小波与小波分析初步

小波与小波分析初步小波小波变换小波级数自动化系---吴2012-2-231Waveletsanalysis小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第1页!2012-2-232Waveletsanalysis小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第2页!小波分析简史小波分析是自1986年以来由于Y.Meyer，S.Mallat及I.Daubechies等的奠基工作而迅速发展起来的一门新兴科学。它是Fourier变换划时代发展的结果。应用十分广泛。它的发展历史可以追朔到1909年Haar的工作。从现代小波分析的观点看，1930年前后有许多与小波的新方向出现。但是此后的进展一直不大。1960年Caldero’n及20年后1980年Grossmann与Morlet的研究的”原子分解”是小波分析的新开端。3小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第3页!什么是小波小波

对于函数，称ψ(t)是小波，如果小波(函数)特点在整个实轴上可得，所以在无穷远处为零。图像是振荡的，即图像与x轴所夹的上半平面中的面积和下半平面的面积是相等的。小波英文中为Wavelet或Wavelets。研究的信号都是能量有限的，所以2012-2-234Waveletsanalysis小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第4页!Haar小波及它的Fourier变换2012-2-235Waveletsanalysis小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第5页!Shannon小波及它的Fourier变换2012-2-236Waveletsanalysis小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第6页!Mexic帽小波及它的Fourier变换2012-2-237Waveletsanalysis小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第7页!小波族(Wavelets)其中a为尺度参数，b为位移参数。引入小波函数ψ(t)的平移与伸缩构成函数族8小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第8页!连续小波变换小波变换是对Fourier变换、Gabor变换的进一步伸延。连续小波变换

设，称积分小波变换，也称为连续小波变换。连续小波变换也可写为内积形式2012-2-239Waveletsanalysis小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第9页!%设置有效支撑和网格参数，就是自变量的取值范围和在这个范围内的取值点的个数lb=-5;ub=5;n=1000;%计算并画出Mexicanhat小波[psi,x]=mexihat(lb,ub,n);figure(1);subplot(311);plot(x,psi,'r','LineWidth',2);legend('Mexicanhat')title('连续小波变换');%装载实际信号loadvonkochvonkoch=vonkoch(1:510);lv=length(vonkoch);subplot(312);plot(vonkoch,'LineWidth',2);legend('被分析信号');subplot(313);%执行连续小波Mexicanhat变换，ccfs=cwt(vonkoch,1:32,'mexh','abslvl',[200400]);10小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第10页!一个实际信号的小波变换11小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第11页!小波变换重构原来函数的条件在Fourier变换中，给出了函数f(t)的Fourier变换，还可以用Fourier逆变换再变回到f(t)，即可以由重构f(t)。在小波变换中，有无逆变换，或者说，如何用小波变换重构f(t)呢？要解决这一问题，除假定外，还需要ψ(t)满足容许性条件2012-2-2312Waveletsanalysis小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第12页!函数用连续小波变换重构定理如果ψ是一个基小波，由它定义了一个连续小波变换，那么对所有成立。而且对任何和f的连续点，有2012-2-2313Waveletsanalysis小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第13页!代入定理第1式左边

是Fourier逆变换14小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第14页!正交小波记正交小波定义

一个小波称为是一个正交小波，如果是的一个规范正交基，即而且每个能写为而上面级数的收敛是中的收敛。2012-2-2315Waveletsanalysis小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第15页!Haar小波Haar小波

Haar小波函数定义为h(t)的Fourier变换2012-2-2316Waveletsanalysis小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第16页!Shannon小波Shannon函数s(t)是由下述它的Fourier变换定义的函数取Fourier逆变换得到s(t)满足小波的定义。2012-2-2317Waveletsanalysis小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第17页!Gauss小波与Mexic帽小波Gauss小波是Gauss函数的一阶导数Mexic帽小波是Gauss函数的二阶导数18小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第18页!Haar小波，高斯概率密度函数的一阶导数生成的小波，墨西哥帽小波2012-2-2319Waveletsanalysis小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第19页!20小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第20页!连续小波变换的Matlab命令Cwt函数-----一维连续小波变换函数语法格式：Coefs=cwt(S,scales,’wname’,‘plot’)Coefs=cwt(S,scales,’wname’,plotmode,xlim)S是信号；scales是正的实尺度；wname小波名，计算向量一维小波系数；plot画图；plotmode是图形着色，它的有效值是：’lvl’—scale-by-scale着色模式,‘glb’—所有尺度的着色模式,‘abslvlorlvlabs’—使用系数绝对值的scale-by-scale着色模式,‘absglborglbabs’—使用系数绝对值并考虑所有尺度的着色模式。Xlim＝[x1x2]并且1<=x1<=x2<=length(S)。21小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第21页!连续小波变换的图示用墨西哥帽小波计算出的小波变换作业任给一个信号，计算小波变换，并绘图22小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第22页!连续小波变换的频域表示的Fourier变换对连续小波变换用Parseval恒等式意思是连续小波变换关于b的Fourier变换为23小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第23页!基小波基小波

如果并且满足容许性条件，则称ψ是一个基小波。相应的连续小波变换称为关于这个基小波的连续小波变换(或积分小波变换)。在以后谈到小波时，如无特别声明，就指的是基小波。前边几个小波例子都是基小波。基小波与积分为0差别并不大，只需加上稍微强一点的条件。2012-2-2324Waveletsanalysis小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第24页!重构定理证明由Parseval恒等式得类似地2012-2-2325Waveletsanalysis小波与小波分析初步共27页，您现在浏览的是第25页!这就证明了式。如果f在连续，取则由Gauss函数卷积结论，得而这就证明了第二式。