立体几何大题同步练习-菁优网

立体几何大题同步练习解答题（共10小题）1．（2023•福建）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．2．（2023•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．3．（2023•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．4．（2023•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．5．（2023•浦东新区一模）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2．（1）求证：SA⊥CD；（2）求异面直线SB与CD所成角的大小．6．（2023•安徽模拟）如图：已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：（1）PC∥平面EBD．（2）平面PBC⊥平面PCD．7．（2023•云南模拟）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，E、F分别为AC、BC的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若PA=PB，CA=CB，求证：AB⊥PC．8．（2023•盐城二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；（2）求证：BE⊥平面PAC．9．（2023•苏州一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．10．（2023•河西区三模）如图，已知矩形ABCD中，AB=10，BC=6，将矩形沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，且A1在平面BCD上的射影O恰好在CD上．（1）求证：BC⊥A1D；（2）求证：平面A1BC⊥平面A1BD；（3）求三棱锥A1﹣BCD的体积．立体几何大题同步练习参考答案与试题解析一．解答题（共10小题）1．（2023•福建）如图，三棱锥A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面ABD；（Ⅱ）若AB=BD=CD=1，M为AD中点，求三棱锥A﹣MBC的体积．考点：直线与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明：CD⊥平面ABD，只需证明AB⊥CD；（Ⅱ）利用转换底面，VA﹣MBC=VC﹣ABM=S△ABM•CD，即可求出三棱锥A﹣MBC的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD，∵CD⊥BD，AB∩BD=B，∴CD⊥平面ABD；（Ⅱ）解：∵AB⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BD．∵AB=BD=1，∴S△ABD=，∵M为AD中点，∴S△ABM=S△ABD=，∵CD⊥平面ABD，∴VA﹣MBC=VC﹣ABM=S△ABM•CD=．点评：本题考查线面垂直，考查三棱锥A﹣MBC的体积，正确运用线面垂直的判定定理是关键．2．（2023•山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分别为线段AD，PC的中点．（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明四边形ABCE是平行四边形，可得O是AC的中点，利用F为线段PC的中点，可得PA∥OF，从而可证AP∥平面BEF；（Ⅱ）证明BE⊥AP、BE⊥AC，即可证明BE⊥平面PAC．解答：证明：（Ⅰ）连接CE，则∵AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，∵F为线段PC的中点，∴PA∥OF，∵PA⊄平面BEF，OF⊂平面BEF，∴AP∥平面BEF；（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，∴BE∥CD，∵AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AP⊥CD，∴BE⊥AP，∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，∴四边形ABCE是菱形，∴BE⊥AC，∵AP∩AC=A，∴BE⊥平面PAC．点评：本题考查直线与平面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用直线与平面平行、垂直的判定是关键3．（2023•江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，DF=5．求证：（1）直线PA∥平面DEF；（2）平面BDE⊥平面ABC．考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）由D、E为PC、AC的中点，得出DE∥PA，从而得出PA∥平面DEF；（2）要证平面BDE⊥平面ABC，只需证DE⊥平面ABC，即证DE⊥EF，且DE⊥AC即可．解答：证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，又∵PA⊄平面DEF，DE⊂平面DEF，∴PA∥平面DEF；（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；∴DE2+EF2=DF2，∴∠DEF=90°，∴DE⊥EF；∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；∵DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．点评：本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目．4．（2023•北京）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1=AC=2，BC=1，E，F分别是A1C1，BC的中点．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）求证：C1F∥平面ABE；（Ⅲ）求三棱锥E﹣ABC的体积．考点：平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明AB⊥B1BCC1，可得平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；（Ⅲ）利用VE﹣ABC=，可求三棱锥E﹣ABC的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直于底面，∴BB1⊥AB，∵AB⊥BC，BB1∩BC=B，∴AB⊥B1BCC1，∵AB⊂平面ABE，∴平面ABE⊥B1BCC1；（Ⅱ）证明：取AB中点G，连接EG，FG，则∵F是BC的中点，∴FG∥AC，FG=AC，∵E是A1C1的中点，∴FG∥EC1，FG=EC1，∴四边形FGEC1为平行四边形，∴C1F∥EG，∵C1F⊄平面ABE，EG⊂平面ABE，∴C1F∥平面ABE；（Ⅲ）解：∵AA1=AC=2，BC=1，AB⊥BC，∴AB=，∴VE﹣ABC===点评：本题考查线面平行、垂直的证明，考查三棱锥E﹣ABC的体积的计算，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．