几何图形中的动态问题专练

几何图形中的动态问题★如图，在矩形

中，点

E

在

边上，动点

P

以

厘米/秒的速度从点

出发，eq

\o\ac(△,沿)

的边按照

→E→→

的顺序运动一周．设点

P

从点

出发经

eq

\o\ac(△,秒后)， 的面积是

.若

＝，BE＝，当点

P

在线段

上时，求

关于

的函数表达式；已知点

E

是

的中点，当点

P

在线段

ED

上时，＝

；当点

P

在线段

上时，＝－.求

关于

的函数表达式．第

题图解：∵四边形

是矩形，∴∠＝，又∵＝，BE＝，∴＝ ＋BE＝ ＋＝

厘米，如解图①，过点

作

⊥

于点

，第

题解图①＝＝·

＝·

BE，

∴＝∴＝，∴＝·

＝≤；又∵＝，

∵四边形

是矩形，∴∠＝∠＝，＝,

＝，∵E

为

中点，∵＝P

在

ED

上),

＝∵＝P

在

ED

上),

＝－P

在

上，＝当点

P

运动至点

时，可联立得，

，如解图②，过点

作

⊥

于

N，则

＝，eq

\o\ac(△,∴) eq

\o\ac(△,≌) DCE，∴＝DE，＝－解得

＝，∴＋ED＝＝，∴＝ED＝，当点

P

运动一周回到点

时，＝，∴＝－＝

解得

＝，∴＋DE＋＝，∴＝＝，∴BE＝，在

△

中，＝ －BE＝，∴＝∴＝≤，（0<≤）∴＝

.－（≤≤）★

已知：如图①，菱形

的边长为

P、

分别是

、

两边上的动点，P、

分别从

、

两点同时出发，均以

的速度沿

、

向点

和点

匀速运动，当点P

到达点

时停止运动，点

也随之停止运动，设运动时间为

，点

P

到

的距离与点

到

的距离差的绝对值为

，且

与

的函数图象如图②所示.∠

的度数为 ，M

点的坐标所表示的实际意义是 ；求证：=;当

=

时，求

的值.第

题图（）解：，点

P

到

的距离与点

到

的距离相等；①，过

作

BE⊥

于

E,由题图②知，运动时间

=0

时，点

P

到

的距离为 ，

点

到

的距离是菱形的高为

，即

BE=

,在

△BCE

中，BE=

,∴=

BE

=

, ∴∠=∠，由题图②知，点

M

在

轴上，∴点

M

的坐标所表示的意义是点

P

到

的距离与点

到

的距离相等；第

题解图①（）证明：如解图②，连接

,由（）知，∠，第

题解图②

∵在菱形

中，=,

∴△

是等边三角形，∴==,∠=∠，由运动的过程知，=，在△

eq

\o\ac(△,和)

中，

∴△≌△,∴＝;解：如解图③，过点

P

作

PE⊥,过点

作

⊥,第

题解图③由运动过程知，==≤≤∴=4-,在

△

中，∠，=,∴PE==

,同理：=

),∴=｜

｜=

∵=

,∴

｜｜＝

，化简得

∴=

或

=

★.

如图，在

eq

\o\ac(△,Rt)

中，∠＝，＝，＝，点

以每秒

个单位长度的速度由点

向点

匀速运动，到达

点即停止运动．M，N

分别是

，

的中点，连接MN.设点

运动的时间为

.判断

MN

与

的位置关系；求在点

由点

向点

匀速运动的过程中，线段

MN

所扫过区域的面积；eq

\o\ac(△,若)

是等腰三角形，求

的值．第

题图解：MN∥.证明：在△

中，M

是

的中点，N

是

的中点，∴MN∥；如解图①，分别取△

三边中点

E，F，

并连接

EG，FG，第

题解图①根据题意，可知线段

MN

扫过区域的面积就是▱

AFGE

的面积．∵＝，＝，∴＝，＝，∵∠＝，∴

AFGE

＝·

＝，∴线段

MN

扫过区域的面积为； 依题意可知，＝，＝，MN＝＝分三种情况讨论：如解图②，过点

作

⊥

于点

，则

＝＝，ⅰ当

＝MN＝

eq

\o\ac(△,时)，

为等腰三角形，此时

＝如解图②，过点

作

⊥

于点

，则

＝＝，∴＝ⅱ当

＝

时，＝.∵＝＝，＝∵＝＝，＝，即

＝

.∵＝＝，即＝

，∴＝，∴＝＝＝. ∴＝＝ⅲ当

＝MN＝

时，＝，如解图③，连接

，则

⊥. 综上所述，当

＝

或

或eq

\o\ac(△,时)，

为等腰三角形．第

题解图③★.

