SPC学术研究之统计过程研究课件

统计过程控制StatisticalProcessControl何志奇编写统计过程控制StatisticalProcessCont第一单元绪论第一单元绪论产品质量的统计观点产品质量具有变异性(Variation)产品质量的变异具有统计规律性产品质量的统计观点产品质量具有变异性(Variation)产作好质量管理首先应明确：1贯彻预防原则是现代质量管理的核心与精髓；2质量管理科学有一个重要的特点，即对于质量管理所提出的原则、方针、目标都要有科学措施与科学方法来保证他们的实现。作好质量管理首先应明确：20年代美国W.A.休哈特首创过程控制理论以及监控过程的工具---控制图，现近统称之为SPC。利用统计技术对过程的各个阶段进行控制，及时预警，从而达到保证产品质量的目的。20年代美国W.A.休哈特首创过程控制.UCLLCLX●●●●●●●●●●世界上第一张控制图是休哈特1924年5月16日提出的不合格率P控制图时间或样本号统计数据.UCLLCLX●●●●●●●●●●世界上第一张控制图是休哈控制图的重要性

★是贯彻预防原则的SPC的重要工具，是质量管理七个工具的核心。

★1984年名古屋工业大学调查115家日本各行各业的中小型工厂，平均每家采用137张控制图；★柯达5000职工一共用了35000张控制图。★控制图的张数在某种意义上反映管理现代化的程度。控制图的重要性SPCSPDSPASPC：StatisticalProcessControlSPD：StatisticalProcessDiagnosisSPA：StatisticalProcessAdjustmentSPCSPDSPASPC：StatisticalProce为什么要推行SPC?1时代的要求：PPM管理、6SIGMA管理2科学的要求3认证的要求4外贸的要求为什么要推行SPC?统计过程控制●优质企业平均有73%(用SPC方法的)的过程Cpk超过1.33，低质企业只有45%过程达到Cpk=1.33。●Cpk>1.67的企业，平均销售收入增长率为11%以上，而其它企业的数据为4.4%。●一家企业用了三年的时间使废品率降低58%，其使用的方法：将使用SPC的过程比例由52%增加到68%。统计过程控制何时使用SPC●原则上,应该用于有数量特性或参数和持续性的所有工艺过程;●SPC使用的领域是大规模生产;●多数企业，SPC用于生产阶段;●在强调预防的企业，在开发阶段也用SPC。何时使用SPC第二单元统计学基础第二单元统计学基础●

什么是随机现象？→每次观察或试验，结果不确定。→大量重复观察或试验，结果呈现某种统计规律。●小组实验

→

讨论实验对象的性质，如黑棋频率有何趋势●两类随机变量→计数型变量(离散型)attributes→计量型变量(连续型)varibles●什么是随机现象？●两类随机变量随机性—什么是概率—随机性变异—系统性变异（非随机变异）—事件—事件集合概率P（A）=NA/N风险随机性概率的计算■乘法原则—与条件—互相独立—P(A与B)=P(A)P(B)

■加法原则—或条件—互相排斥—P(A或B)=P(A)+P(B)概率的计算■乘法原则■加法原则练习一、计算概率■某工序需经三道工序加工,假定各道工序彼此独立,其合格品详细分别是90%、95%、98%，三道工序之后为检验工序，假定检验工序可以检测出前三道工序中的缺陷。问：（1）整条线的合格品率是多少？（2）若在第1、2工序和第2、3工序增加两个检验点，此时整条线的合格率是多少？（3）根据上述计算可以得出什么结论？90%95%98%工序1工序2工序3练习一、计算概率■某工序需经三道工序加工,假定各道工序彼练习2计算概率若随意掷两个骰子，问1、共有多少种可能的结果出现？2、两个骰子的点数和有多少可能性？3、点数和出现的概率是多少？分别用小数和分数表示。采用下表会有助于计算练习2计算概率若随意掷两个骰子，问练习2计算概率（续）练习2计算概率（续）●随机变量的概率分布→计量型随机分布★正态分布：长度、重量、时间、强度、纯度、成分等；→计数型（离散型）随机分布★泊松分布：布匹上的疵点，商店的顾客；★二项分布：合格与不合格，性别，对与错；★超几何分布：

