晶体学-4倒易点阵和极射投影

梁工英晶体学第四章倒易点阵与极射投影2015-3-28§4-1倒易点阵

如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换。倒易点阵告诉我们一个晶体点阵的周期函数在傅立叶空间的分布情况，倒易点阵阵点分布决定于晶体点阵的周期性，一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的，因此，一种晶体结构有两种类型的点阵与之对应：晶体点阵是真实空间中的点阵，量纲为[L]；倒易点阵是傅立叶空间中的点阵,量纲为[L-1]。1、倒易矢量的基矢若空间点阵的基矢为，其相应的倒易矢量的三个基矢为，则这两个点阵的基本关系表示为：一、倒易点阵的定义（4-1）写成矩阵形式为：则称以初基矢量所建立的点阵，是以初基矢量建立的真实点阵的倒易点阵。（4-2）单位矩阵对于三维空间点阵，对应的倒易点阵也为三维图形，

对于正交晶系：2、

的大小和方向因为：所以即应垂直于组成的平面又因为与方向相同，仅差比例：且：V晶胞体积；故k1=k2=k3=1/V.同样：代回上式得：用两矢量点积，可求得倒易矢量的晶轴夹角*、*、*：（4-3）（4-4）

图中实线为单斜晶系正点阵的ac平面，b轴与图面垂直，格点用小圆圈所代表。其对应的倒易点阵用虚线表示，格点用黑点表示。

倒易格点100、001分别在正点阵的（100）和（001）晶面的法线上。所以，每一个倒易阵点对应着相应的正点阵中的一个晶面。倒易基矢的方向b

对单斜晶系的来说，==90°，由公式（4-4）

cos=-cos*,所以，和*互为补角，即+*=180°

。倒易点阵与正点阵的阵胞具有相似的形状，但相当于绕原点旋转了90度。

注:三斜和三方晶系无这种互补关系.六方互为补角。而且

倒易点阵中的一格点对应着晶体点阵中一族晶面间距相等的晶面。如果让两个点阵的原点重合它们之间的关系为：1、晶体点阵中的晶面在倒易空间中用一点来表示，和间的连线为倒易矢

量，垂直于晶体点阵中的晶面；

二、倒易矢量O*2、如果倒易点阵中的矢量

称为倒易矢量（严格说为倒格矢量），则

或式中称为晶面族的晶面间距，它为该晶面族中相邻两个晶面间的垂直距离。利用上述转换关系，可以由任何一个空间点阵得到其对应的倒易点阵，或者反之。

对于互相平行的晶面，倒易点阵的图形。因为

所以倒易矢量具有[L-1]量纲三、倒易矢量与正点阵之间的关系三、正点阵与倒易点阵的关系设在正点阵中有一点阵矢量在倒易点阵中也有一倒易矢量设两矢量是平行的，求两者的关系：两边同乘以得同理：两边分别同乘以得

消去公因数m，并写成矩阵的形式即为倒易点阵[XYZ]与正点阵[UVW]的关系该式为方向指数变换矩阵，可将真实点阵与倒易点阵中的点阵矢量与倒易矢量联系起来，是倒易矢量的计算公式。（4-5）证明倒易矢量与晶面法向平行

aAa/hcCc/lbBb/kPO(hkl)POAN设（hkl)晶面的法线为：（4-6）N是法线矢量的模，上面三式的矩阵形式为：消去dN，并将矩阵移到右边后，并将晶面指数（hkl）改用通用形式（HKL）得：根据式（4-5）与平行的倒易矢量可表示为（4-7）将（4-7）代入可得：即：说明与晶面(HKL)的法线平行的倒易矢量的晶向指数就是[HKL],

得出一个重要的结论：晶面（hkl)的法线平行于同指数的倒易矢量,或者说倒易矢量垂直于晶面(hkl)。由于是从倒易原点到倒易阵点（hkl）的矢量，那么可以发现，在正点阵中的一个晶面，到了倒易点阵中转变成为了一个阵点。该晶面的法线与该阵点的倒易矢量平行。

