高三数学 第二章第十二节 导数的综合应用复习 新人教A

第十二节导数的综合应用编辑ppt 1．通常求利润最大、用料最省、效率最高等问题称为________问题，一般地，对于实际问题，若函数在给定的定义域内只有一个极值点，那么该点也是最值点． 2．利用导数研究函数的单调性和最(极)值等离不开方程与不等式；反过来方程的根的个数，不等式的证明、不等式恒成立求参数等，又可转化为函数的单调性、极值与最值的问题，利用导数进行研究．优化编辑ppt3．解决优化问题的基本思想编辑ppt 函数的极大值一定比极小值大吗？ 【提示】极值是一个局部概念，极值的大小关系是不确定的，即极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小．

编辑ppt【解析】

∵f′(x)＝3ax2＋1，依题意f′(x)＝3ax2＋1有两个实根，∴a＜0.【答案】D编辑ppt2．(2011·辽宁高考)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________． 【解析】函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln2)上递增，在(ln2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可． 【答案】(－∞，2ln2－2]编辑ppt3．(2012·青岛质检)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．【答案】9编辑ppt4．已知f(x)＝1＋x－sinx，试比较f(2)，f(3)，f(π)的大小为________． 【解析】

f′(x)＝1－cosx，当x∈(0，π]时，f′(x)＞0. ∴f(x)在(0，π]上是增函数，∴f(π)＞f(3)＞f(2)． 【答案】

f(π)＞f(3)＞f(2)

编辑ppt 已知函数f(x)＝xlnx. (1)求函数f(x)的最小值； (2)试讨论关于x的方程f(x)－m＝0(m∈R)的实根个数． 【思路点拨】(1)求f′(x)，当x∈(0，＋∞)时，判定f′(x)的正负变化，求出f(x)的最值．(2)由f(x)的单调性与极值，数形结合求解．

导数在方程(函数零点)中的应用

编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt 设a为实数，函数f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当a＞ln2－1且x＞0时，ex＞x2－2ax＋1. 【思路点拨】第(2)问构造函数g(x)＝ex－x2＋2ax－1(x∈R)，注意到g(0)＝0，只需证明g(x)在(0，＋∞)上是增函数，运用导数处理．导数在不等式中的应用

编辑ppt 【尝试解答】(1)由f(x)＝ex－2x＋2a，x∈R，f′(x)＝ex－2，x∈R. 令f′(x)＝0，得x＝ln2. 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，ln2)ln2(ln2，＋∞)f′(x)－0＋f(x)单调递减2(1－ln2＋a)单调递增编辑ppt 故f(x)的单调递减区间是(－∞，ln2)，单调递增区间是(ln2，＋∞)， f(x)在x＝ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)＝eln2－2ln2＋2a＝2(1－ln2＋a)． (2)设g(x)＝ex－x2＋2ax－1，x∈R. 于是g′(x)＝ex－2x＋2a，x∈R. 由(1)知当a＞ln2－1时，g′(x)最小值为g′(ln2)＝2(1－ln2＋a)＞0. 于是对任意x∈R，都有g′(x)＞0， 所以g(x)在R内单调递增．编辑ppt 于是当a＞ln2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)＞g(0)． 又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)＞0. 即ex－x2＋2ax－1＞0，故ex＞x2－2ax＋1.

编辑ppt 1．本题常见的错误有两点：(1)基础知识不过关，求错导数；(2)不等式证明思路不清晰，不会构造函数g(x)，发现不了g′(x)与f(x)的关系，导致不能运用第(1)问的结论． 2．对于该类问题，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化．

编辑ppt (2011·浙江高考)设函数f(x)＝a2lnx－x2＋ax，a＞0. (1)求f(x)的单调区间； (2)求所有的实数a，使e－1≤f(x)≤e2对x∈[1，e]恒成立．(其中，e为自然对数的底数)．编辑ppt编辑ppt生活中的优化问题

编辑ppt 【思路点拨】(1)根据容积(体积)寻求r与l的关系，并由l≥2r求出r的范围．(2)先根据圆柱的侧面积与球的表面积建立造价y关于r的函数，再利用导数求该函数的最小值．编辑ppt编辑ppt编辑ppt 1．本题的关键在于利用几何体的容积与表面积公式寻找等量关系，进而建立函数模型，但一定注意用条件l≥2r及实际意义求函数定义域． 2．(1)目标函数的建立是运用导数解决生活中的优化问题的关键，注意选择恰当的自变量，以及实际背景所限定的变量取值范围；(2)如果目标函数在定义区间内只有一个极值点，那么根据实际意义该极值点就是最值点．编辑ppt编辑ppt编辑ppt 从近两年新课标命题看，导数与函数方程、不等式的交汇综合，以及利用导数研究实际中的优化问题，是命题的热点，而且不断丰富创新．题型以解答题的形式为主，综合考查分析、解决问题的能力，以及分类讨论、转化化归、函数与方程等数学思想方法．编辑ppt规范解答之四导数与不等式交汇问题的求解方法编辑ppt编辑ppt编辑ppt编辑ppt图2－12－2编辑ppt【答案】B编辑ppt【解】(1)由f(x)＝－ax＋ax·lnx＋