等差数列(优秀课件)

2.2等差数列第二章数列第一课时2.2等差数列第二章数列第一课时一、数列的定义，通项公式:按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2，a3,…

an,…

如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。二、数列的简单表示:三、给出数列的方法:

复习一、数列的定义，通项公式:按一定次序排成的一列数叫做数列。一某此系统抽样所抽取的样本号分别是:7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.（观察以下数列）

引入某此系统抽样所抽取的样本号分别是:（观察以下数列）引这三个数列有何共同特征从第2项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。请尝试着给具有上述特征的特殊数列用数学的语言下定义

交流这三个数列有何共同特征从第2项起，每一项与其前一项之差等于同1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。（1）指出定义中的关键词：从第2项起等于同一个常数⑵由定义得等差数列的递推公式：

说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据.每一项与其前一项的差

探究1、等差数列的定义（1）指出定义中的关键词：从第2项起等于同

练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是2、等差数列的通项公式根据等差数列的定义得到方法一：不完全归纳法2、等差数列的通项公式根据等差数列的定义得到方法一：不完全归2、等差数列的通项公式将所有等式相加得方法二累加法2、等差数列的通项公式将所有等式相加得方法二例1⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得

a20=8+(20-1)×(-3)=-49.例1⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.解：⑴由a1=例2在等差数列{an}中，已知

a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：

a1+4d=10a1+11d=31a1=-2d=3∴这个数列的首项a1是-2，公差d=3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？例2在等差数列{an}中，已知这是一个以a1和d为未知1、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n，an四个量中知三求一.结论1、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；2、在等差数3．等差中项

如果a,A,b

成等差数列，那么A

叫做a

与b

的等差中项

.由等差中项的定义可知，a,A,b

满足关系：意义：任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的.当a=b

时，A=a=b.3．等差中项如果a,A,b成等差数列，例3（1）在等差数列{an}中，是否有（2）在数列{an}中，如果对于任意的正整数n（n≥2），都有那么数列{an}一定是等差数列吗？例3（1）在等差数列{an}中，是否有4、等差数列通项公式的推广解析：由等差数列的通项公式得4、等差数列通项公式的推广解析：由等差数列的通项公式得思考：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12,a3n.解法一:依题意得：

a1+2d=9a1+8d=3解之得a1=11d=-1∴这个数列的通项公式是：an=11-(n-1)=12-n

故a12=0,a3n=12–3n.解法二：思考：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12,1.等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，求数列{an}的公差2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=

.3.等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-10a-1，则a等于（)

A.1B.-1C.-D.1.等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，2.在课本P40(A)1、3、

(B)2

作业课本P40(A)1、3、作业2.2等差数列第二章数列第二课时2.2等差数列第二章数列第二课时2、等差数列的通项公式1、等差数列的定义3、等差数列的中项

复习通项公式的证明及推广100与1802、等差数列的通项公式1、等差数列的定义3、等差数列的中项用一下例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元，即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？用一下例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10等差数列(优秀课件)5、等差数列的通项及图象特征5、等差数列的通项及图象特征解析:

思考结论:解析:思考结论:首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为an＝2n-1相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图例如：首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为an＝2n-1性质：设若则性质：设若等差数列的性质数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，，则am+an=ap+aq。判断：可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多等差数列的性质数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，等差数列(优秀课件)（2）已知等差数列{an}中，a3和a15是方程x2－6x－1=0的两个根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11=

（3）已知等差数列{an}中，a3＋a5=

－14,2a2＋a6=

－15，则a8=

跟踪训练（1）已知等差数列{an}中，（2）已知等差数列{an}中，a3和a15是方程x2－6等差数列(优秀课件)

3.更一般的情形，an=，d=小结：1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)db为a、c的等差中项AA2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：上面的命题的逆命题是不一定成立的；5.在等差数列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===小结：1.{等差数列(优秀课件)

跟踪训练跟踪训练300<83+5×（n-1）500巩固练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-10a-1，则a等于（)

A.1B.-1C.-D.2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=

.(-3a-5)-(a-6)=(-10a-1)-(-3a-5)提示：提示：d=an+1-an=-43.在等差数列{an}中a1=83，a4=98，则这个数列有多少项在300到500之间？-35提示：n=45，46，…，8440300<83+5×（n-1）500巩固练习1.等差数例4例4例5

已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数.

