实二次型及其标准形课件

一、二次型及其矩阵

称为n元二次型.一、二次型及其矩阵称为n元二次型.1

若aij为实数，则称为实二次型.

若aij为复数，则称为复二次型.

则f(x1,…,xn)=XTAX.

A:

二次型f(x1,…,xn)的矩阵.若aij为实数，则称为实二次型.若aij为复数，2

例1

f(x1,x2,x3)=2x12–3x22+4x32-2x1x2+3x2

x3A:

f(x1,x2,x3)的矩阵

若令

则有

f(x1,x2,x3)=XTBX

但

BT≠B,故

B不是f(x1,x2,x3)的矩阵例1f(x1,x2,x3)=2x123二次型也记为f(X)=XTAX.(AT=A)二次型f(X)的秩：A的秩.在例1中，f(x1,x2,x3)的矩阵R(A)=3,故f(x1,x2,x3)的秩为3.二次型也记为f(X)=XTAX.4实二次型及其标准形课件5解：解：6例2：求对称矩阵所对应的二次型。解：例3：已知二次型的秩为2，求参数c。解：例2：求对称矩阵所对应的二次型。解：例3：已知二7可逆线性替换定义8-2：设是两组变量，我们将下列关系式称为从变量组到的一个线性替换（变换）。(2)可逆线性替换定义8-2：设8系数矩阵则线性变换（2）可记作：若C可逆，则称(2)为非退化（可逆），（满秩）线性变换。若C正交，则称(2)为正交线性变换。系数则线性变换（2）可记作：若C可逆，则称(2)为非退化（可9非退化线性替换的性质：（1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换证：（2）连续施行线性替换的结果还是一个线性替换证：（3）连续施行非退化线性替换的结果还是一个非退化线性替换；连续施行正交替换的结果还是正交替换。非退化线性替换的性质：（1）非退化线性替换的逆还是非退化线性10矩阵的合同经过非退化线性变换可化为则矩阵的合同经过非退化线性变换可化为则11矩阵的合同：所以，通过非退化线性变换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.矩阵合同的性质：(1)反身性：矩阵A与自身合同；(2)对称性：若A与B合同，则B与A合同；(3)传递性：若A与B合同，且B与C合同,则A与C合同.矩阵的合同：所以，通过非退化线性变换，矩阵合同的性质：12

A与B等价：PAQ=B,P,Q可逆；

A与B相似：P-1AP=B,P可逆；请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？A与B等价：PAQ=B,P,Q可逆；13三、用配方法化二次型为标准形

只含平方项的二次型

d1y12+d2y22+…+dr

yr2(di

≠0)

称为标准形.

形如

z12+

…+

zp2–zp+12-…-

zr2

的二次型称为规范形.

p:正惯性指数；

r-p:负正惯性指数；|r-2p|:符号差.三、用配方法化二次型为标准形只含平方项的二次型

14例

用配方法化二次型为标准形

f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+6x2

x3+2x1x3=(x12+2x1x2+2x1

x3+x22+x32+2x2

x3)+x22+2x32+4x2x3=(x1+x2+x3)2+(x22+4x2

x3+4x32)-2x32=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2-2x32则f(x1,x2,x3)=y12+y22–2y32

（法1）

例用配方法化二次型为标准形f(x1,x2,x15

f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+6x2

x3+2x1x3=(x12+2x1x2+2x1

x3)+2x22+3x32+6x2

x3=(x1+x2+x3)2+(x22+4x2

x3)+2x32=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2-2x32则f(x1,x2,x3)=y12+y22–2y32

（法2）

f(x1,x2,x3)=x12+2x2216即(1):从x1,x2,x3到y1,

y2,y3的线性变换.(2):从y1,

y2,y3到x1,x2,x3

的线性变换.(1)与(2)所表达的x1,x2,x3与

y1,

y2,y3

的关系是相同的.

