人口迁移问题、最小二乘法问题、基因距离表示

1.人口迁移问题假设有两个地区——如南方和北方，之间发生人口迁移。每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示：问题：如果这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部都到南方？如果会请说明理由；如果不会，那么北方的最终人口分布会怎样？解：首先进行假设，假设最初北方的人数为N，南方的人数为S，移民过程持续下去，最终北方的人数为X，南方的人数为问题：如果这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部都到南方？如果会请说明理由；如果不会，那么北方的最终人口分布会怎样？解：首先进行假设，假设最初北方的人数为N，南方的人数为S，移民过程持续下去，最终北方的人数为X，南方的人数为Y。因为移民过程一直持续，我猜想最终南北方的人数应该达到一种平衡，从南方转移到北方和从北方转移到南方的人数应该恰巧相等，而且其中的南方人和北方人的人数也相等，首先对结果进行大胆猜想：X=1/3（N+S）；Y=2/3（N+S）；年份01234北方人数NN1=0.5N+0.25SN2=0.5N1+0.25S1N3=0.5N2+0.25S2南方人数SS1=0.5N+0.75SS2=0.5N1+0.75S1S3=0.5N2+0.75S2小心求证：从第1年开始北方人数为N.南方人数为S.，i为年份，可以得到下表'，|假设每年北方和南方的人数为向量ai=[NiS.]t,i为年份，可以得到以下式子:0.50.25%+日0.50.75岬，其中顼;由上式得出:「0.5"1=[0.50.25.]%；0.7500.5中0.50.250.50.75]"1=[0.50.250.50.250.50.250.75][0.50.75]"0=[0.50.75叫TOC\o"1-5"\h\z「0.50.25「「0.50.25r0.50.25「0.50.25.a=[]%=[][]2a=[]3a;30.50.7520.50.750.50.7500.50.750随着移民过程一直持续下去，得到最终南北方人数为lima=lim[0.50.25]叫n0.50.750nsns0.50.25最终需要求解矩阵A=[0.50.75]的n次幕，首先求出矩阵A的特征值，|AE-AI=0，解得矩阵A的特征值为灯=1/4,X2=1，对应的特征向量为P1=[12]T，111010P2=[1-1]T，令P=[2-1]，则P-1AP=[00.25]，因此A=P[00.25]P-1。因此得到limAn=lim（p[10]p-1）n=plim[10]np-1=p[10]p-1=00.2500.2500nsnsns「11°】「1/31/3】「1/31/3】[][][//]—[//]。2-1002/3-1/32/32/3lim1/31/3最终南北方人数为n手an=[2/32/3]a0=[1/3（N+S）2/3（N+S）]，即最终北方人数为1/3（N+S），南方人数为2/3（N+S），其中N，S为初始北方和南方人数。2.最小二乘问题一颗导弹从敌国发射，通过雷达我们观测到了它的飞行轨迹，具体有如下数据：水平距离/m02505007501000高度/m08151920我国军情处分析得出该导弹沿抛物线轨道飞行。问题：预测该导弹在什么水平距离着地。解：一颗导弹从敌国发射，我们通过雷达观察到了导弹的飞行轨迹及具体数据，我国军情处分析出该导弹沿抛物线轨道飞行。在我们学过的高中数学知识中可以得知，抛物线的函数方程为y=ax2+bx+c高中学习的知识使我们知道只要得到抛物线上3个点的坐标，我们就可以将抛物线的方程求解出来，题目中的数据给我们提供了5个点。首先选取前3个点对抛物线的方程进行试求：点1（0,0），点2（250,8），点3（500,15），将上述3点坐标带入抛物线的方程中得到方程组：c=0；22500a+250b+c=8；250000a+500b+c=15；解方程组得：a=-0.000004878048780；

b=0.032439024390244；c=0；在MATLAB中作出该抛物线方程的图像，以及题目中表格中数据如图所示由图像我们可以看出，该函数曲线与题目中的数据相比，除了点1，点2,点3在该曲线上，剩余两点均距离曲线较远，并且剩余两点没有均匀分布在曲线的两侧。如果在题目中的点任意选择3点，将会存在一共有C3=10种选取方法，但是每一种方法都不会将题目中5个点的数据都利用起来，得到的结果也不准确。如何将题目中的每个点的数据都利用起来，得到一个更确切描述该抛物线的方程，是本报告题目的内容：利用矩阵的范数解决曲线拟合问题，该方法也称为最小二乘法。首先设定该抛物线方程式为y=ax2+bx+c将x的值分别带入该方程式得到一组数值：c,62500*a+250*b+c,250000*a+500*b+c,562500*a+750*b+c,1000000*a+1000*b+c，假设[c,62500*a+250*b+c,250000*a+500*b+c,562500*a+750*b+c,1000000*a+1000*b+c],向量y=[08151920],P=G-Y=[c,62500a+250b+c-8,250000a+500b+c-15,562500a+750b+c-19,1000000a+1000b+c-20],下面求向量P的2范数，J=||P|I2=1382812500000a2+3125000000ab+3750000ac-69875000a+1875000b2+5000bc-87500b+5c2-124c+1050,当向量P的2范数取最小值时，有最优解。将J对a,b,c,求偏导数得Ja=2765625000000a+3125000000b+3750000c-69875000；Jb=3125000000a+3750000b+5000c-87500；Jc=3750000a+5000b+10c-124；令Ja,Jb,Jc=0,取极值，解得：a=-0.000019428571429；b=0.039828571428571；c=-0.228571428571423；最终解得抛物线方程为：y=-0.000019428571429x2+0.039828571428571x-0.228571428571423在MATLAB中绘制该抛物线方程和各个坐标点：可见该抛物线方程正好处在各个点的附近，没有单一方向的偏差，完整的利用5个点的坐标，良好的解决了这个问题。