解：设三个数为a-d，a，a+d，则解之得故所求三数依次为2，4，6或6，4，2例5已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这例6如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.（1）求AB，BC，CD的长；（2）以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第9项为边长的正方形的面积是多少？3，7，11a9=35S9=1225例6如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数5、等差数列的性质已知数列为等差数列，那么有性质1：若成等差数列，则成等差数列.证明：根据等差数列的定义，即成等差数列.如成等差数列，成等差数列.推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）5、等差数列的性质已知数列为等差数列，那么有性性质2：设若则性质3：设c,b

为常数，若数列为等差数列，则数列及为等差数列.性质4：设p,q

为常数，若数列、均为等差数列，则数列为等差数列.性质2：设若等差数列(优秀课件)等差数列(优秀课件)例8（1）已知等差数列{an}中，a3＋a15=30,求a9，a7＋a11解：（1）∵a9是a3和a15的等差中项∴（2）已知等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7=150，求a2＋a8的值∵7+11=3+15（2）∵3+7=4+6=5+5∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7=5a5=150即a5=30故a2＋a8=2a5=60∴a7＋a11=a3＋a15=30∴a3＋a7=a4＋a6=2a5例8（1）已知等差数列{an}中，a3＋a15=30,求（1）等差数列{an}中，a3＋a9＋a15＋a21=8，则a12=（2）已知等差数列{an}中，a3和a15是方程x2－6x－1=0的两个根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11=2

（3）已知等差数列{an}中，a3＋a5=

－14,2a2＋a6=

－15，则a8=－19

跟踪训练（1）等差数列{an}中，a3＋a9＋a15＋a21=8，例8解：（1）∵a9是a3和a15的等差中项∴（2）已知等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＋a6＋a7=150，求a2＋a8的值∵7+11=3+15（2）∵3+7=4+6=5+5∴a3＋a4＋a5＋a6＋a7=5a5=150即a5=30故a2＋a8=2a5=60∴a7＋a11=a3＋a15=30∴a3＋a7=a4＋a6=2a5例8解：（1）∵a9是a3和a15的等差中项∴（2）已知等差2019POWERPOINTSUCCESS2022/12/142019POWERPOINTSUCCESS2022/12/12019THANKYOUSUCCESS2022/12/142019THANKYOUSUCCESS2022/12.2等差数列第二章数列第一课时2.2等差数列第二章数列第一课时一、数列的定义，通项公式:按一定次序排成的一列数叫做数列。一般写成a1,a2，a3,…

an,…

如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。二、数列的简单表示:三、给出数列的方法:

复习一、数列的定义，通项公式:按一定次序排成的一列数叫做数列。一某此系统抽样所抽取的样本号分别是:7，19，31，43，55，67，79，91，103，115.（观察以下数列）

引入某此系统抽样所抽取的样本号分别是:（观察以下数列）引这三个数列有何共同特征从第2项起，每一项与其前一项之差等于同一个常数。请尝试着给具有上述特征的特殊数列用数学的语言下定义

交流这三个数列有何共同特征从第2项起，每一项与其前一项之差等于同1、等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。（1）指出定义中的关键词：从第2项起等于同一个常数⑵由定义得等差数列的递推公式：

说明：此公式是判断、证明一个数列是否为等差数列的主要依据.每一项与其前一项的差

探究1、等差数列的定义（1）指出定义中的关键词：从第2项起等于同

练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公差d,如果不是，说明理由。练习：判断下列数列中哪些是等差数列，哪些不是？如果是2、等差数列的通项公式根据等差数列的定义得到方法一：不完全归纳法2、等差数列的通项公式根据等差数列的定义得到方法一：不完全归2、等差数列的通项公式将所有等式相加得方法二累加法2、等差数列的通项公式将所有等式相加得方法二例1⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？解：⑴由a1=8，d=5-8=-3，n=20，得

a20=8+(20-1)×(-3)=-49.例1⑴求等差数列8，5，2，…的第20项.解：⑴由a1=例2在等差数列{an}中，已知

a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：解：由题意得：

a1+4d=10a1+11d=31a1=-2d=3∴这个数列的首项a1是-2，公差d=3.小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主要是联立二元一次方程组。这种题型有简便方法吗？例2在等差数列{an}中，已知这是一个以a1和d为未知1、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；2、在等差数列的通项公式中，a1，d，n，an四个量中知三求一.结论1、已知等差数列的首项与公差，可求得其任何一项；2、在等差数3．等差中项

