数学本质概念课件

～數學本質概念～

組員曾德嘉TKU95B14劉宜樺TKU95B02整數計算曾德嘉˙劉宜樺1～數學本質概念～

組員整數計算曾德嘉˙劉宜樺1前言整數計算是一切數學學習的基礎。在教學中，學童經由活動、情境掌握計算的意義，藉著各種例子體驗計算的規則與策略。流暢的計算能力是日後學習抽象運算及形式推導的基礎，能讓學童對數字的內在邏輯有較流暢的感覺，增強學童的自信心。反之，沒有效率、容易造成錯誤的演算法，卻會加深學習的沮喪感，使學童逐漸放棄學習。

曾德嘉˙劉宜樺2前言整數計算是一切數學學習的基礎。在教學中，學童經由活動、大綱數學結構教學策略認知結構曾德嘉˙劉宜樺3大綱曾德嘉˙劉宜樺3數學結構˙教學策略加法減法乘法除法四則運算曾德嘉˙劉宜樺4數學結構˙教學策略加法曾德嘉˙劉宜樺4加法&減法

數學結構合成：加法的概念兩個數可以合成一個新的數example：8和11合成變成19分解：減法的概念一個數可以拆成兩個數example：5可以分成2和3曾德嘉˙劉宜樺5加法&減法數學結構合成：加法數學結構併加型：

example：小丸子在便利商店買了兩顆巧克力糖和三顆牛奶糖，她一共買了多少顆糖？添加型：

example：小玉有一顆蘋果，媽媽再給她三顆蘋果，請問小玉總共有多少顆蘋果呢？曾德嘉˙劉宜樺6加法數學結構併加型：曾德嘉˙劉減法數學結構拿走型

example：桌上原來有5個布丁，豬太郎回家後吃了2個，桌上還剩下幾個布丁呢？追加型

example：一支鉛筆10元，妮妮現在身上有6元，如果要買一支鉛筆的話，她還需要多少錢呢？曾德嘉˙劉宜樺7減法數學結構拿走型曾德嘉˙劉宜樺加法&減法

數學結構加法比較型example：小葵有2枚硬幣，小新比小葵多3枚硬幣，請問小新有多少枚硬幣？減法比較型example：鉛筆盒裡有9支筆，4支是鉛筆，其他的是原子筆，請問原子筆有多少支？曾德嘉˙劉宜樺8加法&減法數學結構加法比加法&減法

數學結構「＋」、「－」、「＝」符號透過「併加型」、「添加型」的問題情境，來介紹「＋」符號。透過「拿走型」、「比較型」的問題情境，來介紹「－」符號。「＝」的意義是等價關係，教學時要將合成與比較問題並列，來介紹等號意義。曾德嘉˙劉宜樺9加法&減法數學結構「＋」加法&減法

數學結構「合十」example：6＋8是10＋□？「拆十」example：11＋6是7＋□？「兩步驟合成分解問題」example：小丸子有三張郵票，，媽媽給了她五張，爺爺又送她六張，，她現在共有幾張？曾德嘉˙劉宜樺10加法&減法數學結構「合十」加法&減法

教學策略「併加型」和「添加型」的問題example：7＋5＝（7＋3）＋2＝10＋2＝12「拿走型」的問題example：

13－5＝（10－5）＋3＝5＋3＝8「比較型」的問題

先問誰多？誰少？再問多~多少？少~多少？曾德嘉˙劉宜樺11加法&減法教學策略「併加型」和乘法數學結構「倍」的概念「□的□倍」語言轉換example：一頭豬有4隻腳，五頭豬共有幾隻腳？→「四的5倍」乘法與連加的關係example：五個4相加→4＋4＋4＋4＋4＝20即五頭豬共有4×5＝20(隻腳)曾德嘉˙劉宜樺12乘法數學結構「倍」的概念曾德嘉˙劉宜樺12乘法教學策略讓學生從生活中一組一組出現的事物來學習

example：一打飲料、一雙筷子乘法是累加的概念

example：一盤蘋果有兩個，四盤蘋果有多少個？2＋2＋2＋2＝8亦可寫成2×4＝8曾德嘉˙劉宜樺13乘法教學策略讓學生從生活中一組一組出現的事物來除法數學結構等分除（平分）example：把15顆糖果【總量】分給小嘉、小華、小隆三個人【單位數】，每個人可得到多少顆【單位量】？包含除（分裝）example：小明有12顆糖【總量】，每四個一包【單位量】，可以裝成幾包【單位數】？曾德嘉˙劉宜樺14除法數學結構等分除（平分）曾德嘉˙劉宜樺14除法數學結構連減除法的關係

example：12÷4＝□→12－4＝88－4＝44－4＝0曾德嘉˙劉宜樺15除法數學結構連減除法的關係曾德嘉˙劉宜樺15乘法&除法的相互關係除法原理

example：

258÷30→258＝30×商數＋餘數乘除互逆

example：12×7＝7

×12曾德嘉˙劉宜樺16乘法&除法的相互關係除法原理曾德嘉˙劉宜樺16除法教學策略建立學生除法的重要概念－「等分」在「包含」情境中，分配可用逐次扣除的方式進行example：258÷32＝□258－32＝226226－32＝194194－32＝162↓34－32＝2總共可以減8次即258÷32＝8…..2曾德嘉˙劉宜樺17除法教學策略建立學生除法的重要概念－「等分」曾四則運算

