数学重点难点易错点全总结-基本初等函数与三角函数

1份你不能错过的资料包知识集幂函数及图象变 要点一：幂函数概 要点二：幂函数的图象及性 要点三：初等函数图象变 函数与方 要点一：函数的零 要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关 函数模型的应用实 要点一：解答应用问题的基本思想和步 要点二：解答函数应用题应注意的问 任意角和弧度 要点一：任意角的概 要点二：弧度 任意角的三角函 要点一：三角函数定 要点二：三角函数在各象限的符 要点三：诱导公式 要点四：单位圆中的三角函数 同角三角函数基本关 要点一：同角三角函数的基本关系 要点二：同角三角函数基本关系式的变 三角函数的诱导公 要点一：诱导公 要点二：诱导公式的要点三：三角函数的三类基本题 正弦函数、余弦函数的图 要点一：正弦函数、余弦函数图象的画 要点二：正弦曲线、余弦曲 要点三：函数图象的变 正弦函数、余弦函数的性 要点一：周期函数的定 要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性 正切函数的性质与图 yAsin(x)的图象与性 要点一：用五点法作函数yAsin(x)的图 要点二：函数yAsin(x)中有关概 要点三：由ysinx得图象通过变换得到yAsin(x)的图 三角函数模型的简单应 要点一：三角函数模型的建立程 要点二：解答三角函数应用题的一般步 幂函数及图象变换要点一、幂函数概念yxR的函数，叫做幂函数，其中为常数.yxRx1，指数为常数.y3x4yx21,yx22等都不是幂函数.要点二、幂函数的图象及性质1(1)yx；(2)yx2；(3)yx2；(4)yx1；(5)yx3时，幂函数的图象下凸；当010时，幂函数的图象在区间(0,x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地近y轴正半轴，当x趋于时，图象在x轴上方无限地近x轴正半轴．如果为偶函数，则根据y轴对称作出第二象限的图象；值．(3)如函数f(x)kxa是幂函数，求fx的表达式，就应由定义知必有k1f(x)xa要点三、初等函数图象变f(xx2yx1)2yx21,y2x2y|x 图象左（a0）、右（a0） 图象上（b0）、下（b0）y=f(x)→y=f(－x),y轴对称y=f(x)→y=－f(x),x轴对称y=f(xy=－f(－x)图象关于原点对称y=f(xyf 关于y轴对称．（注意：它是一个偶函数）y=f(xy=|f(x)|x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称函数与方程要点一：函数的零点yf(x在实数f(0a叫做这yf(xf(x0方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x如果函yf(x)在一个区间a，b上的图象不间断，并且在它的两个端点处的函数fafb0，则这个函数在这个区间上，至少有一个零点，即存在一点x0a，bfx00x0f(x0的根.f(x在区间abf(af(b0f(x在(abf(xx2在1,1上，fxx22x3在区间2,4上就是这样的．故f(xabf(af(b0③若函f(x)在区间ab上的图象不是连续不断的曲线，f(x)在ab内也可能是有零点，例如函数f(x)11在2,2上就是这样的．xf(x0函数F( f(x)g(x的零点就是方程f(x)g(x)的实数根，也就是函yf(xyg(x要点二：一元二次方程根的分布与方程系数的关系x1＜x2＜k时，有f(k0bb k＜x1＜x2时，有f(k0bb x1＜k＜x2f(k0f(k)f(k2④当x1，x2∈（k1，k2）时f(k2

kb 数值的符号；③对称轴与区间的相对位置．当k=0时，也就是一元二次方程根的布．所谓一元二次方程根的布，是指方程的根相对于零的关系．比如一元二次方设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，且b24ac①x0,x0xxb0 0xxc0 b24ac②x0,x xb0 0 0xxc012 ③x10x2a0 ④x1=0，x2＞0c=0b0；x＜0，x=0c=0

0 要点三：二分第一步：在D内取一个闭区间a0,b0D，使fa0fa0fb00，零点位于区间a0,b0中第二步：取区间a0,b0的中点，则此中点对应的坐标xa1ba1ab fx0fa0，并判断①如fx00x0fx的零点，计算终

fb0②如fa0fx00，则零点位于区间a0x0中，令a1a0,b1x0③如fa0fx00，则零点位于区间x0,b0中，令a1x0,b1第三步：取区间a1,b1的中点，则此中点对应的坐标xa1ba1ab fx1fa1，并判断①如果fx10x1就是fx的零点，计算终②如fa1fx10，则零点位于区间a1x1中，令a2a1b2x1③如fa1fx10，则零点位于区间x1b1中，令a2x1b2继续实施上述步骤，直到区间anbn，函数的零点总位于区间anbn上，当an和bnyfx的近似零点，计算终止.yfx的近似零点满足给定的精确度.f(af(b的值比较容易计算且f(a)f(b)f(xg(xF(xf(xg(xF(x的零点即为方程f(x)g(x)的根．函数模型的应用实例要点一：解答应用问题的基本思想和步实际问题(文字语言数学问题(数量关系与函数模型建模(数学语言求模(求解数学问题反馈(还原成实际问题的解答).要点二：解答函数应用题应注意的问题任意角和弧度制要点一：任意角的概念|k360，k|k k k|k360 k|k360 kx|k ky|k180 k|k k是第一象限角，所以|是第二象限角，所以|