5．（2023•浦东新区一模）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2．（1）求证：SA⊥CD；（2）求异面直线SB与CD所成角的大小．考点：异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由线面垂直的性质可得CD⊥SD，结合正方形的性质可得CD⊥AD，可判CD⊥平面SDA，可得结论；（2）可得∠SBA或其补角是异面直线SB与CD所成角，在直角△SAB中可得tan∠SBA的值，由反三角函数可得．解答：解：（1）∵SD⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴CD⊥SD，又∵四边形ABCD是正方形，∴CD⊥AD，又SD∩AD=D，∴CD⊥平面SDA，又∵SA⊆平面SDA，∴SA⊥CD（2）∵四边形ABCD是正方形，∴AB‖CD，∴∠SBA或其补角是异面直线SB与CD所成角，由（1）知BA⊥平面SDA，∴△SAB是直角三角形∴tan∠SBA===，∴∠SBA=arctan，故异面直线SB与CD所成角的大小为．点评：本题考查异面直线所成的角，涉及线面垂直的判定定理和反三角函数的应用，属中档题．6．（2023•安徽模拟）如图：已知四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，ABCD是正方形，E是PA的中点，求证：（1）PC∥平面EBD．（2）平面PBC⊥平面PCD．考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）连BD，与AC交于O，利用三角形的中位线，可得线线平行，从而可得线面平行；（2）证明BC⊥平面PCD，即可证得平面PBC⊥平面PCD．解答：证明：（1）连BD，与AC交于O，连接EO∵ABCD是正方形，∴O是AC的中点，∵E是PA的中点，∴EO∥PC又∵EO⊂平面EBD，PC⊄平面EBD∴PC∥平面EBD；（2）∵PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴BC⊥PD∵ABCD是正方形，∴BC⊥CD又∵PD∩CD=D∴BC⊥平面PCD∵BC⊂平面PBC∴平面PBC⊥平面PCD．点评：本题考查线面平行，考查面面平行，掌握线面平行，面面平行的判定方法是关键．7．（2023•云南模拟）如图所示，在三棱锥P﹣ABC中，E、F分别为AC、BC的中点．（1）求证：EF∥平面PAB；（2）若PA=PB，CA=CB，求证：AB⊥PC．考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）依题意知E，F为中位线推断出EF∥AB，依据线面平行的判定定理推断出EF∥平面PAB．（2）取AB的中点G，连结PG，CG，根据PA=PB，CA=CB，判断出△PAB，△ACB均为等腰三角形进而可推断出AB⊥PG，AB⊥CG，利用线面垂直的判定定理得出AB⊥平面GPC，最后根据线面垂直的性质得出AB⊥PC的结论．解答：（1）证明：∵E，F为AC、BC的中点，∴EF∥AB，∵AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，∴EF∥平面PAB．（2）证明：取AB的中点G，连结PG，CG，∵PA=PB，CA=CB，∴AB⊥PG，AB⊥CG，∵PG⊂平面GPC，CG⊂平面GPC，且PG∩CG=C，∴AB⊥平面GPC，∵PC⊂平面GPC，∴AB⊥PC．点评：本题主要考查了直线和平面平行的判定和直线与平面垂直的判定．综合考查了学生对基础知识的运用．8．（2023•盐城二模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，BP=BC，E为PC的中点．（1）求证：AP∥平面BDE；（2）求证：BE⊥平面PAC．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）设AC∩BD=O，连结OE．根据ABCD为矩形，推断O是AC的中点，同时E是PC中点，推断出OE为中位线，即OE∥AP，再根据线面平行的判定定理AP⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，推断出AP∥平面BDE．（2）根据已知平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB，推断BC⊥平面PAB．进而利用线面垂直性质知BC⊥PA，根据PB⊥PA，BC∩PB=B，BC，PB⊂平面PBC，推断出PA⊥平面PBC．进而知PA⊥BE，根据BP=PC，且E为PC中点，可知BE⊥PC，最后利用线面垂直的判定定理推断出BE⊥平面PAC．解答：证明：（1）设AC∩BD=O，连结OE．∵四边形ABCD为矩形，∴O是AC的中点．∵E是PC中点，∴OE∥AP．∵AP⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，∴AP∥平面BDE．（2）∵平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD=AB，∴BC⊥平面PAB．∵AP⊂平面PAB，∴BC⊥PA．∵PB⊥PA，BC∩PB=B，BC，PB⊂平面PBC，∴PA⊥平面PBC．∵BE⊂平面PBC，∴PA⊥BE．∵BP=PC，且E为PC中点，∴BE⊥PC．∵PA∩PC=P，PA，PC⊂平面PAC，∴BE⊥平面PAC．点评：本题主要考查了空间位置关系中，线面平行，线面垂直的判定．注意对线面平行，线面垂直的判定定理灵活运用，对线面平行和线面垂直的性质能熟练掌握．9．（2023•苏州一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是矩形，平面PCD⊥平面ABCD，M为PC中点．求证：（1）PA∥平面MDB；（2）PD⊥BC．考点：直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，先证明出MO∥PA，进而根据线面平行的判定定理证明出PA∥平面MDB．（2）先证明出BC⊥平面PCD，进而根据线面垂直的性质证明出BC⊥PD．解答：证明：（1）连接AC，交BD与点O，连接OM，∵M为PC的中点，O为AC的中点，∴MO∥PA，∵MO⊂平面MDB，PA⊄平面MDB，∴PA∥平面MDB．（2）∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，BC⊂平面ABCD，BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．点评：本题主要考查了线面平行的判定和线面垂直的判定．判定的关键是先找到到线线平行，线线垂直．10．（2023•河西区三模）如图，已知矩形ABCD中