XXXX版设备故障诊断信号分析二

XXXX版设备故障诊断信号分析二

根据时间函数或参数的不同，时域进一步细分还可以分为幅值域、时差域、倒频域、复时域等。

1、幅值域对样本记录的取值进行统计，称为在幅值域内对信号进行研究．在此幅值是广义的幅值，即样本记录的一切可能取值。在幅值域内几个最重要的基本概念是概率密度函数、概率分布函数、随机过程的数字特征（均值、均方值、方差、歪度、峭度等）。12/13/20222演示实验：12/13/20223（1）概率密度函数与概率分布函数①随机信号的概率表示

在研究下图所示的N个随机信号样本时，在确定时刻t，随机变量X（t）的大小是不同n个，可定义其概率为：12/13/20224

②概率密度函数随机信号研究中，经常用到概率密度函数，其定义如下式：即概率密度函数与研究的时刻有关。12/13/20225

概率密度函数计算可见下图。概率密度函数提供了随机信号沿幅值域分布的信息，是随机信号的重要特征参数之一。不同的随机信号有不同的概率密度函数图形，因此可以利用它作信号分析的依据。12/13/20226③直方图

以幅值大小为横坐标，以每个幅值间隔内出现的频次为纵坐标进行统计分析的一种方法。直方图概率密度函数归一化12/13/20227下图是四种常见随机信号（这里均假设信号的均值为零）的概率密度函数图形。12/13/20228实验图谱

12/13/20229实验图谱

12/13/202210

（2）随机过程的数字特征

①均值均值用以描述信号的稳定分量，随机过程X(t)的均值X（t）定义为：

式中，E[]表示方括号中内容的数学期望或称为算术平均值。均值x（t）脚标x在此表示下式实际上是按t时刻的随机变量X统计的，所以一般随机过程的均值x（t）为选定时刻t的函数。均值又称为一阶矩。12/13/202211均值：反映了信号变化的中心趋势，也称之为直流分量。12/13/202212②均方值、均方根值

均方值和均方根值用于描述信号的能量，随机过程X（t）的均方值x2（t）定义为：

均方根值定义为均方值x2（t）的正平方根。均方值又称为二阶矩。12/13/202213信号的均方值E[x2(t)]，表达了信号的强度；其正平方根值，又称为有效值(RMS)，也是信号平均能量的一种表达。

12/13/202214③方差、标准差

方差和标准差用于描述信号的波动分量，随机过程X（t）的方差x2（t）定义为：12/13/202215方差：反映了信号绕均值的波动程度。大方差

小方差

12/13/202216

④歪度歪度反映信号中大幅值成分的影响，随机过程X（t）的歪度x（t）定义为,歪度又称为三阶矩。12/13/202217⑤峭度

峭度反映信号中影响，随机过程X（t）的峭度x（t）定义为,峭度又称为四阶矩12/13/202218⑥均值、均方值、方差、歪度、峭度与概率密度函数之间的关系，见下图：12/13/20221912/13/202220（3）平稳随机过程与非平稳随机过程

当随机过程X（t）的所有统计量不随时间变化时，称为严格意义上的平稳随机过程，主要统计如均值、均方值、方差或自相关函数、互相关函数不随时间或所研究的时刻变化时，称为广义的平稳随机过程，反之则为非平稳随机过程。对于平稳随机过程，均值、均方值与方差等都是常数，自相关函数和互相关函数只是时间差的函数。12/13/202221（4）各态历经随机过程为了计算随机过程X（t）的统计量，需要知道X（t）的全部样本函数（理论上应为无限多个）或概率密度函数，实际上是很难做到的。而在随机平稳过程中，若任一单个样本的时间平均统计统计特征等于该过程的集合平均统计特征，这样的平稳随机过程叫各态历经（遍历性）随机过程。工程中存在这一类平稳随机过程或可近似当作各态历经随机过程来处理，因此，只对其某个样本函数进行研究，就能计算该随机过程X（t）的各统计量。各统计量的新定义为：计算简图见12/13/20222212/13/202223

式中T---表示样本信号的长度。确定性信号中非周期信号的各统计量计算公式与各态历经过程完全相同，对于周期信号，上式中的T表示周期信号的周期，不需要取极限过程。12/13/202224（5）应用超门限报警信号类型识别

基本参数识别Pp-p12/13/202225案例：汽车速度测量:12/13/202226案例：旅游索道钢缆检测超门限报警

12/13/20222712/13/2022282、时差域

对样本记录在不同时刻取值的相关性进行统计，称为在时差域内对信号进行研究。在时差域内几个最重要的基本概念是自相关函数、互相关函数、协方差函数等。（1）变量相关的概念统计学中用相关系数来描述变量x，y之间的相关性。是两随机变量之积的数学期望，称为相关性，表征了x、y之间的关联程度。

