2020年成人高考专升本高等数学一知识点汇总复习(自编)

编制仅供参考审核批准生效日期地址：电话：传真:邮编:2020年成人高考专升本高等数学一知识点复习一、题型分布：试卷分选择、填空、解答三部分，分别占40分、40分、70分二、内容分布极限函数求导微分积分空间几何多元函数无穷级数常微分方程2019243238430418201824384442241420172838368228102016243638430414201520364003281420142444288221014难点：隐函数求导、全微分、多元函数极值、常微分方程复习方法：1、结合自身情况定目标2、分章节重点突破，多做题，做真题

第一章：极限与连续1-1、极限的运算1、极限的概念(1)设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当x无限趋于x0时函数f(x)无限地趋于一个常数A，则称A为函数f(x)当x→(2)左极限、右极限；在某点极限存在，左右极限存在且唯一。limlim2、无穷小量与无穷大量无穷小量定义：对于函数y=f(x)，如果当x在某个变化过程中，函数f(x)的极限为0，则称在该变化过程中，f(x)为无穷小量，记作lim无穷大量定义：对于函数y=f(x)，如果当x在某个变化过程中，函数f(x)的极限值越来越大，则称在该变化过程中，f(x)为无穷大量，记作lim3、无穷小量与无穷大量的关系在同一变化过程中，如果f(x)为无穷大量，且f(x)≠0，则1f(x)在同一变化过程中，如果f(x)为无穷小量，且f(x)≠0，则1f(x)4、无穷小量的性质性质1：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量★性质2：无穷小量与有界函数的积仍是无穷小量5、无穷小量的比较与替换定义：设α，β是同一变化过程中的无穷小量，即（1）如果limβα=0（2）如果limβα=∞（3）如果limβα=c≠0（4）如果limβα=1★常见的等价无穷小量：当x→0时，x~sin★★6、两个重要极限（1）lim（2）limx→∞(1+★★7、求极限的方法（1）直接代入法：分母不为零（2）分子分母消去为0公因子（3）分子分母同除以最高次幂（4）利用等价代换法求极限（等价无穷小）（5）利用两个重要极限求极限（6）洛必达求导法则（见第二章）1-2、函数的连续性1、函数在某一点上的连续性定义1：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果有自变量∆x趋近于0时，相应的函数改变量∆y也趋近于0，即lim∆x→0[定义2：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果当x→x0时，函数f(x)的极限存在，且等于x0处的函数值f(x0)

第二章、一元函数微分学2-1、导数与微分1、导数概念定义1：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，如果有自变量x在点x0处的改变量∆x，相应的函数改变量∆y=fx0+∆xlim∆x→0fx0★★2、常见的求导公式（1）、c'=0（3）、logax（5）、ax'（7）、sinx'★★3、导数的运算法则（1）u±v（2）u∙v（3）cu（4）u★4、复合函数求导如果函数u=φ(x)在点x处可导，函数y=f(u)在对应点u处也可导，则复合函数y=f[φx]在点x5、隐函数求导隐函数：x与y之间的函数关系是由一个方程Fx,y=0隐函数的求导方法：直接在方程Fx,y=0的两端同时对x求导，而把6、高阶求导如果函数y=f(x)的导数函数y'=f'(x)仍是函数x的可导函数，那么就称函数f'(x)的导数为函数f(x)的二阶导数，二阶导数记为函数y★7、微分公式dy=y'dx（1）d(c)=0（2）（3）d(ax（5）dlogax（7）dsinx★★2-2、洛必达法则1、概念如果当x→a（或∞）时，函数f(x)与g(x)都趋于0或都趋于∞，则称limx→af(x)g(x)为未定型极限，并分别简记为02、求法（1）先判定是否符合00或（2）分别对分子分母求导，如果求导完还是00或（3）当出现分母不为0时，就可以直接代入求解。★★2-3、导数的应用1、函数的单调性、单调区间设函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，（1）如果在区间(a,b)内f'(x)>0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内是单调递增的（2）如果在区间(a,b)内f'(x)<0，则函数y=f(x)在区间(a,b)内是单调递减的2、函数的极值设函数y=f(x)在点x0（1）如果x≠x0时，恒有f(x)<f(x0)（2）如果x≠x0时，恒有f(x)>f(x0)极值求法：（1）求f(x)的导数f'(x)（2）令f'x=（3）分别求出xi左右的导数f'x的符号，左正右负，此时f(x)3、曲线的凹凸性及拐点曲线的凹凸性：设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内具有一阶导数和二阶导数，那么：（1）如果在区间(a,b)内f''(x)>0，则函数y=f(x)在区间[a,b]的图形是凹的（2）如果在区间(a,b)内f''(x)<0，则函数y=f(x)在区间[a,b]的图形是凸的曲线的拐点：在连续的曲线上的凹弧与凸弧之间的分界点称为曲线的拐点。