令y=0，得x1=5.7550372370504140600543712713625；x2=2044.2449627177069388821200988843。即炮弹最终在2044.24米处降落。MATLAB解决该问题的程序如下：formatlongx=0:250:1000y=[08151920]symsabcG=a.*x.*x+b.*x+cP=G-yJ=sum(PP)Ja=diff(J,a)Jb=diff(J,b)Jc=diff(J,c)A=[276562500000031250000003750000;312500000037500005000;3750000500010]B=[6987500087500124]C=B/Ag=-0.000019428571429*x.*x+0.039828571428571*x-0.228571428571423plot(x,y,'r*')holdonplot(x,g)holdofflegend(数据点x,y)',拟合曲线f(x)=-0.000019428571429*x.*x+0.039828571428571*x-0.228571428571423'),xlabel('x'),ylabel('y'),title(实验数据点(xi,yi)及拟合曲线f(x)')solve('-0.000019428571429*x*x+0.039828571428571*x-0.228571428571423=0','x')程序结果如下：x=02505007501000y=08151920G=[c,62500*a+250*b+c,250000*a+500*b+c,562500*a+750*b+c,1000000*a+1000*b+c]P=[c,62500*a+250*b+c-8,250000*a+500*b+c-15,562500*a+750*b+c-19,1000000*a+1000*b+c-20]J=1382812500000*aA2+3125000000*a*b+3750000*a*c-69875000*a+1875000*bA2+5000*b*c-87500*b+5*cA2-124*c+1050Ja=2765625000000*a+3125000000*b+3750000*c-69875000Jb=3125000000*a+3750000*b+5000*c-87500Jc=3750000*a+5000*b+10*c-1241.0e+012*2.7656250000000000.0031250000000000.0000037500000000.0031250000000000.0000037500000000.0000000050000000.0000037500000000.0000000050000000.000000000010000B=6987500087500124C=-0.0000194285714290.039828571428571-0.228571428571423g=-0.2285714285714238.51428571425882714.82857142846407518.71428571404432620.171428570999574ans=5.75503723705041406005437127136252044.24496271770693888212009888437.基因距离表示在AB。血型的人们中，对各种群体的基因的频率进行了研究.如果我们把四种等位基因"血巳。区别B则白如F表所^的村对频率；表L1基因的相对频率爱斯基摩人fu班图人肉英国人hi朝鲜人扁Ai0.29140.10340.20900.2208&0.00000.08660.06960.0000B0.03160.120000G120.2069O0.67700.69000.66020.5723合计1.0001.0001.0001.00(}问题:-十群体与另-群体的接近程度如何？换句话说，就是要一个表示鸠因的“距离*的合宜的量度.解：前一段时间看过吴军博士的一本书《数学之美》，其中有一章的题目是：余弦定理和新闻的分类，所以一看到这道题，参照书中新闻的分类，我认为题目中判断一个群体与另一个群体的接近程度，或者说一个表示基因的“距离”的合宜量度，应该用两个群体间各个基因组成向量之间的余弦定理来进行。假设代表爱斯基摩人，班图人，英国人，朝鲜人的四种等位基因的向量分别为f,f,f,f,其中：7-jL•，上c•，上c•，上/i•，^^：1i2i3i4if1i=[0.29140.00000.03160.6770]t；f广[0.10340.08660.12000.6900]t；f3i=[0.20900.06960.06120.6602]t；f4i=[0.22080.00000.20690.5723]t；在MATLAB中输入上述4个向量，并分别求余弦，程序如下所示：f1i=[0.29140.00000.03160.6770]f2i=[0.10340.08660.12000.6900]f3i=[0.20900.06960.06120.6602]f4i=[0.22080.00000.20690.5723]yuxian12=dot(f1i,f2i)/norm(f1i)/norm(f2i)yuxian13=dot(f1i,f3i)/norm(f1i)/norm(f3i)yuxian14=dot(f1i,f4i)/norm(f1i)/norm(f4i)yuxian23=dot(f2i,f3i)/norm(f2i)/norm(f3i)yuxian24=dot(f2i,f4i)/norm(f2i)/norm(f4i)yuxian34=dot(f3i,f4i)/norm(f3i)/norm(f4i)结果如下所示：f1i=0.29140000000000000.0316000000000000.677000000000000f2i=0.1034000000000000.0866000000000000.1200000000000000.690000000000000f3i=0.209