●随机变量的概率分布正态分布正态分布标准正态分布曲线标准正态分布曲线推断正态分布的参数

总体参数 样本统计量集中程度 μ Ｘ离散程度σs推断正态分布的参数两个离散分布■二项式分布—试验次数固定—每次试验相互独立—每次试验结果只有二个—每次试验概率保持不变Ｐ■泊松分布两个离散分布■二项式分布■平均数 （总体）（样本）（加权式）■中位数■众数■平均数 平均数的优、缺点优点

■概念容易被理解和接受。 ■一组数据只有一个平均数且组中每个数据的变化都会影响平均数。缺点■平均数受超常值的影响。■大量数据计算平均数较为繁琐。平均数的优、缺点优点 缺点中位数的优、缺点优点中位数不受超常值的影响。缺点需要对数据排序，对大样本将非常繁琐。中位数的优、缺点优点缺点众数的优缺点优点■众数不受超常值影响。■可应用于定性数据 。缺点■一组数据可能不存在众数。■有时一组数据会有一个以上的众数。众数的优缺点优点缺点数据的离散程度■极差R＝最大值－最小值＝Ｘmax－Ｘmin■方差(总体)(样本)■标准差(总体)(样本)数据的离散程度■极差R＝最大值－最小值＝Ｘmax－Ｘm举例：计算数据离散程度下式是计算方差的另一等价公式，带有统计功能的计算器在计算方差时一般使用该公式：

举例：计算数据离散程度下式是计算方差的举例：计算数据离散程度（续）举例：计算数据离散程度（续）举例：计算数据离散程度(续）举例：计算数据离散程度(续）计算样本标准差的步骤计算样本标准差的步骤计算样本标准差的步骤（续)步骤1、把样本数据排成一列放在第一列。2、计算样本均值X，并将X填入第二列 。3、计算Xi—X的值并填在第3列上。4、将第3列的数值求平方，填入对应的第4列。5、将第4列的数累加。6、将累积数除以n-1即为样本方差。7、对样本要求的平方根即是样本样准差。

计算样本标准差的步骤（续)步骤练习3计算均值和标准差下面的数据是一个样本中的8个观测值，求其极差（R)和标准差s（计算s可采用下表计算）。数据为：2.83.24.84.24.62.95.05.5练习3计算均值和标准差下面的数据是一个样本中的8个观测右偏态情形下分布集中程度与离散程度间的关系

众数中位数平均数右偏态情形下分布集中程度与离散程度间的关系众数中位数平均数左偏态分布下分布集中程度和离散程度间的关系

众数中位数平均数左偏态分布下分布集中程度和离散程度间的关系众数中位数平均数双峰分布下分布集中程度与离散程度间的关系双峰分布下分布集中程度与离散程度间的关系中心极限定理1、若X1,X2,…Xn是独立同分布的随机变量。

当n较大时逐于正态分布。2、均值（)分布的标准差3、均值（）分布的中心与总体分布中心相同。中心极限定理1、若X1,X2,…Xn是独立同分布的随机变样本均值的分布样本均值的分布练习4根据样本推断总体(续)1、假定工序中仅存在随即变异，计算该样本的均值（）和标准差（s)。可以根据下一页提供的步骤计算。2、由于时总体均值μ的估计，s时总体标准差σ的估计，在后一页提供的格纸上画出该工序的正态分布曲线，并标出μ，μ±σ，μ±2σ，μ±3σ所对应的值。提示：将方格纸长作为X轴，表示轴的直径。练习4根据样本推断总体(续)1、假定工序中仅存在随即变异练习4根据样本推断总体（续）练习4根据样本推断总体（续）绘制正态分布曲线绘制正态分布曲线曲线下的面积（概率）68.27%95.54%97.73%0.135%2.140%13.590%34.135%0.135%13.590%2.140%曲线下的面积（概率）68.27%95.54%97.73%0.正态曲线单侧的概率正态曲线单侧的概率计算标准正态Z值计算标准正态Z值SPC学术研究之统计过程研究课件SPC学术研究之统计过程研究课件45.15%45.15%95.44%95.44%11.04%11.04%0.37%0.37%确定工序的总变异确定工序的总变异确定工序的总变异(举例）

