)e2x2，则f'(0)(x3cosx5x4

etdx5、微分方程yy0满足初始条件y| 2的特解为x0limx246、x2

x3limx2x27、极限

x2 x248、设

yxsinx1,

f( )29

1(xcosx1)dx110、

31x2

dx11、微分方程ydyxdx的通解为1211

5x4dx13x

xsin2xx14、设ycosx2，则dy15、设

yxcosx3,f(16、不定积分

exdex17、微分方程ye2x的通解为dy 1yy2e2x

y2e2xdx y2

dye2xdx11dye2xdx1 e2xC1y2 y 2x0,y2代入上式可得到C01 1所求的特解为

e2x或者y2e2xy 218、微分方程lnyx的通解是219、)3x＝2x x20、设函数

yxx,则y21、

lim(1

2

n)的值是n

n2 n2 n2limx(x1)(x2)22、x 2x3

x323、设函数

yxx,则dylim

2x23x124、

x0 x425、若f(x)e2xsin

，则f'(0)626

a2(1sin5x)dx (a为任意实数).a27、设yln(ex1)，则微分dy .28、

2(cosx2

x31x2

)dx .三、解答题1（9）

y x16 2x 的定义域。2（10）

f(x)x(x1)(x2)L(x2014)，求f(0)。1 13（本题满分10分）设曲线方程为y x3 x26x1,求曲线在点(1)处的切线方程。3 24（10）yxyx2所围成的平面区域的面积。x2 x15（10）

f(x)3x x

在x1处的连续性。

2x36（本题满分10分）求微分方程dx 的特解。y|

3x17（9）

y2 x4cos 5x 的定义域。8（10）

fxxx1)(x2)Lxn) (n2)f(0)。9（10）x22xy3y23，求曲线在点（2，1）处的切线方程。10（10）yexy1x1所围成的平面图形的面积（如下图．11（10）

x xf(x)ex1 x0

在x0处的连续性。12（10）求方程

y2)dx(1x2)dy0的通解。13（10）x57x4在区间(1,2内至少有一个实根。14（10）

fxxx1)(x2)Lx2015)f(0)。15（10）eyxye在点（0，1）处的法线方程。16（10）ycosxy2,x

及y轴所围成平面图形的面积。217（10）

cosx x0f(x)x1 x

在x0处的连续性。 1xy218（10）dx

xy

的特解。y|

1x019（20）曲线a2yx2 (0a1)将边长为1的正方形分成A、B两部分如图所示其中A 绕x 轴旋转一周得到一旋转体,记其体积为V

，B绕y,记其体积为V.A B问当a取何值时,VA

V的值最小.Ba2a2yx21BAoa120（20）4底线的方向带球前进，问：该球员应在离底线多少米处射门才

x 65.2221（10）

f(x)xln(1t

0)，

f(x)

1f( ).dt (1 tdt (22、证明题（本题满分10分）f(x在上连续,在0,3内可导,f(0)f(1)f(2)3f(3)1。试证必存在一点0,3f0.23、（本题满分20分）一火箭发射升空后沿竖直方向运动，在距离发射台4000m处装有摄像机，摄像机对准火箭。用h 表示高度，假设在时刻t ，火箭高度h=3000m，运动速度等于300m/s,（1）用L表示火箭与摄像机的距离，求在t时刻L的增加速度.0 0（）用表示摄像机跟踪火箭的仰角（弧度，求在t时刻的增加速度.0《高等数学（一）》期末复习题答案一、选择题( x2x( x2xx)( x2xx)( x2xx)( x2xx)x2x2x

x)lim

(x2xx2

lim x( x2x( x2xx)

x

x(x2x1)x2(x2x1)x2x

lim 1 1(111)xx(111)x2、B 解答：设f(x)x33x1，

f(0)1,f(1)1有零点定理得f(x)在区间(0,1)内存在实数根，又因，fx)3x230 可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。3、C，4、Csinxdx205、D解答：直接积分法y