利用配方法与归纳法可以证明：

定理1任一实二次型f(X)=XTAX都可用配方法化为标准形.即(1):从x1,x2,x3到y1,y2,y17例

f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2

x3令则,f(x1,x2,x3)=2y12–2y22–4y1y3+8y2

y3=2(y12–2y1y3+y32)-2y22-2y32+8y2

y3=2(y1

–y3)2–2(y22-4y2

y3

+4y32

)+6y32=2(y1

–y3)2–2(y2-2y3)2+6y32=2z12–2z22+6z32（法1）

例f(x1,x2,x3)=2x1x218上式最后一步使用的变换是则

f=2z12–2z22+6z32=t12+t22-t32

上式最后一步使用的变换是则

19

f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2

x3令则,f(x1,x2,x3)=2y12–2y22–4y1y3+8y2

y3（法2）

=2(y12–2y1y3)-2y22

+8y2

y3=2(y1

–y3)2-2(y22

-4y2

y3)-2y32

=2(y1

–y3)2-2(y2-2y3)2+6y32

=2z12–2z22+6z32f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x20上式最后一步使用的变换是则,

f=2z12–2z22+6z32=t12+

t22-t32

上式最后一步使用的变换是则,

21特点:二次型中至少有一个平方项系数不为零特点:二次型中至少有一个平方项系数不为零22实二次型及其标准形课件23特点:二次型中平方项系数全为零.(即无平方项)特点:二次型中平方项系数全为零.(即无平方项)24实二次型及其标准形课件25定理2任何一个实二次型的规范形都是惟一的.证

将实二次型f(X)=XTAX经合同变换化为标准形后，将正项集中在前，负项集中在后：

d1y12+…+dpyp2-dp+1yp+12-…-

dryr2

得f(X)=XTAX的规范形为

z12+

…+

zp2–zp+12-…-

zr2

由于合同变换不改变二次型的秩，所以r是惟一确定的.进一步还可证明正惯性指数p是惟一的，因此，负惯性指数r–p与符号差

|r–2p|

也是惟一的.定理2任何一个实二次型的规范形都是惟一的.证26四、用正交变换化二次型为标准形

定理3

任一n元实二次型f(X)=XTAX都可用正交变换X=CY化为标准形1y12+

2

y22+…+n

yn2其中1，2

，…，n是A的特征值.

证因A为n阶实对称矩阵，所以存在正交矩阵C,使CTAC=C-1AC=diag(1，2

，…，n)令X=CY,则f(X)=YTCTACY=1y12+

2

y22+…+n

yn2四、用正交变换化二次型为标准形定理3任一n元27例4

用正交变换化二次型为标准形

f(x1,x2,x3)=x12-2x22-2x32-4x1x2+4x1x3+8x2

x3解

f(x1,x2,x3)的矩阵特征值：1=2（二重特征值），2

=-7，例4用正交变换化二次型为标准形f(x1,x2,28求1=2的特征向量：

x1

+2x2-2x3=0特征向量：1=(-2,1,0)T,2=(2,0,1)T将1,2

正交化：

1=1=(-2,1,0)T,求1=2的特征向量：x1+2x2-2x3=29求1=-7的特征向量：

3=(1,2,2)T,将1,2,3

单位化：求1=-7的特征向量：3=(1,2,2)30

X=(x1

,x2,x3)T,Y=(y1,y2,y3)T

则X=CY为正交变换，且f=2

y12+2

y22-7

y32X=(x1,x2,x3)T,Y=(31实二次型及其标准形课件32实二次型及其标准形课件33一、二次型及其矩阵

称为n元二次型.一、二次型及其矩阵称为n元二次型.34

若aij为实数，则称为实二次型.

若aij为复数，则称为复二次型.

则f(x1,…,xn)=XTAX.

A:

二次型f(x1,…,xn)的矩阵.若aij为实数，则称为实二次型.若aij为复数，35

例1

f(x1,x2,x3)=2x12–3x22+4x32-2x1x2+3x2

x3A:

f(x1,x2,x3)的矩阵

若令

则有

f(x1,x2,x3)=XTBX

但

BT≠B,故

B不是f(x1,x2,x3)的矩阵例1f(x1,x2,x3)=2x1236二次型也记为f(X)=XTAX.(AT=A)二次型f(X)的秩：A的秩.在例1中，f(x1,x2,x3)的矩阵R(A)=3,故f(x1,x2,x3)的秩为3.二次型也记为f(X)=XTAX.37实二次型及其标准形课件38解：解：39例2：求对称矩阵所对应的二次型。解：例3：已知二次型的秩为2，求参数c。解：例2：求对称矩阵所对应的二次型。解：例3：已知二40可逆线性替换定义8-2：设是两组变量，我们将下列关系式称为从变量组到的一个线性替换（变换）。(2)可逆线性替换定义8-2：设41系数矩阵则线性变换（2）可记作：若C可逆，则称(2)为非退化（可逆），（满秩）线性变换。若C正交，则称(2)为正交线性变换。系数则线性变换（2）可记作：若C可逆，则称(2)为非退化（可42非退化线性替换的性质：（1）非退化线性替换的逆还是非退化线性替换证：（2）连续施行线性替换的结果还是一个线性替换证：（3）连续施行非退化线性替换的结果还是一个非退化线性替换；连续施行正交替换的结果还是正交替换。非退化线性替换的性质：（1）非退化线性替换的逆还是非退化线性43矩阵的合同经过非退化线性变换可化为则矩阵的合同经过非退化线性变换可化为则44矩阵的合同：所以，通过非退化线性变换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的.矩阵合同的性质：(1)反身性：矩阵A与自身合同；(2)对称性：若A与B合同，则B与A合同；(3)传递性：若A与B合同，且B与C合同,则A与C合同.矩阵的合同：所以，通过非退化线性变换，矩阵合同的性质：45