假定某工序质量特征值受三个因素影响:温度、压力和时间，无交互作用，若温度变化的标准差为l，而温度每变化l0F会导致质量特征值改变5个单位。即SyTemp=5。若压力变化的标准差为21bs/in2，并且压力变化会导致质量特征值变化2个单位，即Sypress=2。时间变化的标准差为3秒·且时间每变化3秒种会导致质量特征变化l个单位，所以SyTime=l，因此，质量特征值的总变异：确定工序的总变异(举例）假定某工序质确定工序的总变异(举例）温度—RedX（主要变异来源）。压力—PinkX（次要变异来源）。时间—影响最小的因素。确定工序的总变异(举例）练习6确定主要的变异（RedX)假定一装配过程需要将A、B、C三个零件首位接连装配在一起，已知每个零件长度的标准差：零件A：σA=1零件B：σB=4零件C：σC=31、那个零件是主要变异（RedX)？那个零件是次主要变异（PinkX)？那个零件的变异影响最小？练习6确定主要的变异（RedX)假定一装配过程需要将A练习6确定主要的变异(RedX)(续)1、给定上述标准差，工序总变异(σtotal)是多少?2、若主要变异得以控制，其标准差减少了一半，此时总变异是多少?3、若将主要变异来源彻底根除，此时总变异又是多少?4、若影响最小的变异来源被彻底根除，总变异是多少？5、根据上述计算，你能得到什么结论?练习6确定主要的变异(RedX)(续)1、给定上述标准差随机抽样随机抽样的应用—总体数量大—破坏性检验—抽样检验费用高、时间长—检验项目多—工序控制随机抽样有关概率论和数理统计的知识●抽样检验

母体样本数据结论抽样测试分析行动有关概率论和数理统计的知识母体样本数据结论抽样测试第三单元计量值控制图第三单元计量值控制图什么是计量值控制图？

工序质量的两种变异随机性变异系统性变异控制图是通过样本观测值以图的形式检测工序是否存在系统性原因的一种方法什么是计量值控制图？工序质量的两种变异什么是计量值控制图？工序质量特征值在仅仅受到随机性因素影响时应服从正态分布，反应正态分布特征的参数有两个：μ和σ，因而控制工序的波动就需要同时监测μ和σ的变化，这就是我们为什么经常使用-R图的原因。通过图监测工序均值的变化，通过R图监测工序分布标准差的变化。什么是计量值控制图？工序质量特征值在仅仅受到随机性因素影响时控制图的作用及时发现工序过程中所出现的系统性变异确定是否工序质量水平得以改进维持并不断改善现有工序质量水平控制图的作用及时发现工序过程中所出现的系统性变异控制图可以达到的效果降低质量成本(包括废品、返修品等)提高工序质量帮助工程师更清楚地了解工序过程的变化减少质量问题控制图可以达到的效果降低质量成本(包括废品、返修品等)控制图的构成要素垂直轴----代表质量特征值水平轴----代表按时间顺序抽取得样本号中心线（CL）对图而言，中心线CL即为各样本均值(i)的平均（）上下控制线（UCL和LCL)对图来说，上下控制线到中心线的距离3σ注意：控制图的构成要素垂直轴----代表质量特征值控制图的构成要素控制图的构成要素控制图示列控制图示列控制图示列控制图示列控制图的应用步骤◆1、选择需控制的产品质量特征值◆2、确定抽样方案◆3、搜集数据◆4、确定中心线和上下控制限◆5、绘制和R控制图确定抽样方案◆6、描点,必要时重新计算中心线和上下控制限控制图的应用步骤◆1、选择需控制的产品质量特征值步骤一、选择需控制的产品质量特征值◆所控制的产品质量特征值为计量值◆所控制的产品质量特征为关键质量特征◆若关键质量特征不可测量，采用其它代用质量特征进行控制时，一定要确认代用质量特征与关键质量特征密切相关◆测量系统精度应能达到要求步骤一、选择需控制的产品质量特征值◆所控制的产品质量特征值为步骤二、确定抽样方案◆1、确定样本含量N采用-R控制图，样本含量一般取n=5◆2、确定抽样方式—定期法—即时法一般采用即时法。步骤二、确定抽样方案◆1、确定样本含量N步骤二、确定抽样方案（续）◆3、确定抽样间隔期确定抽样间隔应考虑的因素—工序稳定性—抽样时间及成本因素—工序能力指数—工序调整周期一般在两次相邻的工序调整之间要抽取20—24个样本*当n≥10时，此时用R/d2作为对σ的估计，误差较大，此时一般选用-S控制图代替-R图。步骤二、确定抽样方案（续）◆3、确定抽样间隔期即时法与定期法之比较即时法◆极小化样本内差异◆极大化样本间差◆可提供性原因出现的具体时间◆对工序变异敏感◆样本是齐同性的定期法◆极大化样本差异◆极小化样本间差异◆只能提供系统性原因出现的时间段◆或许在某些特定工序下适用◆难以形成齐同性样本即时法与定期法之比较即时法定期法步骤3收集数据◆若初始建立控制图，至少要抽取100个以上的数据，若样本含量N=5，则至少要抽20个样本◆数据必须是最新的，能确切反映当前的工序水平◆抽样时必须记录数据采集日期、时间、采集人等信息24样本均值分布898642◆抽样必须是随机的步骤3收集数据◆若初始建立控制图，至少要抽取100个以上控制图收集数据表格样本号（1）日期/时间样本观测值合计样本均值样本极差(R)X1X2X3X4X513/128:00AM23/128:30AM33/129:00AM……………………………………………………1920总计数据记录一般格式控制图收集数据表格样本号（1）日期/时间样本观测值合计样本均步骤4确定中心线和控制限图：步骤4确定中心线和控制限图：步骤4确定中心线和控制限（续）R图d2、d3、A2、D3、D4、均为与样本含量有关的常数，可查表。步骤4确定中心线和控制限（续）R图控制限系数表控制限系数表控制限系数表（续）控制限系数表（续）============-R图控制线计算表（续）