第三章、一元函数积分学3-1、不定积分1、原函数：设函数f(x)在某一区间上有定义，若存在函数F(x)，使F'x=f(x)成立，则称F(x)2、不定积分函数f(x)在区间I上的所有原函数的全体Fx+C叫做f(x)在区间I上的不定积分，记作f(x)★3、不定积分的性质（1）kf(x)（2）[f（3）f（4）f'(x)★★4、基本积分公式（1）k（2）x（3）a（4）e（5）1（6）sinx（7）cosx★★5、第一换元积分法（凑微分法）设f(u)具有原函数F(u)，u=f[φ(x)6、分部积分法设函数具有连续的导函数，则有uv'dx=uv-vu'3-2、定积分★1、定积分的性质（1）a（2）a（3）a（4）a★2、变上限的定积分定理若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则变上限积分φx=ax★★3、牛顿---莱布尼茨公式ab4、反常积分（广义积分）a-∞★5、定积分的求法（1）定积分的换元积分法a（2）定积分的分部积分法abuv'★★（3）奇偶函数在对称区间上的积分若f(x)在[-a,a]上为连续奇函数，则-a若f(x)在[-a,a]上为连续偶函数，则-a★3-3、定积分的应用1、求平面图形的面积（1）由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b(a<b)及（2）由两曲线y=f1x，y=f（3）由曲线x=φ(y)，直线y=c，y=d(c<d)及（4）由两曲线x=φ1(y)，（5）由两曲线y=f1其中a是交点中x的最小值，b是交点中x的最大值★2、旋转体的体积（1）由曲线段y=f(x)，x∈a,b绕（2）由曲线段x=φ(y)，y∈c,d绕y（3）由两曲线y=f1x，y=f2x，且f1x，（4）由两曲线x=φ1(y)，x=φ2(y)，且φ1y,4-1、平面与直线★1、平面方程（1）平面一般式方程：Ax+By+Cz+D=0，法向量（2）平面点法式方程：A(x-x（3）特殊的平面方程①Ax+By+Cz=0②Ax+By+D=0③Ax+By=0④Cz+D=0表示垂直于z轴的平面方程★2、直线方程直线的标准式方程：x-x03、平面的位置关系设两平面π平面π（1）π1⊥（2）π1//4、两直线的位置关系设两直线l1、l2（1）l1⊥（2）l1//5、直线l与平面π的位置关系πl直线l//π直线l⊥π4-2、简单二次曲面★常见的二次曲面方程球面：x-a椭球面：x圆柱面：x椭圆柱面：x双曲柱面：x抛物柱面：x旋转抛物面：z=椭圆锥面：x