12/13/202229xyxyxyxy12/13/202230（2）波形变量相关的概念（相关函数）如果所研究的变量x,y是与时间有关的函数，即x(t)与y(t)：x(t)y(t)12/13/202231这时可以引入一个与时间τ有关的量，称为函数的相关系数，简称相关函数，并有：相关函数反映了二个信号在时移中的相关性。x(t)y(t)12/13/202232

①自相关函数

自相关函数是指用以描述信号自身的相似程度。对于某一个随机过程（各态历经随机过程）X（t），若X（t）和X（t+）见图所示,其自相关函数定义为：12/13/202233算法：令x(t)、y(t)二个信号之间产生时差τ，再相乘和积分，就可以得到τ时刻二个信号的相关性。

x(t)y(t)时延器

乘法器

y(t-τ)X(t)y(t-τ)积分器

Rxy(τ)自相关函数：x(t)=y(t)12/13/202234由于周期信号的自相关函数是周期函数，而白噪声信号的自相关函数是

函数，所以进行自相关函数分析，可以发现淹没在噪声中的周期信号。

12/13/20223512/13/202236

上图四种典型信号的自相关函数，稍加对比可以看到自相关函数是区别信号类型的一个非常有效的手段。只要信号中含有周期成分，其自相关函数在很大时都不衰减，并具有明显的周期性。不包含周期信号成分，当稍大时自相关函数就将趋近于零。宽带随机噪声的自相关函数很快衰减到零，窄带随机噪声的自相关函数则有较慢的衰减特性。12/13/202237平稳随机过程的自相关函数有以下重要性质：12/13/202238②互相关函数

互相关函数是指用以描述两个信号之间的相似程度或相关性。对于某二个随机过程X（t）和Y（t）（各态历经随机过程）。

其互相关函数定义为：

如果X（t）和Y（t）两信号是同频率的周期信号或者包含有同频率的周期成分，那么，即使T，互相关函数也不收敛并出现该频率的周期成分。如果两信号含有频率不等的周期成分，则两者不相关。这就是说，同频相关，不同频不相关。12/13/202239互相关函数的意义可由下图来说明：12/13/20224012/13/202241例：设有两个周期信号x（t）和y（t）

x（t）=Asin（0t+）

y（t）=Bsin（0t+-）

式中---x（t）相对于t=0时刻的相位角；

---x（t）与y（t）的相位角。

解：因为两个信号是同频率的周期函数，其周期为T0=2/0，有根据三角公式12/13/202242由这个例子可见，两个均值为零，且有相同频率的周期信号，其相关函数中保留了这两个信号的圆频率0，对应的幅值A和B以及相位差值的信息。12/13/202243例：若两个周期信号x（t）和y（t）的圆频率不等试求其互相关函数。解：因为两个信号的圆频率不等（12），不具有共同的周期，因此按定义式计算12/13/202244

由此可见，两个非同频率的周期信号是不相关的。互相关函数的这些性质，使它在工程应用中有重要的价值。在噪声背景下提取有用信息的一个非常有效的方法叫相关滤波，它是利用互相关同频相关、不同频不相关的性质来达到滤波效果的。互相关技术还广泛应用于各种测试中，如利用相关技术通过两个间隔一定距离的传感器来非接触地测量运动物体的速度等。12/13/20224512/13/202246相关函数的性质

相关函数描述了两个信号间或信号自身不同时刻的相似程度，通过相关分析可以发现信号中许多有规律的东西。

（1）自相关函数是的偶函数，RX()=Rx(-)；（2）当=0时，自相关函数具有最大值。（3）周期信号的自相关函数仍然是同频率的周期信号，但不保留原信号的相位信息。（4）随机噪声信号的自相关函数将随的增大快速衰减。12/13/202247（5）两周期信号的互相关函数仍然是同频率的周期信号，且保留原了信号的相位信息。（6）两个非同频率的周期信号互不相关。12/13/202248相关分析的工程应用

案例：机械加工表面粗糙度自相关分析性质3,性质4:提取出回转误差等周期性的故障源。12/13/202249案例：自相关测转速理想信号干扰信号实测信号自相关系数性质3，性质4：提取周期性转速成分。12/13/202250案例：地下输油管道漏损位置的探测X1X212/13/202251式中S—两传感器的中点至漏损处的距离。

v—音响通过管道的传播速度。

12/13/202252案例：地震位置测量12/13/202253案例：传递路径的识别，如下图所示，输入信号x（t）从A点可以通过两条途径传输到B点，得到输出y（t），其一是通过空气的传播，其传播时间另一条途径是通过桶壁传播，其其传播时间t1。互相关图的两个峰值点时延分别与t1、t2对应，这样即可定出信号由A点传输到B点的两条路径的传输效率。12/13/202254（3）信号相关的物理解释