如果a,A,b

成等差数列，那么A

叫做a

与b

的等差中项

.由等差中项的定义可知，a,A,b

满足关系：意义：任意两个数都有等差中项，并且这个等差中项是唯一的.当a=b

时，A=a=b.3．等差中项如果a,A,b成等差数列，例3（1）在等差数列{an}中，是否有（2）在数列{an}中，如果对于任意的正整数n（n≥2），都有那么数列{an}一定是等差数列吗？例3（1）在等差数列{an}中，是否有4、等差数列通项公式的推广解析：由等差数列的通项公式得4、等差数列通项公式的推广解析：由等差数列的通项公式得思考：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12,a3n.解法一:依题意得：

a1+2d=9a1+8d=3解之得a1=11d=-1∴这个数列的通项公式是：an=11-(n-1)=12-n

故a12=0,a3n=12–3n.解法二：思考：已知等差数列{an}中，a3=9,a9=3,求a12,1.等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，求数列{an}的公差2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=

.3.等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-10a-1，则a等于（)

A.1B.-1C.-D.1.等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，2.在课本P40(A)1、3、

(B)2

作业课本P40(A)1、3、作业2.2等差数列第二章数列第二课时2.2等差数列第二章数列第二课时2、等差数列的通项公式1、等差数列的定义3、等差数列的中项

复习通项公式的证明及推广100与1802、等差数列的通项公式1、等差数列的定义3、等差数列的中项用一下例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元，即最初的4km(不含4千米)计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？用一下例2.某出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10等差数列(优秀课件)5、等差数列的通项及图象特征5、等差数列的通项及图象特征解析:

思考结论:解析:思考结论:首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为an＝2n-1相应的图象是直线y=2x-1上均匀排开的无穷多个孤立的点，如右图例如：首项是1，公差是2的无穷等差数列的通项公式为an＝2n-1性质：设若则性质：设若等差数列的性质数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，，则am+an=ap+aq。判断：可推广到三项，四项等注意：等式两边作和的项数必须一样多等差数列的性质数列{an}是等差数列，m、n、p、q∈N+，等差数列(优秀课件)（2）已知等差数列{an}中，a3和a15是方程x2－6x－1=0的两个根，则a7＋a8＋a9＋a10＋a11=

（3）已知等差数列{an}中，a3＋a5=

－14,2a2＋a6=

－15，则a8=

跟踪训练（1）已知等差数列{an}中，（2）已知等差数列{an}中，a3和a15是方程x2－6等差数列(优秀课件)

3.更一般的情形，an=，d=小结：1.{an}为等差数列2.a、b、c成等差数列an+1-an=dan+1=an+dan=

a1+(n-1)dan=kn+b（k、b为常数）am+(n-m)db为a、c的等差中项AA2b=a+c4.在等差数列{an}中，由m+n=p+qam+an=ap+aq注意：上面的命题的逆命题是不一定成立的；5.在等差数列{an}中a1+an

a2+an-1

a3+an-2

…===小结：1.{等差数列(优秀课件)

跟踪训练跟踪训练300<83+5×（n-1）500巩固练习1.等差数列{an}的前三项依次为a-6，-3a-5，-10a-1，则a等于（)

A.1B.-1C.-D.2.在数列{an}中a1=1，an=an+1+4，则a10=

.(-3a-5)-(a-6)=(-10a-1)-(-3a-5)提示：提示：d=an+1-an=-43.在等差数列{an}中a1=83，a4=98，则这个数列有多少项在300到500之间？-35提示：n=45，46，…，8440300<83+5×（n-1）500巩固练习1.等差数例4例4例5

已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这三个数.

解：设三个数为a-d，a，a+d，则解之得故所求三数依次为2，4，6或6，4，2例5已知三个数成等差数列，它们的和是12，积是48，求这例6如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数列，且AD＝21cm，这三个正方形的面积之和是179cm2.（1）求AB，BC，CD的长；（2）以AB，BC，CD的长为等差数列的前三项，以第9项为边长的正方形的面积是多少？3，7，11a9=35S9=1225例6如图，三个正方形的边AB，BC，CD的长组成等差数5、等差数列的性质已知数列为等差数列，那么有性质1：若成等差数列，则成等差数列.证明：根据等差数列的定义，即成等差数列.如成等差数列，成等差数列.推广：在等差数列有规律地取出若干项，所得新数列仍然为等差数列。（如奇数项，项数是7的倍数的项）5、等差数列的性质已知数列为等差数列，那么有性性质2：设若则性质3：设c,b

为常数，若数列为等差数列，则数列及