第五章、多元函数微分学★★5-1、多元函数偏导数与全微分1、含有两个及以上自变量的函数，如z=f(x,y)2、偏导数的求法对x求偏导，将函数中的y视为常数；对y求偏导，将函数中的x视为常数；3、二阶偏导数∂2Z∂x4、全微分dz=★5-2、二元函数的极值1、无条件极值二元函数的无条件极值的求法（1）求fxx,y，fy（2）对于每一个驻点xi,yi，求出二阶导数的值A=f（3）定出B2-AC的符号，判定点xi,yi是否是极值点，当B22、条件极值求二元函数fx,y在条件φ方法一：化条件极值为无条件极值（1）从条件c=0中，求出y的显函数形式y=ω（2）将y=ωx代入二元函数fx,y中，化为一元函数（3）求出一元函数f[x,ωx方法二：拉格朗日乘数法（1）构造拉格朗日函数F（2）由函数Fx,y,λFFF（3）解方程组，得驻点xi,yi,λ,则点x第六章、无穷级数6-1、数项级数概念与性质1、数项级数：给定一个无穷数列u1，u2、如果limx→∞Sn存在，称级数n=1∞un收敛3、两个常用级数（1）调和级数：n=1∞（2）等比级数：n=1∞aqn-1为等比数列（4、级数的运算性质（1）级数n=1∞un（2）若n=1∞un与（3）在级数n=1∞★5、级数收敛的必要条件：若n=1∞un6-2、正项级数1、若n=1∞un中每项2、p级数：形如n=1∞1np(p>0)3、比较判别法对于正项级数n=1∞un与（1）当n=1∞vn收敛时，n=1∞比较判别法的极限形式：limx→∞unvn适用场合：若n=1∞un4、比值判别法对于正项级数n=1∞un（1）当ρ<1时，n=1∞un收敛；（2）当（3）当ρ=1时，n=1∞适用场合：若n=1∞un的一般项6-3、任意项级数1、任意项级数：若n=1∞un2、交错级数：形如n=1∞(-1)3、绝对收敛和条件收敛对于任意项级数n=1∞un，如果如果n=1∞|un|发散，而原级数4、莱布尼茨判别法：若交错级数n=1∞(-1)n-1则n=1∞(-1)5、如果n=1∞|un★6、判定任意级数n=1∞（1）如果limx→∞un易求，首先看lim（2）判定n=1∞|un（3）若n=1∞|un|发散，判定（4）若n=1∞un6-4、幂级数1、幂级数：形如n=0∞an★2、收敛半径的求法对幂级数n=0∞an（1）若ρ≠0，则R=1ρ（2）若ρ=0，则R=+∞；（3）若ρ=+∞，则★3、收敛区间的求法（1）对标准型幂级数n=0∞anxn，首先求（2）对一般型幂级数n=0∞a（3）对标准型幂级数n=0∞an6-5、将初等函数展开为幂级数★1、常用的幂级数展开式（1）1（2）1（3）e（4）sin（5）cos（6）ln⁡(1+x)=（7）ln

第七章、常微分方程7-1、一阶微分方程1、相关概念（1）微分方程：凡表示函数y及其导数y'，y★（2）微分方程的阶：微分方程中函数导数的最高阶数称为该方程的阶。（3）微分方程的通解：如果微分方程的解中所含互相独立任意常数的个数与方程的阶数相同，则该解称为微分方程的通解。（4）特解：如果限定通解中任意常数为某一组固定常数得到的解称为该方程的特解。（5）可分离变量的微分方程：形如dydx2、一阶线性微分方程（1）形如y'+Pxy=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，所谓线性是指函数★（2）一阶线性齐次微分方程的通解公式：y=C★（3）一阶线性非齐次微分方程的通解公式：y=★★3、一阶微分方程的解法：（不同类型）（1）可分离变量的微分方程：分离变量两边积分得通解（2）一阶线性齐次微分方程解法方法一：化为可分离变量的方程求解方法二：公式法y=C（3）一阶线性非齐次微分方程解法方法一：常数变易法，先求齐次方程的通解，将齐次通解中的“C”变易为待定函数C(x)构造非齐次方程的解y=C(x)e-方法二：公式法y=方法三：积分因子法，将方程两边同乘以eP7-2、二阶常系数线性微分方程1、概念（1）