对信号相关的物理解释可以多方面的，根据工程信号处理应用主要有两个方面：

①信号相关是波形相似的度量下图A列出四个样本波形，从波形相似的观点出发观测这四个波形，可以看到波形a、b较为相似，波形c如向左移动值则与前两者也较相似，而a、b、c与d显然很不相似。这种观测是定性的、粗略的估计。如果要精确地、定量地估计波形相似程度，需要更进一步的分析。下图B是二样本波形x（t），y（t），假设要度量他们之间相似程度，需对它们在波形相对应的时间轴上取幅值相比较，求各时间点上两个信号幅值之差，如这一差值愈小则波形就愈相似。12/13/202255波形相似性分析12/13/202256②相关是周期信号中同频成分的反映同频无相位差的二正弦（或余弦）信号具有最好的相关性。同频无相位差的正弦与余弦信号，具有零相关函数值。两不同频的正弦（或余弦）谐波信号，具有零相关函数值。12/13/2022573、随机函数的相关函数与其频谱的关系

（1）对于平稳随机信号，自相关函数Rx（）是时域描述的重要统计特征，而功率谱密度函数Sx（f）则是频率域描述的重要统计特征，可以证明Rx（）与Sx（f）有密切的关系12/13/202258同理可以证明12/13/202259

可见，自相关函数Rx（）与自功率谱函数Sx（f）构成了一对傅里叶变换对，即上面两个式子组成的傅里叶变换对被称为维纳-辛钦定理，维纳-辛钦定理揭示了平稳随机信号时域统计特征与其频域统计特征之间的内在关系，是分析随机信号的重要公式。正变换反变换12/13/202260

Rx（）和Sx（f）之间是傅里叶变换对的关系，二者惟一对应，Rx（）中包含着Sx（f）的全部信息。Rx（）是实偶函数，Sx（f）亦为实偶函数

例：以知，有限带宽白噪声信号的自功率谱密度函数试求其自相关函数。解：根据维纳-辛钦定理，自相关函数与自功率谱密度函数为傅里叶变换，则12/13/202261可知，限带白噪声的自相关函数是一个sinc（）型函数。由这个例子可以说明，随机信号自相关函数在=0点附近有较大值，随值增大，Rx（）衰减为零。

（2）可证明，互谱密度函数Sxy（）和互相关函数Rxy（）也构成一对傅里叶变换对，即12/13/202262式中12/13/202263（3）工程应用

功率谱的应用的主要出发点是基于它的物理含义和数学特征。

利用功率谱的数学特点求取信号传递系统的频率响应函数。旋转机械振动特征检测。旋转机械的转轴部件从启动，升速到额定转速的过程经历了全部转速的变化，因此在各个转速下的振动状态可用对机器的临界转速、固有频率和阻尼比等各参数进行识别。启动和停车过程包含了丰富的信息，是常规运行状态下所无法获得的。描述这种瞬态过程的一种方法是“瀑布图法”，它是在机械振动或停车过程中将不同转速下振动的功率谱图叠加而成的，由于这种图的结构形似瀑布，故称“瀑布图”12/13/202264下图a是根据旋转机械不同转速下的功率谱所制成的一张瀑布图，图中横坐标为频率，纵坐标为机器自零到额定转速的转速，该图由20个功率谱叠加而成。图b为对该瀑布图所作的一个分析图。由它可见机器的转速（基频）n（r/min）及其各次谐波下的谱峰高度，由此可得出机器的临界转速、固有频率及阻尼比等数据。从图b可见，机器临界转速约为4000r/min，且机器振动的高次谐波分量很小，主要是回转频率处的谱峰，因此可判断转子存在较严重的失衡（转子不平衡）。此外还可看到图中60Hz处有一谱峰值，它不随转速升高而改变，判断为电源的脉动干扰。12/13/202265旋转机械的瀑布图，a、由机器在不同转速下的功率谱叠加成的瀑布图b、瀑布分析图12/13/202266（4）相干函数

与互相关函数的不等式类似，对互功率谱也有下列不等式成立：

|Sxy（f）|2Sx（f）Sy（f）根据上面的不等式，定义为信号x（t）和y（t）的相干函数。2xy（f）