结论

证明倒易矢量的模G*等于同指数晶面间距d的倒数

101*010*111*110*100*o*a*b*c*020*022*021*210*200*120*（111）oabc（110）（100）证明倒易矢量的模G*等于同指数晶面间距d的倒数

设和是倒易矢量和法线矢量的单位矢量，因//代入上式：aAa/hcCc/lbBb/kPO(hkl)POA得出另一条重要结论：

倒易点阵的模等于同指数晶面的晶面间距dhkl的倒数（1/dhkl)。结论四、倒易点阵的应用已知d=1/G*,

四、晶面间距通用公式（倒易点阵推导）将代入后简化晶面间距通用公式（4-3）（4-4）得到晶面间距通用公式：晶面间距通用公式(4-8)此式适合于所有晶系，例如：立方晶系，a=b=c,===90º注意：前面推导出来的面间距公式中、、是法线与各晶轴的夹角，而在（4-8）中，、、是各晶系的晶轴夹角，显然后面要简单得多。六方晶系晶面间距：

晶面夹角通常用两晶面的法线的夹角来表示，而晶面的法线与倒易矢量是平行的。所以利用倒易点阵的概念可以很方便的计算出各晶面的夹角，同时也可以在倒易点阵中测量出晶面夹角。设两晶面的倒易矢量分别为根据矢量点乘的定义，可得：五、晶面夹角公式（4-9）而且，G1*·G2*可以由式（4-8）得到，代入（4-9）可得到各个晶系晶面夹角的表达式。（4-10）立方晶系：

四方晶系：

六方晶系：正交晶系各晶系晶面夹角表达式

1、定义在晶体结构（空间点阵）中，平行于某一固定晶向（直线）的所有晶面的集合称为晶带。2、属于同一晶带的晶面的交线互相平行，其中通过坐标原点的那一条直线称为晶带轴，晶带轴的晶向指数记为

六、晶带定理

设为某晶带的晶带轴，为这个晶带中某晶面（hkl）的倒易矢量。则

因为晶面（hkl）平行于晶带轴，所以即这就是说，凡是属于晶带的晶面(hkl)都必须符合这个公式，通常称这个公式为晶带定理。晶带定律的应用

在实际晶体中，晶带定理有非常广泛的应用：可以判断空间两个晶向或两个晶面是否相互垂直；可以判断某一晶向是否在某一晶面上（或平行于该晶面）；若已知晶带轴，可以判断哪些晶面属于该晶带；若已知两个晶带面为（h1k1l1)和(h2k2l2),则可用晶带定律求出晶带轴；已知两个不平行的晶向，可以求出过这两个晶向的晶面；§4-2极射赤面投影

所谓极射投影就是将晶体的三维空间变成二维平面来表达的一种方法。在三维图形与二维图形之间建立一定的对应关系，就可以用二维图形来表示三维图形中晶向和晶面的对称关系，以及它们之间的夹角，这样就把比较困难的问题简单化。

晶体投影分两步，第一步将晶面投影到球面上，称之为球面投影；第二步将投影到球面上的图形再投影到赤平面上去，称为赤面投影。投影要素

1、参考球：投影球

2、赤平面:过投影球球心的水平面

3、基圆:赤平面与球面相交的大圆（赤平大圆）。

凡过球心的平面与球面相交的大圆，统称为大圆，

不过球心的平面与球面相交所成的圆统称小圆。

4、极点:过球心的晶面法线与投影球相交点。一、参考球

选取三条互相垂直的直径作坐标轴，直立轴记为NS，前后轴记为AB，左右轴记为CD。NSABCD如果将一个很小的晶体放在一个大圆球的中心上。假设晶体尺寸与该大圆球的半径相比较很小，可以认为晶体的每条晶棱和每个晶面都经过球心。将晶体结构图形投影到球面上去，这种投影称为球面投影。这个球称为投影球（参考球、极球）。这个圆球的球面称为投影球面。晶体可以看作位于参考球中心的一个点。这样，某一晶面与投影球相交就可得一大圆，我们将这个大圆称为晶面的迹线（基圆），即是这个晶面的球面投影。晶面的法线与投影球相交可得一个交点，该点称为极点，极点即为认为是该晶面的极射球面投影。基圆、极点