1x3C3

代入已知点坐标可得C2，6、A解答：因为limlnxln1x1

所以此时是无穷小量。，7、Clim(xsin11sinx011x0 x x18、Ayex

1x2

0，所以单调增加。9、D解答：

dx1

1dx2

1

1 d(x21)

ln(x21)C1x21 2 x21 2 x21 2110、A1exdxex011、B解答：先分离变量，两端再积分

1e10dyxy1dyxdx1dyxdxlny1x2Cdx y y 2 1所求通解为

yCe1x2212、D解答：直接积分法2

yx3C C0yx3，13、C解答：

ysinxcosx1是奇函数加上偶函数，所以是非奇非偶函数。14、Blimln(x1)ln1x0

所以此时是无穷小量。，15、A解答：limx1lim x1 lim 1 0 其它三项极限都不存在。xx21 x(x1)(x1) x(x1) ，16、B解答：设f(x)x3px1，则

f(0)1,f(1)p0，有零点定理得f(x)在区间(1,0)内存在实数根，又因，f(x)3x2p0 可知函数具有单调性，所以有唯一的实根。，17、B解答：求导与求积分是互逆的运算，先求导再求积分，是所有原函数所以选B......下载可编辑.18、C解答：考察定积分的概念，定积分计算完以后是一个确切的常数，可能是正数，也可能是0，还可能是负数。19、A解答：由偶函数的定义去判断即可，设yf(xln x x21，则 xxx21

x21x2xx21x2x

x21x2f(x)lnx

ln

1x

ln

x21xx21 1 x21ln

x21x

ln x

f(x)20、B

fx0ff021、C解答：lim

2 =2y2

2 =x0x是铅直渐近线。

1ex2

x01ex222、D考查定积分的性质与基本的积分表(cosxsinx)dxsinxcosxCn(1)nn23、A解答：分子分母同时除以n可以得到lim 1nn24、B解答：考查无穷小量的重要性质之一，有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量，其它选项都不一定正确。25、Cf(xg(xdf(xdg(x(df(x))dg(x))，其它选项都有反例可以排除。26、C解答：有求解斜渐近线的方法可得xsin1yxsin1klimylim xlim101blim(ykxlim(xsin1xlimsin10，所x xx x

x

x

x x x求斜渐近线为yx。其它选项都没有。二、填空题1 1cos

12x2 11、 解答：1cosx~1x2 lim lim 2 2 x0

x2x0

x2 2或者用罗比达法则也可以求解。22解答：f(x)e2x2fx2e2xf(0)23、2 解答：应用奇函数在关于原点对称区间上的积分为01(x3cosx5x1dx

(05xx=

(0+01dx=1dx=21 1 1 14、etxC 分析：被积函数et相对于积分变量来说是常数，所以etdxetxC5、y2ex 解答：yy0yCex，代入初始条件y|x02得到2Ce0C2所求特解为y2exx24 224 06、0解:lim lim lim 0x2x3 x223 x253 x2x2 (x2)(x1) (x1) 21 37、 解:lim lim lim lim 4 x2

x24

x2(x2)(x2) x2(x2) x222 48、1解:

yxsinx1ysinxxcosx

( )sincos12 2 2 29、2解：应用性质，奇函数在对称区间上的积分为01(xcosx013arctanxC

11dx21

3 dx3arctanxC10、

1x211y2x2C解对方程ydyxdx两端积分ydyxdxy2x2C122

15x4dx215x4dx2x1 01sin2x

12013、1 解

lim

xsin2x

x lim101x x

x 1

x 1142xsinx2dxdyydx，先求出导数，再求微分ycosx2ysinx22x2xsinx2dy2xsinx2dx15、1 解：yxcosx3ycosxxsinxf)cossin116、

1e22

C 解：将ex看成一个整体，利用凑微元法得exdex e2xC121117、y e2xC 解：先分离变量，再积分得通解12ye2xdye2xdye2xdxdye2xdxy1e2xCdx 218、yexC 解：先整理，再分离变量求通解lnyxyexydyexdxyexCe6

