《复变函数》及《积分变换》复习题

《复变函数》及《积分变换》复习题一、填空题：⒈(34i)(25i)的实部位,虚部共轭复数。2i1 的实部位虚部共轭复数。3⒉复变函数的指数函数表达式。⒊欧拉公式的表达式。⒋在|z|<1时， 1 可展开成幂级数为 。1z⒌如果z0

f(zm级极点，那末Resf(z

。0⒍设f(z)P(z),如果满足 ，而且 ， ， ，Q(z)那末，z0

为f(z)的 级极点，且Resf(z),z0

P(z)Q(z)⒎傅氏变换的位移性质表达式，逆变换的二、简答题：1、一个复数乘以－i，它的模与幅角有何改变?2、简述复合闭路定理的内容。3、解析函数和调和函数是什么关系？4、孤立奇点的种类有哪些？各有什么特点？5、如何判断函数零点的级数？极点和零点有什么关系？6、用表达式表达δ-函数的筛选性质。7、用表达式写出傅氏变换的微分性质和积分性质。8、写出常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数u(t，指数函数ekt，单位脉冲函数(t，正弦函数sinkt，余弦函数coskt，幂函数tm（m为正整数。三、画图题:1、已知复平面点z

和z，在复平面内画出z

1(z

z)。1 2 2 1 22、作图并说明|z+i|=|z-i|中z的轨迹。3、作图并说明|z+2i|≤1中z的轨迹。四、判断题：1、若c为实常数，则cc2、如果f(z)存在，那末f(z)在z解析。0 03、如果u(x,y)和v(x,y)可导（指偏导数存在，那末f(z)uiv也可导。4、在复变函数中，负数是没有对数值的。5u和vv是uu也是v和函数。6、每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛。7、每一个在z连续的函数一定可以在z的邻域内展开成泰勒级数。0 0五、计算题：1、设my3nx2yi(x3lxy2,试确定l、、n的值。2、设函数f(z)x2axyby2i(cx2dxyy2),问常数a,b,c,d取何值时，f(z)在复平面内处处解析？3、运用柯西积分公式计算

|z|4

3z1 dz,其中C为正向圆周。(z1)(z4、运用高阶导数公式，计算C

(z

ez

dz,其中C|z|＝2。5、证明u(x,y)y33x2y为调和函数，并求其共轭调和函数v(x,y)和由它们构成的解析函数。6、下列级数是否收敛？是否绝对收敛：

1

i),()n

1i。nn1

nn1

n 2n 7、把下列函数展开成z的幂级数：cosz2、 1z2)28、把下列函数在指定的圆环域内展开成洛朗级数:f(z)f(z) 1 ,0z1z2

1 z2(z1)(z2)9、利用留数定理,计算下面积分的值:C

ezz(z

dzC为正向圆周z2。10、计算函数f(z)zsinz在z＝0处的留数。z611、利用欧拉公式求sin2tsin3t的拉氏变换。12、利用拉氏变换的性质，计算下列各式的拉氏变换： f(t)tte3tsin2tdt，0f(t)tte3tsin2tdt。013 、 利 用 拉 氏 变 换 计 算 下 列 积 分 的 值 ：ete2t

dt;e3tcostdt;te2tdt;te3tsintdt0 t 0 0 014、求下列函数的拉氏逆变换：F(s)

s ，F(s)

s22s1(sa)(sb) s(s1