晶面的极射投影赤面投影——球面上的图形投影到平面

赤平面极点极射赤面投影的特点a、若投影球上有两个迹线（迹点），其夹角为ψ，则它们在极射赤面投影图上投影的夹角仍为ψ。——保角性b、球面上一个圆的极射赤面投影仍为一个圆，但投影图上圆的几何中心并不一定是投影球上的几何中心的投影。下面分几种情况：

球面上的圆极射赤面投影小圆与NS垂直的小圆与基圆同心的圆d

与投影面垂直的小圆在基圆内的小圆弧e

倾斜小圆不与基圆同心的圆f二、吴氏网

一种由球面直角坐标系即经纬网通过投影转绘而成的平面网。又称乌尔夫网或吴氏网。乌尔夫于1902年首次为结晶学引用了这种投影坐标网图。以球面上一点为极作投影透视点，即极射，把以此点为极的另一个半球面投影在以此为极点的赤道平面上，即赤平面。

吴氏网的最大特点是保持了球面上的空间角度关系，也称为保角性。点、线和面的空间角度，在吴氏网上并不因投影转绘而改变，即既可在吴氏网上由网格直接读数，也可用量角器直接量出，而圆弧投影轨迹则可用圆规绘出。

晶面夹角的测量：经度沿赤道度数；纬度沿基圆读数。(a)

两晶面的夹角就是两个镜面法线的夹角。(b)(a)(b)1）原理2）晶面夹角的测量

将透明纸上的投影基圆与乌氏网的参考基圆重合；如两极点在基圆、赤道和大圆（经线）上，可从基圆和赤道的标尺上直接读出。B、C两点，一个40°，另一个10°，夹角30°。不在以上三条线上的两个极点，要旋转透明纸，使其落在大圆上。同一纬度A、B两点实际角度为，而不是，，故不能直接读出。∴A、B两点要用复在吴氏网上的透明纸绕中心转动，是A、B两点落在一个大圆上后方可读出。旋转后A、B两点180°C3）晶带的投影

同一晶带的各个晶面的法线必定都垂直于该晶带的晶带轴，因此同一晶带的各个晶面的法线应该位于同一平面内。这样，晶带进行极式球面投影时，应该得到一个大圆，故同一大圆上的所有晶面将具有相同的晶带轴。1.极射赤面投影中的极点代表了一个晶面；2.极射赤面投影中的基圆（大圆）上两个极点的差值，即为两个晶面之间的夹角。3.极射赤面投影中的小圆上两个极点的差值，不能直接测量角度，必须将它们旋转到同一个大圆上才能测量角度。4.极射赤面投影中的基圆上所有的晶面属于同一晶带轴。小结

常将晶体平行于投影面的所有的主要晶面的极射投影制作成标准极射投影图。并把属于同一晶带轴的极射点用大圆连接起来。选择的平行晶面一般都是一些重要的低指数晶面作为投影面，以便能够充分反映晶体的对称性。例如，立方晶系常用（001）、（011）、（111）；六方晶系用（001）。立方晶系（001）的标准极射投影如下图所示。即平行于（001）晶面，或垂直于[001]的晶向。

三、标准极射投影

图1-33立方晶系标准及射投影的曲面三角形（a）（001）标准极射投影（b）（011）标准极射投影曲面三角形与晶带可分成24个球面三角形，三角形的三个顶点分别为100、110、111，100与110的夹角是45º，100与111的交角为54.7º，110与111的交角为35.3º。{100}{110}{111}曲面三角形与晶带曲面三角形Stereogramcentredon[001]Fcc

极图与电子衍射

Stereogramcentredon[110]Fcc

Stereogramcentredon[111]FccStereogramcentredon[112]Fcc

反极图在对多晶的位向和织构的研究中，常用到反