必要时重新计算-R图控制线计算表（续）SPC学术研究之统计过程研究课件SPC学术研究之统计过程研究课件◆在给定的—R控制图上，根据所计算出的图和R图的控限，选定垂直轴上最小区间单位所表示数据量，并在垂直轴上标明数据。请注意：在绘制控制限时，控制限（UCL和LCL之间）的距离不应太大，也不应太小。距离太大，当有些数据点超出控制限时无法表示；距离太小，描点和分析时会比较困难。步骤5绘制-R控制限◆在给定的—R控制图上，根据所计算出的图和R图的控步骤5绘制-R控制限

在给定的—R控制图上，根据所计算出的图和R图的控限，选定垂直轴上最小区间单位所表示数据量，并在垂直轴上标明数据。请注意：在绘制控制限时，控制限（UCL和LCL之间）的距离不应太大，也不应太小。距离太大，当有些数据点超出控制限时无法表示；距离太小，描点和分析时会比较困难。步骤5绘制-R控制限在给定步骤6描点，并且在必要时

重新计算控制限若初始建立控制图，须将样本的X和R描在控制图上，以验证工序是否处于统计受控状态。如果描点后发现有的点超出控制限，这表明工序可能处于失控状态，首先应分析是否存在系统性原因，若找到了系统性原因，应将该数据点删除，然后重新计算控制限。步骤6描点，并且在必要时

重新计算控制限若初始建立控制图控制限的变更问题

控制限的变更原则:-当工序有明显改进时（可通过t检验、F检验或X2检验，确认原因。重新计算控制限：当工序变劣时，确认原因，解决问题，不能重新计算控制限，控制限的变更问题控制限的变更原则:根据控制图分析工序能力根据控制图分析工序能力（12）控制图制作及应用程序图完成准备工作收集数据选择刻度画图计算试验控制限将中心线和控制限画出是否需要重新采取数据？是否有特殊原因变差？能力指数是否满足要求？分析控制图计算能力指数保持和改进减少普通原因变差YYNNNY（12）控制图制作及应用程序图完成准备工作收集数据选择刻度控制图●收集数据连续生产抽取五个零件作为样本检查五个零件，并进行评价？继续生产Yes采取措施(与班组长商议)No控制图连续生产抽取五个零件作为样本检查五个零件，并进行评价？控制图→控制图的不断重复的程序收集数据实施控制分析改进控制图收集实施分析练习4建立控制图下面是采用控制图表格搜集的某工序数据，要求：1、计算-R图的控制限并绘图，描点2、分析工序是否处于受控状态。练习4建立控制图下面是采用控制图表格搜集的某工序数据，要练习4建立控制图(续)练习4建立控制图(续)练习4建立控制图(续)练习4建立控制图(续)第四单元计数值控制图第四单元计数值控制图计数值数据

