(完整word版)高中物理运动学中等时圆应用技巧(含答案),推荐文档

BEBE2=R2(]—自由下落到O的时间依次递减，故选项B正确。21：如图所示，AB、AC、AD是竖直面内三根固定的光滑细杆，A、B、C、D位于同一圆周上，O点为圆周的圆心，A点不是圆的最高点.每根杆上都套着一个光滑小滑环(图中未画出)，三个滑环分别从A处从静止开始释放，用t「t2、t3依次表示滑环到达B、C、D所用的时间，则三个时间的关系是什么？解析A不在圆的最高点，前面的结论直接用是不行的•可以采用如下的方法解决。如图7所示，过点A作竖直线交AB的垂直平分线于点以0]为圆心、O1A为半径画圆交AB于B、分别交AC、AD的延长线于C]、在圆ABC]Di中用前面的结论可知,所以[汶丫。不可以根据CC1<D]D]•得到t2<t3，因为小环进入虚线部分时初速度不一样，以后运动的加速度也不一样。要判断t2和t3的关系可以模仿前面方法构造新圆，用结论可知t2>t3。另解假设圆的半径为R,建立如图8所示的直角坐标系，连接A0并假设其与x轴的夹角为a，则A点的坐标为(Rcosa,Rsina).设直线AB与x轴的夹角为0,则直线AB的斜率为k=tanO，直线AB的方程为y—sina=tanG(x—cosa),整理变形有xtanO—y+sina—tanOcosa=0,由数学知识可知，坐标原点到直线AB的距离为OE=|sina—tanOcosa|v'1+tan2^由几何知识解得sin2a+tan2Ocos2a-2sinacosatanO1+tan2O

整理得BE=(cos0cosa+sinasin0)R，由牛顿第二运动定律有环的加速度a=gsin0，由运动学公式有2BE=1gsin9由牛顿第二运动定律有环的加速度a=gsin0，^2'4R(cosacos9+sinasin9)tgsin9-pgcos9-西cosasina

cosasina

+——1-ctan9解得小环运动时间为所以0增大，时间减小，由此式可知：0增大，时间t减小，即［込氓.t1>t2>t3.当式中*90。时，t=2\R，与倾角、杆长无关，就是前面推g当式中a=90°或a=—90。、“=0时，时间t=2\R.可见等时圆g导的等时圆规律.22：如图，底边为定长b的直角斜面中，球从光滑直角斜面顶端规律适用的条件是：细杆光滑、A点为圆周的最高点或最低点.

作出圆的一条竖直切线MN，于圆切于D点。A点为所作圆的最低点。由图可看出：从MN上不同的点由静止滑到A点，以DA时间为最短。（由“等时圆”可知，图中E/、D、C各点到达A的时间相等。）所以小球从底边b为定长的光滑直角斜面上滑下时以45啲时间为最少，而且此时间与球从P点自由下落到圆最低点的时间相等。所以t=导的等时圆规律.22：如图，底边为定长b的直角斜面中，球从光滑直角斜面顶端min飞g23：有三个光滑斜轨道1、2、3，它们的倾角依次是600，450和300，这些轨道交于O点．现有位于同一竖直线上的3个小物体甲、乙、丙，分别沿这3个轨道同时从静止自由下滑，如图，物体滑到O点的先后顺序是（）

A.甲最先，乙稍后，丙最后B.乙最先，然后甲和丙同时到达C.甲、乙、丙同时到达D.乙最先，甲稍后，丙最后【答案】B解析：设斜面底边长为l，倾角为9，则物体沿光滑斜面下滑时加速度为a=gsin9，物体的位移为x=1/cos9。物体由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得II2l_[4l\gsin9cos9gsin29lcos9