如图，在正方形

中，点

E，

分别是边

，

的中点，＝.求证：EF⊥；若点

F，

分别在射线

，

上同时向右、向上运动，点

运动速度是点

F

运动速度的

倍，EF⊥

是否成立只写结果，不需说明理由正方形

的边长为

，P

是正方形

内一点，当

＝

时，eq

\o\ac(△,求)

周长的最小值．∵点

E，

分别是边

∵点

E，

分别是边

，

的中点，＝，∴＝，

＝，∴＝

，证明：∵四边形

是正方形，∴＝＝，∠EAF＝∠＝， 又∵∠EAF＝∠＝，eq

\o\ac(△,∴) AEF∽△，∴∠AEF＝∠，又∵∠＋∠＝，∴∠AEF＋∠＝，∴∠＝，即

EF⊥；解：EF⊥

仍然成立；解：如解图，过点

作

MN∥

分别交

、

于点

M，N，连接

，第

题解图∵P

是正方形

内一点，当

＝

，∴＝＝，＝＝，∴点

P

在线段

MN

上不含端点，∴＝＝，＝＝，作点

关于

MN

的对称点

，连接

交

MN

于点

P，此时

＋＝＋＝最小，即△

的周长最小．∵正方形

的边长为

， ＋＋＝

，＝·

＝

，

EF

∴

＝

，∵∠∴

＝

，eq

\o\ac(△,∴) ∽△， ∴＝·

，，∴，

＝∴∴＝＝，＋＋＝

，

故△故△

周长的最小值为

＋

.★.

如图，在矩形

中，＝，＝，点

M

在线段

上，连接

，作∠AMN＝∠，点

N

在直线

上，MN

交

于点

E.求证：△AMN

是等腰三角形；求

·

的最大值；当

M

为

中点时，求

的长．第

题图证明：∵四边形

是矩形，∴∥，∴∠NAM＝∠，又∵∠AMN＝∠，∴∠AMN＝∠NAM，∴＝MN，eq

\o\ac(△,即) AMN

是等腰三角形；解：如解图，作

⊥

于点

，第

题解图∴＝，∴

＝

∴＝，∴

＝

，∴·

＝

＝，∴·

≤，∵∠＝∠＝，∠＝∠，eq

\o\ac(△,∴) ∽△， 在

△

中，＝＋＝＋，∵≤，∴＋≤，∴＝＝＝，由得，·

＝，∴

＝DE∴＝＝＝，由得，·

＝，∴

＝DE，即＝

， －解得

＝，即

DE＝，∴CE＝，·

的最大值为

；解：∵M

是

中点，∵＝＋＝，∴＝，∴＝－＝，设

DE＝，则

CE＝－，∵∥， CE CE＋CE＋＝.

★.

如图①，点

在线段

上，＝，＝，

为射线，且∠＝，动点

P以每秒

个单位长度的速度从点

出发，沿射线

做匀速运动，设运动时间为

秒．当当

＝秒时，则

＝________，

＝________；eq

\o\ac(△,当)

是直角三角形时，求

的值；如图②，当

＝

时，过点

作

∥，并使得∠＝∠，求证：·

＝第

题图

解：，

；

P

以每秒

个单位长度的速度从点

出发，故当

＝秒时，＝ ×＝如解图①，过点

P

eq

\o\ac(△,作)

的高

，由于∠＝，＝，故

＝·

＝

＝

，即

＝·

＝＋)·

＝×＋×

＝

.

第

题解图①解：①∵∠＜∠＝，∴∠

不可能为直角；②如解图②，当∠＝时，第

题解图②∵∠＝，∴∠＝，∴＝＝，即

＝，∴＝；③当∠＝时，如解图③，作

⊥，垂足为

，则∠＝∠＝第

题解图③∵＝，∴＝，＝

，＝＋，＝－，∴＝＋＝－＋，＝＋＝＋＋，∵＋＝，∴－＋＋＋＋＝，即

＋－＝，－＋

－－

，＝解得

，＝

舍去．综上所述，eq

\o\ac(△,当) 综上所述，eq

\o\ac(△,当)

是直角三角形时，

的值为

或

；证明：∵＝，∴∠＝∠.如解图④，作

∥

交

于点

E，第

题解图④∴∠＝∠＝∠，∵∥，∴∠＋∠＝，又∵∠＋∠＝，∴∠＝∠，又∵∠＝∠＋∠＝∠＋∠，∴＝，即

·

EP＝·

，∴＝BE＝∴＝，即

·

EP＝·

，∴＝BE＝＝，∴＝＝，＝EP，∴·

＝·

EP＝·

＝××＝∴∠＝∠，eq

\o\ac(△,∴) ∽△， EP∵∥，eq

\o\ac(△,∴) ∽△， ★.如图①，在矩形

中，＝，＝，在

边上取一点

E，使

＝，点

F是

边上的一个动点，以

EF

为一边作菱形

，使点

N

落在

上，点

M

落在矩形

内或其边上，连接

.当四边形

是正方形时，求

的长；eq

\o\ac(△,设)