360k36090,kZ

3609036090k360180,k是第三象限角，所以|360270k360360270k360360,kZ

360180k360270,kZ要点二：弧度制180

1rad=

≈57.30°=57°18′，1°=180 S1lr1||r2. ,r任意角的三角函数要点一：三角函数定义y叫做的正弦,记做sin,即sinyx叫做的余弦,记做cos,即cosxy叫做的正切,tan,即tany(x0) x2x2x2的距离r ,那么sin ,x2x2x2x要点二：三角函数在各象限的符号y-o+y-o++-xy+o-+-x -o+正弦、余 余弦、正 正切、余要点三：诱导公式一sin(k2)sin，其中kZcos(k2)cos，其中kZtan(k2)tan，其中kZ要点四：单位圆中的三角函数线PPPMxMPNyN.A为原点建AT(AT)分别叫作的余弦线、正弦线、正切线，统称为三角函数线.有向线段：既有大余弦线在x轴上；同角三角函数基本关系sincossincos

tan要点一：同角三角函数的基本关系式sin

tantancot1sincsc1cossecsin2是(sin)2的简写要点二：同角三角函数基本关系式的变sin21cos2，cos21sin2，12sincos(sincossincos

三角函数的诱导公式2

,的正弦、余弦、正切要点一：诱导公式诱导公式二：sin()sin，cos()cos，tan()tan诱导公式三：sin()sin， cos()cos，tan()tansin(sin，cos(costan( 诱导公式sin

cos，cos

sin 诱导公式sin

cos，cos

sin（kZ(1)要化的角的形式为k90k为常整数 (4)sinx xcosx ；cosx x 4 4 4 要点二：诱导公式的值：当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变，然后的三角函数值前面加上当视为锐角时原函数值的符号.要点三：三角函数的三类基本题型正弦函数、余弦函数的图象要点一：正弦函数、余弦函数图象的画利用三角函数线作出正弦函数和余弦函数在[0,2]内的图象，再通过平移得到ysinxycosx在确定正弦函数ysinx在[0,2]上的图象形状时，起关键作用的五个点是(0,0), ,1),(,0),(

,1),(2若xR，可先作出正弦函数、余弦函数在[0,2]上的图ysinxycosx由诱导公式ycosxsin(x 22

要点二：正弦曲线、余弦曲线ysinx(xRycosx(xR的图象分别叫做正运用数形结合的思想研究与正弦函数、余弦函数有关的问题，如x0,2，方lgxsinx要点三：函数图象的变换ysinxysin(x)yAsin(x正弦函数、余弦函数的性质以及与x轴的交点等)。要点一：周期函数的定义yf(x)IxIf(xT)f(xT是一个非零的常数，则yf(x是周期函数，T是它的一个周期.x值不满足f(xT)f(xTyf(x的一个周期.要点二：正弦函数、余弦函数的图象和性RR最小正周期最小正周期[2k，2k 增区间2k，2k减区间2k，2k最大值点(2k2最小值点(2k ,2最大值点2k,(k,2xk2x正弦函数、余弦函数的值域为1,1，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期不是1,1，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域。ysin(xysin(xysinx再ysinx的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须要点三：正弦型函数和余弦型函数的性yAsin(xyAcos(xysinx数ycosx类似地得到：值域A,yAsin(xyAcos(xA,0的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x视为一个“整体”，分别与正弦函ysinxycosx的单调递增（减）x，即为所求的单调递增2

x2k(kZx2区间，由2k2

x2k3(kZx2不一定具备奇偶性。对于函数yAsin(xk(kz)k (kzyAcos(x，当k(kz 数，当k

2yAsin(x)yAcos(x的奇偶性除利用定义和有关结论外，x的系数有关，其周期为T22

取得最大值（或最小值yAsin(x的对称轴由xk(kZ2解出，其对称中心的横坐标xk(kz

k

,0

理，yAcos(x)的对称轴由xk(kz)解出，对称中心的横坐标由xk2

(kZ解出xRyAsin(xyAcos(x不一定有对称轴和对称正切函数的性质与图象ytanxytanx在 22 要点一：正切函数的图象正切函数ytan kkz的图象，称“正切曲线2复习单位圆中的正切线：

2

2

③把横坐标从

tan（x+π）=tanxy=tanxπy=tanxx(

22要点二：正切函数的性质 x|x

k,kz

ktanx k(kz)，tanx无限减小2xkkz2奇偶性：正切函数是奇函数，即tanxtanx观察正切函数的图象还可得到：点

,0

(kz)是函数ytanxxR，且 xk2 单调性：在开区间kkk