初中数学竞赛专题复习 第二篇 平面几何 第15章 面积问题与面积方法试题1 新人教版

eq

\o\ac(△,S)

第

15

章 面积问题与面积方法

eq

\o\ac(△,S)

b）、c）、d）、 （b）、（c）、（d）、（e）中有

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

C

PCP

CC

CP

P

△

CP

E

F

PE PF EB FCF

E

eq

\o\ac(△,S) BPC

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

EB

eq

\o\ac(△,S)

FC

CPE PF △

C

P C △BPC

PBPC△BPC

PBPCBPC PCBC

△

eq

\o\ac(△

BP

CE

p

q

r

p

qr

△

BF

△F

E

P

C

eq

\o\ac(

eq

\o\ac(△,S)

rp

eq

\o\ac(△,S) r

△

eq

\o\ac(△,S)

△

△△

(

r

p

pq

q

)

E△

M

N

BE

CE

E

BE

CE

BE

BE

△

△BEC

△

CE

E

CMN

F

E

CF

CF

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

BCF

F

CF

CF

P

E C

△

EF

BE

CF

EC eq

\o\ac(△,S) DEF

≤△

BF

F

E

△AFE

BFD

△AFE

BFD

eq

\o\ac(△,

) EDC

≥ △AFE

EDC

△

)

eq

\o\ac(△,S)

)，去分母、考虑

并移项整理得上式等价于

)

AF

△ eq

\o\ac(△,S)

) △BFD

≥

≥

E

F

E

△BCE

ED

AF

EF

Feq

\o\ac(△,S) BCE

eq

\o\ac(△,S) BCE

四边形ABCF

eq

\o\ac(△,S) AEF

E

CDF

四边形ABCF

四边形ABCF

△

△

四边形

F

BE

BE

四边形

E

△

F

P C

△

△

△

BF

CE

CE

△

EF

BF

CE

△

eq

\o\ac(△,S) BED

eq

\o\ac(△,S)eq

\o\ac(△,S) BED

eq

\o\ac(△,S) FDC

△DEF

EF

EF

ED

DF

eq

\o\ac(△,S) eq

\o\ac(△,S)

梯形EBCF

E

F

Ceq

\o\ac(△,S) AEF

梯形EBCF

△AEF

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S) AEF

△AFE△

eq

\o\ac(△,S) AEF

△AFE△

△

DE

EF

FD

eq

\o\ac(△,S) FE C

FDBEDC

FDE

DE

EF

FD

EF△AEF

△

EF

EF

I

△

I

LM

N

△

△

L NI

M C

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

LT

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

LT

△

C△

C

LT LI

TIL

BF

J

BF

E

J

F

C

AF

△

△

△

eq

\o\ac(△,S) BCF

BF

eq

\o\ac(△,S) △

C

C

如图（2），设

K

K

，使BK

CK

BF

△

△

△KBC

BF

BF

KK'E

J

F C

eq

\o\ac(△,S)

△

△

△

梯形

E

P F C

△

△

m m

△

△

m

m

△

△

≤

PC

P C

）、）、Cm

）、

），则m

），于是

(

m)

(

)

()

(

)

(m)

(m

)

m

ms

∥

M

N

PC

DE

CDE

CK

，于是

KBED

KDEM

EK

M

△AKE

C

K

CDE

E

EK

KEM

△AKE

△

△

△△△△

五边形

△

△

出），有

△ eq

\o\ac(△,B)

五边形

△

△

EF

DEDF

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S) CDF

五边形

C

FP E eq

\o\ac(△eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

CDF

eq

\o\ac(

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S) DCF

EF

△DFB

△DEB

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S) DCF

CFEB

FB

△DEB

△DFB

△

eq

\o\ac(△,S)