计件值数据（不合格品）计点值数据（缺陷）计数值数据计件值数据计数值控制图的类型◆不合格品率控制图（P图）◆不合格品数控制图（np图）◆缺陷数控制图（c图）◆单位缺陷（DPU）控制图（u图）计数值控制图的类型◆不合格品率控制图（P图）计数值控制图的步骤1、确定控制的属性。2、确定抽要方案3、搜集数据4、计算中心线和控制限5、绘制控制图6、描点，并在必要的情况下重新计算中心线和控制限计数值控制图的步骤1、确定控制的属性。不合格品率控制图——P图步骤1确定控制的属性若控制的属性是不合格品率，可采用P图步骤2确定抽样方案◎样本含量n应足够大，满足n≥5◎若初始建立控制图，应至少抽25组样本步骤3搜集数据搜集原始数据的表格应包括以下四列：◎样本号◎样本含量（n）◎样本中的不合格品数◎样本不合格品率不合格品率控制图——P图步骤1确定控制的属性不合格品率控制图—P图（续）不合格品率控制图—P图（续）不合格品率控制图—P图（续）不合格品率控制图—P图（续）不合格品率控制图—P图（续）步骤４计算中心线和控制限不合格品率控制图—P图（续）步骤４计算中心线和控制限不合格品率控制图—P图（续）不合格品率控制图—P图（续）不合格品率控制图—P图（续）不合格品率控制图—P图（续）练习１绘制ｐ控制图根据前面我们所计算的印刷电路板不合格品率控制的中心线和上下控制限，绘制ｐ图Ｐ＝0.018UCL=0.041LCL=0.000练习１绘制ｐ控制图根据前面我们所计算的印刷电路板不合格品率不合格品率控制图—P图（续）不合格品率控制图—P图（续）P图上描点和分析P图上描点和分析不合格品率控制图—P图（续）不合格品率控制图—P图（续）样本含量不等时ｐ图

控制线的建立问题样本含量不等时ｐ图

控制线的建立问题不合格品率控制图—ｎｐ图不合格品率控制图—ｎｐ图不合格品率控制图—ｎｐ图（续）不合格品率控制图—ｎｐ图（续）不合格品率控制图—ｎｐ图（续）不合格品率控制图—ｎｐ图（续）不合格品率控制图—ｎｐ图（续）不合格品率控制图—ｎｐ图（续）缺陷数控制图－ｃ图缺陷数控制图－ｃ图Ｃ图的中心线和控制线Ｃ图的中心线和控制线单位缺陷控制图－－ｕ图单位缺陷控制图－－ｕ图Ｕ图的中心线和控制限Ｕ图的中心线和控制限Ｃ图示例：Ｃ图示例：Ｕ图示例：Ｕ图示例：练习３选择控制图的类型练习３选择控制图的类型SPC学术研究之统计过程研究课件练习３选择控制图的类型（续）练习３选择控制图的类型（续）练习３选择控制图的类型（续）练习３选择控制图的类型（续）

●控制图的分类及选用→计量型数据控制图分类●控制图的分类及选用计量型控制图的计算公式归纳x2Xi注：系数D4、D3、B4、B3、A2、A3、A2、E2、d2、c4见附表1。计量型控制图的计算公式归纳x2Xi→计数型数据控制图分类→计数型数据控制图分类计数型控制图的计算公式归纳

计数型控制图的计算公式归纳2.10常见控制图2.10常见控制图控制图有关系数(n—子组容量）控制图有关系数(n—子组容量）.确定要制定控制图的特性性质上是否是均匀或不能按子组取样一例如:化学槽液批量油漆等?是计量型数据吗?使用单值图X_MR关心的是不合格品率_即“坏”零件的百分比吗?样本容量是否恒定?使用nP或P图

