§4二重积分的变量变换

§4

二重积分的变量变换本节将介绍二重积分的变量变换公式,并用格林公式加以证明.特别对常用的极坐标变换方法作了详细的讨论.

一、二重积分的变量变换公式返回三、二重积分的广义极坐标变换二、二重积分的极坐标变换一、二重积分的变量变换公式在定积分的计算中,我们得到了如下结论:设在区间上连续,当从变到时严格

单调地从a变到b,且连续可导,则当(即)时,记则

利用这些记号,公式(1)又可

写成当(即)时,(1)式可写成故当为严格单调且连续可微时,(2)式和(3)式可

统一写成如下的形式:下面要把公式(4)推广到二重积分的场合.为此先给出下面的引理.引理

设变换将

uv

平面

上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域,一对一地

映成

xy

平面上的闭区域

D.函数在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式则区域

D的面积

(5)证

下面给出当在内具有二阶连续偏导数

时的证明.(注:对具有一阶连续偏导数条件下的一般证明,将在本章§9中给出.)由于

T是一对一变换,且因而

T

把的

内点变为

D的内点,所以的按段光滑边界曲线

也变换为

D的按段光滑边界曲线.设曲线的参数方程为由于按段光滑,因此在上至多除

去有限个第一类间断点外,在其他的点上都连续.又

因所以的参数方程为若规定从变到时,对应于的正向,则根据格

林公式,取有另一方面,在

uv

平面上其中正号及负号分别由从变到时,是对应于的正方向或负方向所决定.由(6)及(7)式得到令在uv平

面上对上式应用格林公式,得到由于函数具有二阶连续偏导数,即有因此

于是又因为总是非负的,而在上不为零且

连续,故其函数值在上不变号,所以定理21.13

设在有界闭区域

D上可积,变换将

uv

平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域一对一地映成

xy

平面上的闭区域

D,函数在内分别具有

一阶连续偏导数且它们的函数行列式证

用曲线网把分成

n

个小区域,在变换

T

作用

下,区域

D也相应地被分成

n个小区域.记及

的面积为及在对

y的则有其中令则作二重积分的积分和加强条件下,由引理及二重积分中值定理,有这个和式是可积函数的分割的细度时,D的

相应分割的细度也趋于零.

因此得到在上的积分和.又由变换

T的连续性可知,当

例1

求其中

D是由解为了简化被积函数,令所围的区域(图21-23).

即作变换它的函数行列式为在T的作用下,区域D的如图

21-24所示.

原象所以例2

求抛物线和直线所围区域

D

的面积解

D的面积为了化简积分区域,作

变换它把

xy

平面上的区域

D

(见图21-25)对应到

uv

平面上的矩形

由于因此例3设上可积,是由曲线所围成的区域在第一象限中的部分.证明:证

令

则

因此二、二重积分的极坐标变换当积分区域是圆域或圆域的一部分,或者被积函数的形式为时,采用极坐标变换

(8)往往能达到简化积分区域或被积函数的目的.此时,变换

T的函数行列式为容易知道,极坐标变换

T

把平面上的矩形

此对应不是一对一的,

例如,xy

平面上原点于平面上两条直线段

CD

和

EF(图21-26).又当时,因此不满足定理21.13的条件.

但是仍然有下面的结论.变换成

xy

平面上的圆域但与平面上直线相对应,x轴上线段

对应定理21.14

设满足定理21.13的条件,且在极坐标变换

(8)下,平面上的有界闭域

D

与平

面上区域对应,则成立证

若

为的扇形后所得的区域(图21-26(a)),则(图

21-26(b)).又因在与之间是一一对应的设除去中心角在变换

(8)

下,

对应于且上

于是由定理

21.13,有因在

D

上有界,故可设

于是由同理又有若

D

是一般的有界闭域,则取足够大的使

即得所以,对

(10)式取极限在中函数

F

至多在有限条按段光滑曲线上间断,因此由前述得到其中为平面上矩形区域由函数

的定义,

(9)

式对一般的

D也成立.上定义函数并且在

由定理21.14看到,用极坐标变换计算二重积分时,除变量作相应的替换外,还须把“面积微元”换

成下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分来计算.1.

常用的是将分解为平面中的型区域.(i)若原点则型区域必可表示成(图21-27)于是有(ii)若原点为

D

的内点(图21-28(a)),D

的边界的极坐标方程为则一般可表示成于是有(iii)

若原点在

D的边界上(图21-28(b)),则为:

于是有2.

也可将分解为平面中的型区域(图21-29).

(1)令(2)作半径为的圆穿过

D,按逆时针方向首先由边界曲线

穿入,而后由边界曲线穿出.

则有例4对积分作极坐标变换,并表示为

不同次序的累次积分,其中(

见图21-30(a))解

经过极坐标变换后,可分解为二个型区域:(a)(b)又可分解为四个型区域

(

见图21-30(b)):于是其中例5

计算其中

D为圆域:解由于原点为

D的内点,故由

(12)式,有例6

求球体被圆柱面所割下部分的体积

(

称为维维安尼

(Viviani)

体

).解由所求立体的对称性(图21-31),只要求出在第一卦限内的部分体积,再乘以4,即得所求立体的体(图21-32),而曲顶的方程为所以后,由

(13)式便可求得xy

平面内由和所确定的区域

D

积.在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体,其底为其中用极坐标变换例7

计算其中

D

为圆域:解利用极坐标变换,由公式

(12),

容易求得若不用极坐标变换,而直接在直角坐标系下化为累次积分计算,则会遇到无法算出的难题.三、二重积分的广义极坐标变换当积分区域为椭圆或椭圆的一部分时,可考虑用如下的广