數學結構當解題變的更複雜時，我們需要使用不同更多不同的括號來區別運算次序，等到括號變成很重要，進而形成共識，先進行乘或除的運算，在進行加或減的運算。四則運算的原則由左往右依次運算括號內的先算先乘、除後加、減曾德嘉˙劉宜樺18四則運算數學結構當解題四則運算

教學策略學生在不完全了解括號相關法則時，他們容易會用自己的法則來解釋，為了避免這類的情形發生，老師應給學生在課堂上發表或解釋的機會，以澄清觀念，而不是一昧的要求學生一直演練題目。在多步驟的四則運算問題中，透過比較與討論的活動，形成「乘、除先算，再由最左往右」記法的共識，省略在併式填充題中標示乘、除先算，再由最左往右計算步驟的括號。曾德嘉˙劉宜樺19四則運算教學策略學生在認知結構依照Piaget的認知結構論，他將兒童分為以下四個時期：時期年齡特徵感覺動作期0~2歲1.憑感覺與動作以發揮其基模功能。2.由本能性的反射動作到目的性的活動。3.對物體認識具有物體恆存性概念。前運思期2~7歲【一～二年級】1.能使用語言表達概念，但有自我中心傾向。2.能實用符號代表實物。3.能思維但不合邏輯。具體運思期7~11歲【二～五年級】1.能根據具體經驗思維以解決問題。2.能理解可逆性的道理。3.能理解守恆的道理。形式運思期11歲以上【五年級以上】1.能做抽象思維。2.能按假設驗證的科學法則解決問題。3.能按形式邏輯的法則思維問題。曾德嘉˙劉宜樺20認知結構依照Piaget的認知結構論，他將兒童分為以下四個時認知結構前運思期(1)

具體及知覺集中example：將較矮較寬的A杯水倒到較高較窄的B杯，兒童會認為B杯的水多。

→狀態對於轉換曾德嘉˙劉宜樺21認知結構前運思期(1)具體及知覺集認知結構前運思期(2)不可逆example：小新的妹妹是小葵→小葵的哥哥是小新

7＋2＝9→9－7＝2

自我中心主義曾德嘉˙劉宜樺22認知結構前運思期(2)曾德嘉˙劉宜樺認知結構具體運思期(1)表象異於實質example：把紅色的車子放在綠色的玻璃紙後面，雖然眼睛所看到的是灰黑色，但是仍知道實際上車子是紅色的。類包含概念example：紅花7朵，白花3朵，是紅花多還是花多？→花多曾德嘉˙劉宜樺23認知結構具體運思期(1)表象異於實質曾德認知結構具體運思期(2)守恆概念序位化

example:

曾德嘉˙劉宜樺24認知結構具體運思期(2)曾德嘉˙劉宜樺2認知結構形式運思期運用抽象符號從事思考活動。example：二元一次方程式的學習，二元指的是未知數x、y，一次指的是x、y的之次方。曾德嘉˙劉宜樺25認知結構形式運思期曾德嘉˙劉宜樺2謝謝各位曾德嘉˙劉宜樺26謝謝各位曾德嘉˙劉宜樺26～數學本質概念～

組員曾德嘉TKU95B14劉宜樺TKU95B02整數計算曾德嘉˙劉宜樺27～數學本質概念～

組員整數計算曾德嘉˙劉宜樺1前言整數計算是一切數學學習的基礎。在教學中，學童經由活動、情境掌握計算的意義，藉著各種例子體驗計算的規則與策略。流暢的計算能力是日後學習抽象運算及形式推導的基礎，能讓學童對數字的內在邏輯有較流暢的感覺，增強學童的自信心。反之，沒有效率、容易造成錯誤的演算法，卻會加深學習的沮喪感，使學童逐漸放棄學習。

曾德嘉˙劉宜樺28前言整數計算是一切數學學習的基礎。在教學中，學童經由活動、大綱數學結構教學策略認知結構曾德嘉˙劉宜樺29大綱曾德嘉˙劉宜樺3數學結構˙教學策略加法減法乘法除法四則運算曾德嘉˙劉宜樺30數學結構˙教學策略加法曾德嘉˙劉宜樺4加法&減法