子组容量是否大于或等于9?是否能方便地计算每个子组的S值?使用X_S图

关心的是不合格品率即单位零件的不合格数吗?使用P图使用C或μ图

样本容量是否恒定?子组均值是否能很方便地计算?使用中位数图使用X_R图使用X_R图否否否否使用μ图是是否否是是是否否.确定要制定性质上是是计量型使用单值图X_MR关心的样本容量第四单元控制图的判断第四单元控制图的判断目标值线预测时间目标值线尺寸时间？→两种变差原因及两种过程状态(1)两种性质的变差原因如果仅存在变差的普通原因,随着时间的推移,过程的输出形成一个稳定的分布并可预测如果存在变差的特殊原因，随着时间的推移，过程的输出不稳定目标值线预测时间目标值线尺寸时间？→两种变差原因及两种过程状→普通原因：★产生随时间的变化而稳定分布的变差原因。※它是一种过程固有的原因，始终存在；※当过程输出的变差只存在普通原因时，过程是统计受控的，其分布是可预测的，称其过程处于“统计受控状态”，简称受控；※影响被研究过程输出的所有单值；※在控制图分析中，表现为随机变差的一部分。→普通原因：→特殊原因：★引起过程输出特性分布发生变化的原因，※它是一种非固有的原因；※特殊原因存在时，过程处于不稳定状态，其输出的分布是不可预测的；※在控制图中，存在超过控制线的点或控制线内的连续变化趋势。→特殊原因：统计过程控制●两种过程状态仅存在普通原因变差分布稳定的过程是可预测的过程是统计受控的存在特殊原因变差过程是不可预测的分布不稳定的过程是不受控的统计过程控制仅存在普通原因变差分布稳定的过程是可预测的过程是●两种控制措施

系统措施——通常用来减少变差的普通原因——通常要求管理层的措施——工业经验，约占过程措施的85%

局部措施——通常用消除变差的特殊原因——通常由与现场有关的人员解决——工业经验，约占过程措施的15%●两种控制措施系统措施局部措施偶因偶波对质量影响小过程固有，难以除去听之任之异因异波对质量影响大非过程固有，不难除去过程注意的对象两种质量因素及其不同的对待策略偶因偶波对质量影响小听之任之异因异波对质量影响大过程注意的对质因偶因控制图检出偏离典型分布偶波异因典型分布偶波如何发现异波的到来质因偶因控制图检出偏离典型分布偶波异因典型分布偶波如何发现异μ+3σμ+3σμ-3σμ-3σμμUCLLCLCL●●时间T控制图的形成μ+3σμ+3σμ-3σμ-3σμμUCLLCLCL2.103α方式的公式利用3δ方式构造的常规控制图的控制界限为：UCL=μ+3δCL=μUCL=μ-3δ其中μ用稳态下大样本的平均值来近似估计，δ用稳态下样本的标准差s来估计。2.103α方式的公式利用3δ方式构造的常规控制图两种错误虚发警报和漏发警报αβ两种错误αβ间距间距ααββ错误不可避免使两种错误造成的总损失最小确定间距经验证明休哈特提出的3α方式最好间距间距ααββ错误不可避免使两种错误造成确定经验证明休哈特休哈特的设计思想休图将α设定为0.27%，β值较大，需要增加判异准则：界内点排列不随机就判异。使用者信心α=α0=0.27%β1点出界就判异2β大，界内点排列不随机判异休哈特的设计思想使用者α=α0=0.27%β1点出解释控制图判定工序处于统计受控状态的标准：所有点皆在控制限内，并且大多数点位于中心线附近，并且点的排列不存在缺陷（非随机性排列）判定工序失控的标准：点在控制限上或超出了控制限，或点虽未超出控制限，但点的分布与排列有缺陷。解释控制图判定工序处于统计受控状态的标准：判稳准则1连续25个点，界外点数d=0；2连续35个点，界外点数d≤1;3连续100个点，界外点数d≤2；判稳准则判异准则1点出界就判异2界内点排列不随机判异判异准则图的区域划分及四种检测X图的区域划分“A‘区+3σ“B”区+2σ“C”区+1σ"C"区-1σ"A"区-3σ"B"区-2σ中心线UCLLCL图的区域划分及四种检测X图的区域划分“A‘区图的区域划分及四种检测（续）检测1、点超出了控制限图的区域划分及四种检测（续）检测1、点超出了控制图的区域划分及四种检测（续）检测2、连续三点中有两点在A区或Ａ区以外。图的区域划分及四种检测（续）检测2、连续三点中有

图的区域划分及四种检测（续）检测３、连续５点中有４点在Ｂ区或Ｂ区以外。图的区域划分及四种检测（续）检测３、连续５点中有

图的区域划分及四种检测（续）检测４、连续８点中有７点落在单侧（区域Ｃ以外）图的区域划分及四种检测（续）检测４、连续８点中有图的区域划分及四种检测（续）连续3点中有2点落在本区或以上+2σ中心线UCLLCL一个点超出UCL+3σ连续5点中有4点落在本区或以上+1σ连续8点中有7点落在本区或以上