A与B等价：PAQ=B,P,Q可逆；

A与B相似：P-1AP=B,P可逆；请思考：矩阵合同与等价、相似有何关系？A与B等价：PAQ=B,P,Q可逆；46三、用配方法化二次型为标准形

只含平方项的二次型

d1y12+d2y22+…+dr

yr2(di

≠0)

称为标准形.

形如

z12+

…+

zp2–zp+12-…-

zr2

的二次型称为规范形.

p:正惯性指数；

r-p:负正惯性指数；|r-2p|:符号差.三、用配方法化二次型为标准形只含平方项的二次型

47例

用配方法化二次型为标准形

f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+6x2

x3+2x1x3=(x12+2x1x2+2x1

x3+x22+x32+2x2

x3)+x22+2x32+4x2x3=(x1+x2+x3)2+(x22+4x2

x3+4x32)-2x32=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2-2x32则f(x1,x2,x3)=y12+y22–2y32

（法1）

例用配方法化二次型为标准形f(x1,x2,x48

f(x1,x2,x3)=x12+2x22+3x32+2x1x2+6x2

x3+2x1x3=(x12+2x1x2+2x1

x3)+2x22+3x32+6x2

x3=(x1+x2+x3)2+(x22+4x2

x3)+2x32=(x1+x2+x3)2+(x2+2x3)2-2x32则f(x1,x2,x3)=y12+y22–2y32

（法2）

f(x1,x2,x3)=x12+2x2249即(1):从x1,x2,x3到y1,

y2,y3的线性变换.(2):从y1,

y2,y3到x1,x2,x3

的线性变换.(1)与(2)所表达的x1,x2,x3与

y1,

y2,y3

的关系是相同的.

利用配方法与归纳法可以证明：

定理1任一实二次型f(X)=XTAX都可用配方法化为标准形.即(1):从x1,x2,x3到y1,y2,y50例

f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2

x3令则,f(x1,x2,x3)=2y12–2y22–4y1y3+8y2

y3=2(y12–2y1y3+y32)-2y22-2y32+8y2

y3=2(y1

–y3)2–2(y22-4y2

y3

+4y32

)+6y32=2(y1

–y3)2–2(y2-2y3)2+6y32=2z12–2z22+6z32（法1）

例f(x1,x2,x3)=2x1x251上式最后一步使用的变换是则

f=2z12–2z22+6z32=t12+t22-t32

上式最后一步使用的变换是则

52

f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3-6x2

x3令则,f(x1,x2,x3)=2y12–2y22–4y1y3+8y2

y3（法2）

=2(y12–2y1y3)-2y22

+8y2

y3=2(y1

–y3)2-2(y22

-4y2

y3)-2y32

=2(y1

–y3)2-2(y2-2y3)2+6y32

=2z12–2z22+6z32f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x53上式最后一步使用的变换是则,

f=2z12–2z22+6z32=t12+

t22-t32

上式最后一步使用的变换是则,

54特点:二次型中至少有一个平方项系数不为零特点:二次型中至少有一个平方项系数不为零55实二次型及其标准形课件56特点:二次型中平方项系数全为零.(即无平方项)特点:二次型中平方项系数全为零.(即无平方项)57实二次型及其标准形课件58定理2任何一个实二次型的规范形都是惟一的.证

将实二次型f(X)=XTAX经合同变换化为标准形后，将正项集中在前，负项集中在后：

d1y12+…+dpyp2-dp+1yp+12-…-

dryr2

得f(X)=XTAX的规范形为

z12+

…+

zp2–zp+12-…-

zr2

由于合同变换不改变二次型的秩，所以r是惟一确定的.进一步还可证明正惯性指数p是惟一的，因此，负惯性指数r–p