的面积为

，＝.①写出

与

之间的函数关系式；②当

由最大值变到最小值时，求点

M

运动的路线长．第

题图解：在正方形

中，∠FEN＝，EF＝；∴∠＋∠AEF＝，在矩形

中，∠＝∠＝°，∴∠AEF＋∠AFE＝，∴∠＝∠AFE，在△

eq

\o\ac(△,与) AFE

中，∠∠，∠∠AFE，，eq

\o\ac(△,∴) eq

\o\ac(△,≌) AFE(AAS)．∴＝DE＝－＝，∴

的长为

；①如解图①，过点

M

作

⊥

于点

，连接

.∴＝BF·

∴＝BF·

＝－×＝－＋；在矩形

中，∵∥，∴∠＝∠.∵四边形

是菱形，∴∥，＝，∴∠ENF＝∠，∴∠－∠ENF＝∠－∠，即∠＝∠，在△

eq

\o\ac(△,与)

中，∠∠°，∠∠，，eq

\o\ac(△,∴) eq

\o\ac(△,≌) ，∴＝DE＝，又∵BF＝－， ②当点

与

N

重合时，

最大如解图②，第

题解图②此时

DE＝EF＝，由勾股定理得

＝，当点

M

落在

上时，

最小如解图③，∴点

M

运动的路径是一条线段

∴点

M

运动的路径是一条线段

M

M

如解图④，由①得

＝DE＝，∵点

M

到

的距离是定值

， ∴M

M

＝F∴M

M

＝F

＝－＝由

，

两段组成，如图②所示． ∴点

M

运动的路线长为

★.如图①，eq

\o\ac(△,在)

中，∠＝，点

P

从点

出发以

的速度沿折线

－－运动，点

从点

出发以

的速度沿

运动，P，

两点同时出发，当某一点运动到点

时，两点同时停止运动．设运动时间为，△

的面积为

，

关于

函数图象 求

的值；求图②中图象

段的函数表达式；当点

P

运动到线段

上某一段时，△

的面积大于当点

P

在线段

上任意一点eq

\o\ac(△,时)

的面积，求

的取值范围．第

题图解：如解图①，过点

P

作

⊥

于点

.∴＝

＝∴＝

＝

＝.由图象得，当

＝

时，＝，则

＝，∵∠＝，＝，∴＝°＝·

＝， ∴＝；如解图②，当点

P

在

上时，＝－＝－.第

题解图②∴＝

＝

－∴＝

＝

－.由图象得，当

＝

时，＝，∴××－＝，∴＝， ∴＝

－)·

＝－＋； ∴＝

－)·

＝－＋； ，

＝－

＋由图象得，当

＝

时，函数

＝的最大值为

＝×＝将

＝

代入函数

＝－＋，得

＝－＋，令解得

＝舍去，

＝ 解得

＝，

＝ ∴由图象得，

的取值范围是

＜＜★.如图①，在长方形

中，=8，=6，动点

P、

分别从点

、

同时出发向点

、

运动，点

P

的运动速度为每秒

个单位长度，点

的运动速度为每秒

个单位长度，当点

P

运动到点

时，两个点都停止运动.设运动的时间为

当

=2

时，

的长为；在运动过程中，若△

为等腰三角形，求相应时刻的

值；如图②，连接

，是否存在某个时刻，使得

垂直平分

若能，求

的值；若不能，说明理由.第

题图解：（）如解图①，作

⊥

于

，由题意得:∴又∵=由勾股定理得：=+=2

;当

=

时，=,∴，整理得

+2解得

=;当

=

时，+＝＝，即（）+6,解得

=

;当

=

时，+＝＝，即（）+6,方程无解；综上所述，当

=或

时，△

为等腰三角形；

（）不存在.如解图②，第

题解图②假设

垂直平分

,则

=，=,在

△

中，,解得：=

,在

△

中，（）,解得

=

,∴不存在某个时刻

，使得

垂直平分

.★.

如图①，矩形

中，=7

，=4

点

E

为

上一定点，点

F

为

延长线上一点，且

DF＝

点

P

从

点出发，沿

边向点

以

的速度运动.连接

PE，设点

P

运动的时间为

的面积为

.当

≤≤

时

的面积

关于时间的函数图象如图②所示.连接

PF，交

于点

.

的取值范围为 ，＝ 如图③，eq

\o\ac(△,将)

沿线段

DF

进行翻折，与

的延长线交于点

M，连接

，当

为何值时，四边形

为菱形？并求出此时点

P

的运动时间

;如图④，当点

P

出发

后，

边上另一动点

从

E

点出发，沿

ED

边向点

以

的速度运动.如果

P，

两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连接

，.若＝

，eq

\o\ac(△,请问)

能否构成直角三角形？若能，请求出点

P

的运动时间

；若不能，请说明理由.第

题图解：（）≤≤，；【解法提示】当

P

运动到点

时，

∴

的取值范围为

≤≤；由题意知，＝

·

＝

×2·

＝·

， 将（，）代入

＝·

，得

＝若四边形

为菱形，则

∥，且

=，=，∵∠＝∠＝，∠=∠，∴△∽△,∴

FD

, ∵DF=,∴=4+,∴

, ∴在

△

中，==2,∵△

eq

\o\ac(△,是由)

沿线段

DF

翻折而得，∴＝＝＝，∵=+,，即

=+4,解得

=

或

=-

（舍去）， ∴当

=4

时，四边形

为