连续8点中有7点落在本区或以下-1σ连续5点中有4点落在本区或以下-2σ连续3点中有2点落在本区或以下–3σ一个点超出LCL图的区域划分及四种检测（续）连续3点中有2点落在其他几种缺陷UCLLCLR失控1周期性变化其他几种缺陷UCLLCLR失控1周期性变化其他几种缺陷（续）其他几种缺陷（续）其他几种缺陷（续）UCLLCLR2倾向：连续六点或连续10点中有八点趋势相同失控其他几种缺陷（续）UCLLCLR2倾向：连续六点或连续10其他几种缺陷（续）其他几种缺陷（续）其他几种缺陷（续）其他几种缺陷（续）其他几种缺陷（续）其他几种缺陷（续）其他几种缺陷（续）其他几种缺陷（续）其他几种缺陷（续）其他几种缺陷（续）SPC学术研究之统计过程研究课件其他几种缺陷（续）其他几种缺陷（续）其他几种缺陷（续）其他几种缺陷（续）其他几种缺陷（续）其他几种缺陷（续）计数值控制图的观察分析■倾向计数值控制图的观察分析■倾向计数值控制图的观察分析(续）■周期计数值控制图的观察分析(续）■周期计数值控制图的观察分析(续）超常值计数值控制图的观察分析(续）超常值计数值控制图的观察分析(续）不稳定计数值控制图的观察分析(续）不稳定计数值控制图的观察分析(续）大量样本点靠近上控制限计数值控制图的观察分析(续）大量样本点靠近上控制限练习５分析控制图练习５分析控制图第五单元过程能力与SIXSIGMA第五单元过程能力与SIXSIGMA什么是工序能力？影响工序质量的六个基本因素（6M）人（Manpower）机器（Machinery）材料（Material）方法（Method）测量（Measurement）环境（Mother—natured）什么是工序能力？影响工序质量的六个基本因素（6M）什么是工序能力？（续）1、6M所导致的变异有两类：—随机性变异—系统性变异（非随机性变异）2、若工序仅受随机性因素的影响，一般情况下，质量特征值服从正态分布（中心极限定理），如下图所示：什么是工序能力？（续）1、6M所导致的变异有两类：什么是工序能力？（续）什么是工序能力？（续）什么是工序能力？（续）工序能力=B=±3σ=±3S什么是工序能力？（续）工序能力=B=±3σ=±3S分析工序能力的步骤1、确定样本含量(n)2、确定合理的抽样方案3、抽样4、记录数据5、绘制直方图6、检查数据的正态性7、检查是否存在系统性因素8、计算工序能力9、计算工序能力指数Cp,Cpk。分析工序能力的步骤1、确定样本含量(n)样本含量与工序能力1、进行工序能力分析时，一般随机抽样的样本含量在100—200之间。2、若样本含量太小，一方面不易判定数据分布的正态性，另一方面，所计算的工序能力与实际工序能力的差别会较大。一般仅在破坏性检验或抽样费用高、抽样时间长的情况下使用小样本。3、无论样本含量大小，抽样应是随机的。4、样本应能捕获主要的随机性变异。样本含量与工序能力1、进行工序能力分析时，一般随机抽样的样本合理的抽样方案1、一个合理的抽样应能捕获工序过程的随机性变异2、一个合理的抽样不应有系统性变异抽样时应注意记录以下几点：1、谁测量的数据？2、测量仪器是否被校准？3、搜集数据后工序是否有变化？4、对影响工序输出的关键影响因素所发生的变化是否做了记录？5、数据搜集的时间、工序、目的、抽样方式。合理的抽样方案1、一个合理的抽样应能捕获工序过程的随机性变异多变异分析三种类型的变异-产品内变异-产品间变异-时间变异多变异分析是确定合理抽样方案的分析工具，通过多变异分析，可以发现主要的变异来源，保证抽样能捕获主要的随机性变异。多变异分析三种类型的变异多变异图的绘制按以下步骤进行1、绘制x轴和Y轴。Y轴表示质量特征值:x轴表示按时间抽取的样品号。按不同时间点分成区域，并在每个区域的x轴上标上样品号。2、从第一个时间点抽取的第一个样品开始，在x轴上找到所对应的点，根据一个样品上的几个测量值的最大值和最小值绘制出垂直的线条图，并析出其平均值，直到将所有样品的线条都绘制出来。多变异图的绘制按以下步骤进行1、绘制x轴和Y轴。Y轴表示质量多变异图的绘制按以下步骤进行（续）3、将相邻两个样品的均值一一连接起来，样品间均值的波动表示产品间变异，各样品线条的高度表示产品内变异。