1=2gsin9t2

l、g—定，所以当0二45。时，tminl、g—定，所以当0二45。时，tmin其下端都固定于底部圆心0,而上端则搁在仓库侧壁，三块滑块与水平面的夹角依次为300、450、600。若有三个小孩同时从a、b、当0=300和60o时，sin20的值相等。25：如图，在设计三角形的屋顶时，为了使雨水能尽快地从屋顶流下，并认为雨水是从静止开始由屋顶无摩擦地流动。试分析和解：在屋顶宽度（21）一定的条件下，屋顶的倾角应该多大？雨水流下的最短时间是多少？c处开始下滑（忽略阻力），则A、a处小孩最先到0点B、b处小孩最先到0点C、c处小孩最先到0点D、a、c处小孩同时到0点【解析】：方法一：如图所示，设斜面底边长为1，倾角为0,则雨滴沿光滑斜面下淌时加速度为a=gsin9，雨滴的位移为解析：三块滑块虽然都从同—圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同—竖直圆周上，所以下滑时间不—定相等。设圆柱底面半径为R，则—R—=—gsinOt2，t2=——，当0=45o时，t最小，cos92gsin20x=1cos9。雨滴由斜面顶端由静止开始运动到底端，由运动学公式得丄=1gsin912，cos92彳得2141，tgsin9cos9:gsin29世所以当。卡时「匠mmWp方法二（方法二（«NI）:如图所示,通过屋顶作垂线AC与水平线BD相垂直；并以L为半径、0为圆心画一个圆与AC.BC相切。然后，画倾角不同的屋顶A3、AE、AB...123从图可以看出：在不同倾角的屋顶中,只有A0是圆的弦,而其余均为圆的割线。根据“等时圆”规律,雨水沿A3运动的时间最2短,且最短时间为^2di'2x2Lci'TmmNg飞g\g而屋顶的倾角则为tanoc=-=1noc=45oL26：在竖直平面内，固定一个半径为/?的大圆环，其圆心为0,在圆内与圆心0同一水平面上的P点搭一光滑斜轨道PM到大环上，如图13所示，OP=d<Ro欲使物体从P点释放后，沿轨道滑到大环的时间最短，求M点位置（用0M与水平面的夹角a的三角函数表达）。PM=+Ri-2dRcosa设轨道FM与水平面夹角为0,则物体沿轨道下滑的加速度a=gsin0由正弦定理得:=—冬—sin(0-oc)sin(7i-0)又PM=-at^2联立以上四个方程’有a.0.pm.a和t五个变量,可以建立起下滑时间t与OM倾角a之间的函数关系,再利用数学工具求极值，但计算相当复杂。如果改用等时圆”作图求解,以定点P为最高点,可作出系列半径厂不同（动态的）“等时圆”,所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上。其中,刚好与大环内切的"等时圆”半径最小,如图所示,该“等时圆啲圆心0满足O'M=O'P,且在OM连线上。该圆就是由P到定圆的半径最小的“等时圆”,物体沿轨道由P滑到M点的时间也最短。几何关系有（尸石=7?—厂'得2R贝UOM与水平面的夹角a满足tana=L=^_^-或d2dRR2一〃2a—arctan。2dR27：如图所示，在同一竖直平面内，地面上高H的定点F,到半径为人的定圆的水平距离为厶从F搭建一条光滑轨道到定圆的

圆周上。现使物体从F点释放后，沿轨道下滑到定圆的时间最短,该轨道与竖直方向夹角应多大？H和L满足题设要求。解析：先用解析法求解。如图所ZF,延长PM与定圆相交于N,过N作水平线与PD相交于K,则物体沿光滑轨道下滑的加速度为gsin仇即°=g•——PNVE1csc2PM2PM•PN乂PM=-at2,所以t2=二2agPK由圆的切割线定理得:丽■莎二丙2二常数z所以t2=2已，式中空为常数，两为变量。当M点的选g・PKg2020择不同时，PK的值也不同，当PK=H时，其值最大，此时t最小。也就是轨道PM/延长线PQ与定圆相交于和地面的接触点Q,物体沿轨道下滑的时间最短，轨道PM/与竖直线的夹角a满足QDL十Ltana==或a=arctan.PDHH图中PD和OQ都垂直于地面，由几何关系可知，轨道PM的延长线必与定圆©O的交于Q，求得PM与竖直线的夹角a满足QDL十Ltana==或a=arctan-oPDHH28：在图中，若套在杆上的三个小球质量均为m，均带等量正电荷q,且空间有水平向左的匀强电场，电场强度E=mg，让小球q自A、B、C三点自由下滑，比较t「t2、t3的关系.再用“等时圆”作图求解。以定点P为“等时圆”最高点，作出系列半径r不同（动态的）“等时圆”，所有轨道的末端均落在对应的“等时圆”圆周上。其中，刚好与定圆©O夕沏于M的“等时圆”半径最小，如图12所