數學結構合成：加法的概念兩個數可以合成一個新的數example：8和11合成變成19分解：減法的概念一個數可以拆成兩個數example：5可以分成2和3曾德嘉˙劉宜樺31加法&減法數學結構合成：加法數學結構併加型：

example：小丸子在便利商店買了兩顆巧克力糖和三顆牛奶糖，她一共買了多少顆糖？添加型：

example：小玉有一顆蘋果，媽媽再給她三顆蘋果，請問小玉總共有多少顆蘋果呢？曾德嘉˙劉宜樺32加法數學結構併加型：曾德嘉˙劉減法數學結構拿走型

example：桌上原來有5個布丁，豬太郎回家後吃了2個，桌上還剩下幾個布丁呢？追加型

example：一支鉛筆10元，妮妮現在身上有6元，如果要買一支鉛筆的話，她還需要多少錢呢？曾德嘉˙劉宜樺33減法數學結構拿走型曾德嘉˙劉宜樺加法&減法

數學結構加法比較型example：小葵有2枚硬幣，小新比小葵多3枚硬幣，請問小新有多少枚硬幣？減法比較型example：鉛筆盒裡有9支筆，4支是鉛筆，其他的是原子筆，請問原子筆有多少支？曾德嘉˙劉宜樺34加法&減法數學結構加法比加法&減法

數學結構「＋」、「－」、「＝」符號透過「併加型」、「添加型」的問題情境，來介紹「＋」符號。透過「拿走型」、「比較型」的問題情境，來介紹「－」符號。「＝」的意義是等價關係，教學時要將合成與比較問題並列，來介紹等號意義。曾德嘉˙劉宜樺35加法&減法數學結構「＋」加法&減法

數學結構「合十」example：6＋8是10＋□？「拆十」example：11＋6是7＋□？「兩步驟合成分解問題」example：小丸子有三張郵票，，媽媽給了她五張，爺爺又送她六張，，她現在共有幾張？曾德嘉˙劉宜樺36加法&減法數學結構「合十」加法&減法

教學策略「併加型」和「添加型」的問題example：7＋5＝（7＋3）＋2＝10＋2＝12「拿走型」的問題example：

13－5＝（10－5）＋3＝5＋3＝8「比較型」的問題

先問誰多？誰少？再問多~多少？少~多少？曾德嘉˙劉宜樺37加法&減法教學策略「併加型」和乘法數學結構「倍」的概念「□的□倍」語言轉換example：一頭豬有4隻腳，五頭豬共有幾隻腳？→「四的5倍」乘法與連加的關係example：五個4相加→4＋4＋4＋4＋4＝20即五頭豬共有4×5＝20(隻腳)曾德嘉˙劉宜樺38乘法數學結構「倍」的概念曾德嘉˙劉宜樺12乘法教學策略讓學生從生活中一組一組出現的事物來學習

example：一打飲料、一雙筷子乘法是累加的概念

example：一盤蘋果有兩個，四盤蘋果有多少個？2＋2＋2＋2＝8亦可寫成2×4＝8曾德嘉˙劉宜樺39乘法教學策略讓學生從生活中一組一組出現的事物來除法數學結構等分除（平分）example：把15顆糖果【總量】分給小嘉、小華、小隆三個人【單位數】，每個人可得到多少顆【單位量】？包含除（分裝）example：小明有12顆糖【總量】，每四個一包【單位量】，可以裝成幾包【單位數】？曾德嘉˙劉宜樺40除法數學結構等分除（平分）曾德嘉˙劉宜樺14除法數學結構連減除法的關係

example：12÷4＝□→12－4＝88－4＝44－4＝0曾德嘉˙劉宜樺41除法數學結構連減除法的關係曾德嘉˙劉宜樺15乘法&除法的相互關係除法原理

example：

258÷30→258＝30×商數＋餘數乘除互逆

example：12×7＝7

×12曾德嘉˙劉宜樺42乘法&除法的相互關係除法原理曾德嘉˙劉宜樺16除法教學策略建立學生除法的重要概念－「等分」在「包含」情境中，分配可用逐次扣除的方式進行example：258÷32＝□258－32＝226226－32＝194194－32＝162↓34－32＝2總共可以減8次即258÷32＝8…..2曾德嘉˙劉宜樺43除法教學策略建立學生除法的重要概念－「等分」曾四則運算

數學結構當解題變的更複雜時，我們需要使用不同更多不同的括號來區別運算次序，等到括號變成很重要，進而形成共識，先進行乘或除的運算，在進行加或減的運算。四則運算的原則由左往右依次運算括號內的先算先乘、除後加、減曾德嘉˙劉宜樺44四則運算數學結構當解題四則運算

教學策略學生在不完全了解括號相關法則時，他們容易會用自己的法則來解釋，為了避免這類的情形發生，老師應給學生在課堂上發表或解釋的機會，以澄清觀念，而不是一昧的要求學生一直演練題目。在多步驟的四則運算問題中，透過比較與討論的活動，形成「乘、除先算，再由最左往右」記法的共識，省略在併式填充題中標示乘、除先算，再由最左往右計算步驟的括號。曾德嘉˙劉宜樺45四則運算教學策略學生在認知結構依照Piaget的認知結構論，他將兒童分為以下四個時期：時期年齡特徵感覺動作期0~2歲1.憑感覺與動作以發揮其基模功能。2.由本能性的反射動作到目的性的活動。3.對物體認識具有物體恆存性概念。前運思期2~7歲【一～二年級】1.能使用語言表達概念，但有自我中心傾向。2.能實用符號代表實物。3.能思維但不合邏輯。具體運思期7~11歲【二～五年級】1.能根據具體經驗思維以解決問題。2.能理解