2 2(x)(6)19、

lim(1)3

lim(1)

e6x x x x20、xx(1) 解：本题是幂指函数，利用对数求导法来求导数yxxlnyxlnx1

lnxx 1lnxyy(1lnx)xx(1lnx)y 1y y 121、2 解：分母相同，分子先通分，分子分母最高次幂都是2次幂，自变量趋于无穷大，极限等于最高次幂的系数之比(1n)nlim(12L

n 123...)lim

lim 2 1nn2

n2 n n2

n n2 222、

1 x(x1)(x2) 1解：分子分母最高次幂都是3次幂，自变量趋于无穷大，极限等于最高次幂的系数之比lim 2 x 2x3x3 223、xx(lnx1)dx解：由微分的定义dyydx，先求出导数，再求微分，本题是幂指函数可以利用对数求导法来求导数y 1yxxlnyxlnxdyxx(1lnx)dx

lnxx 1lnxyy(1lnx)xx(1lnx)y x1 2x23x1 01 124、 解：lim lim 4 x0

x4

x004 425、2 解：先求导数，再代入具体数值f(x)2e2xf(0)2e0226、2 解：利用奇函数与偶函数的积分性质a2(1sin5x)dxa21dx227、

ex

dy

a a，先求出导数，再求微分ex1yln(ex

1)y

ex dy ex dxex1 ex128、2 解：利用奇函数与偶函数的积分性质2(cosx2

x31x

)dx222

cosxdx2

2cosxdx2.0三、解答题1（9）x102x0x1解得x 2所以函数的定义域为[1，2]2（10）f(0)x0

f(x)f(0)x0lim(x1)(x2)L(x2014)2014!x03（10）xyx2x6x0

6(0,1)从而可得：切线方程为

y16(x0) y6x14（10）y10解：作平面区域，如图示yx

y=x=x2y1xyx2（，（，）x2 x31 10所求阴影部分的面积为：S1(xx2)dx= =005（10）

2 3 6解：Q

limf(x)limx23f(1)x1 x1limf(x)lim3x3f(1)x1 x1fx)x1处是连续的。6（10）解：将原方程化为dy

(2x两边求不定积分，得

dy

(2x

yx23xC将y| 3代入上式，有313C，所以C1，x1故原方程的特解为

yx23x1。7（9）x405x0......下载可编辑.x4解得x 5所以函数的定义域为[4，5]8（10）f(0)x0

f(x)f(0)x0lim(x1)(x2)L(xn)n!x09（10）x2xy

xy)6yy0将点（2，1）

y 1(2,1)10（10

y1x2) xy30解：所求阴影部分的面积为S

1(ex0(exx)10e211（10）解：Q

limf(x)limex

10f(0)x0 x0limf(x)limx0f(0)x0 x0fx)x0处是连续的。12（10）解：由方程(1

y2)dx(1x2)dy0，得dy dx1y2 1x2

dy 1y2

dx1x2得arctanyarctanxCarctan

arctanxCytan(arctanxC)13（10）解：令Fxx57x4，Fx在上连续F(1)100，F(2)140由零点定理可得，在区间(1,2)内至少有一个，使得函数 Fx57x40在区间(1,214（10）

5740，f(0)limfxf(0)lim(x1)(x2)Lx2015)2015!x015（10

x

x0解：方程两端对x求导，得eyyyxy0将点（0，1）

y(0,1)

1e从而可得： 法线方程

yex1y=22xy=cosx2y=22xy=cosx2x02220S2(2cosx)dx (2xsinx)0(2 sin )012 217（10）解：Q limf(x)limcosx1f(0)x0 x0limf(x)lim(x1)1f(0)x0 x0fx)x0处是连续的。18（10dy解：将原方程化为dx

y21

dy1y2

(1x)dx两边求不定积分，得arctanyx

2x2Cy

x0

1得到C41 1 故原方程的特解为arctan

x x2 或ytan(x x2 ).2 4 2 419（20）解：A由以[0,a

x2的曲边梯形和 ya2ya2yx21BAoa1以[a为高的矩形两部分构成.由切片法可得：V A

ay2dx12a)0a 4 a4 0

x4dx(1a)(1a)，5 x1 1 V x2dy a2 ydy a21 1 B 0 0 24 1F(a)VA

V a) a2，a(B 5 2由F(a)4a0，驻点为:a5 5F(aF(aa

4F(a).5或者,又F(a)4a5

0, a4为极小值点，亦最小值点，5可见：当a4时，V5 A

V.B20（2020（20）解：由题意可得张角x满足arctan10arctan6xxddx10x2661100 136x210x236 x2100 240