DCF

△

△DCF

△DEB

△DFB

EF

PE

△QF

∥PE∥

I

△

C

C

I

I

C

I C

C C

b

b

r

eq

\o\ac(△,S)eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S) C

b

eq

\o\ac(△,S) C

eq

\o\ac(△,S) C

eq

\o\ac(△,S)

b

b

r

b

eq

\o\ac(△,S) eq

\o\ac(△,S) C

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

b

r

r

r

r

b

b

b

b

bb△

b

b

b

b

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CE

F

四边形BCDE△BCF

b

b

bEB

b

F

BE

b b

E

eq

\o\ac(△,S) CBE

eq

\o\ac(△,S) CBE

BEb

b

CF

b

FE

BE

CF bCE b

b b

eq

\o\ac(△,S) BCE

eq

\o\ac(△,S) BCFb

eq

\o\ac(△,S) BCE

四边形BCDE

四边形BCDE

b

bb

b

四边形BCDE△BCF

(b)(b)(

)

b

bPC

b

△

△

C

C△CPCb

△ eq

\o\ac(△,PB)Ceq

\o\ac(△,S)

pppeq

\o\ac(△,S)

pppbp

p

b

b

P

C

△

△

△

△

△

EEP Ceq

\o\ac(△,S) BPC

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S) eq

\o\ac(△,S) DE

BE

E

C

C

EP

△

E

FC△

△△

△

eq

\o\ac(△,S)

△

，作△

EF

BE

CF

BE

CF

，得EF

，但

F

EEXYF

BF

BF

EF

CE

BF

△△△CPE

△

F

M

P

E

NCE

C

CE

BF

MN

∥

M

N

△

△

为平行四边形，记

△

△

△TPF

△

△

△

△PRE

△

△

△CPE

eq

\o\ac(△,S)

CE

BE

BE

∥

△

△

∥

P

E

C

CE

CE

RE

eq

\o\ac(△,S) BDE

eq

\o\ac(△,S) BDE

CE

△BCE

RE eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S) BCE

eq

\o\ac(△,S) BDE

△BCE

BE

BE

△BDE

△DER

EM

N

MN

F

K

EPF

，连结

∥

∥

△EFG

△

△

EF

EG EP

△EPF

FEPEF

EP

EG

EPF

KE

NM

F

C

△

b

△

解析

△

PC

△

PC

b

△

αPαα

C

b

(

△

△

△

)

b

△△

△

C

C

C

，即

h

h

hh

h

C

h

h

hh

h

EF

△AEF

△ECF

△

△

△AEF

EFC

EC

F

eq

\o\ac(△,S) EFC

eq

\o\ac(△,S) EFC

ECEC

CPFPEF

FPEFP

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

EF

EF

eq

\o\ac(△,S) eq

\o\ac(△,S) 四边形AEQF

PE

PF

PE

△

△

PF

FP

E

C

PF PE

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

△BCP

△

，又

，于是

b

△

△

b

C

C

△△

△

△

△

△

eq

\o\ac(△,S)

△

△

M

N

eq

\o\ac(△,S)

△

eq

\o\ac(△,S)

AMN

△

MQ

h

b

b()

(b)

P

M

h

h

b

N

Cb

b

b

b

b

(

)

b b

(b)()

)

(

)

K

eq

\o\ac(△,S)

K

eq

\o\ac(△,S) AMN

eq

\o\ac(△,S)

△

KC

△

△

KN

M

C△

E上，且

CE

F

M

FG

FG

FD

FG

FG

△PFG

F

MP

NK

E

C

△PDE△

PK

△PDE△

PK

DE h

h

h

eq

\o\ac(△,S) PFG

FG

eq

\o\ac(△,S) PFG

FG

h

△

b

Cb

bb

△

△C

△

△C

b

b

b

b

，则

，即有

E

F

C

E

C

E

DF

F

EF

BE

FC

BE

梯形

E

CE

BE

梯形

C

△△

△

P

C

eq

\o\ac(△,S) eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

，所以eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S) BCP

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

△

EF

EFGH

BF

EB

FC

CF E

eq

\o\ac(△,S)

△

△

△

eq

\o\ac(△,S)eq

\o\ac(△,S) BEF

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S) eq

\o\ac(△,S)

四边形

eq

\o\ac(△,S) eq

\o\ac(△,S)

eq

\o\ac(△,S) CFG

四边形EFGH

四边形

四边形

(

△

△BEF

△CFG

△)

△

DE

FGFG

DE

△

△CD