4、分别、计算各时间点样本观测值的均值，并Y轴上找到对应数值绘制一条水平线，表示该时间点的平均值，各时间点均值之差别，即时间变异。5、标明多变异图的数据来源、绘制目的、时间、采样人、绘制人等信息。多变异图的绘制按以下步骤进行（续）3、将相邻两个样品的均值一多变异分析举例某轴承车削工序加工的轴直径存在波动，为了分析波动来源，做了多变异分析，质量工程师们选择了三个时间点，8:00AM、l0:00AM、12:00AM，每个时间点连续抽取3根轴，又从每根轴上分别选了3个测量点(两端和中间)，其测量结果如下页表:多变异分析举例某轴承车削工序加工的轴直径存在波动，为了分析多变异分析举例（续）时间8:00AM10:00AM12:00AM样品位置123123123左端中点右端18.518.618.418.218.318.318.518.418.418.318.118.318.418.518.618.218.418.518.218.218.118.418.318.218.318.418.5均值18.5018.2718.4318.2318.5018.3718.1718.3018.40组平均18.4018.3718.29多变异分析举例（续）时间8:00AM10:00AM12:00SPC学术研究之统计过程研究课件根据多变异分析确定合理的抽样方案产品内测量点的个数(a):若存在产品内变异，则每个产品至少测2点:若产品内变异较大，可适当增加测量点数，一般取3~5个测量点。一次抽取的产品个数(b):至少3个以上·若产品间变异较大、一般抽10~20，甚至更多。根据多变异分析确定合理的抽样方案产品内测量点的个数(a):若根据多变异分析确定合理的抽样方案（续）抽样的时间点数(k):一般3个以上，若抽样的目的是为了研究变异来源，则可以多取几个时间点:若进行工序能力分析，一般时间点不宜太多，时间跨度不宜太长，否则抽样过程中易受系统性原因的影响。另外，如果多变异分析结果表明时间变异较大，说明工序不稳定，应分析是否存在系统性原因，在消除系统性原因后重新抽样。样本含量=a×b×k根据多变异分析确定合理的抽样方案（续）抽样的时间点数(k):练习1绘制多变异图某锡桨印刷工序需控制PCB板上的锡浆高度，为了研究锡桨高度的变异情况，做了如下的多变异分析:从每块PCB板上选取5个测量点，测量其锡桨高度。选择了8:00AM、10:00AM、12:00AM三个时间点，每个时间点连续抽取三块PCB板。测量结果如下表，请绘制多变异分析图。练习1绘制多变异图某锡桨印刷工序需控制PCB板上的锡浆高绘制多变异图（续）时间8:00AM10:00AM12:00AM样品位置123123123123456.46.36.26.26.36.26.56.36.46.46.36.36.46.56.56.46.46.56.26.26.36.36.26.16.06.26.46.56.26.36.56.66.66.56.56.66.46.26.26.16.26.36.46.56.5均值6.286.366.406.346.186.326.546.306.38组平均6.356.286.41绘制多变异图（续）时间8:00AM10:00AM12:00A数据分布的正态性检验检验数据正态性的方法直方图正态概率纸X2检验*Shapiro-wilk检验**有关Shapiro-wilk检验可参加Mu课程QUA378(工序能力)的学习。*有关X2检验可参阅某些统计学书籍由于时间关系，本课程不介绍才X2检验和Shapiro-wilk检验数据分布的正态性检验检验数据正态性的方法根据直方图判断是否为正态分布根据直方图判断是否为正态分布几种非正态分布的直方图几种非正态分布的直方图几种非正态分布的直方图（续）几种非正态分布的直方图（续）几种非正态分布的直方图（续）几种非正态分布的直方图（续）几种非正态分布的直方图（续）几种非正态分布的直方图（续）几种非正态分布的直方图（续）几种非正态分布的直方图（续）几种非正态分布的直方图（续）几种非正态分布的直方图（续）非正态数据下工序能力■若数据呈非正态分布，首先应查找工序中是否存在系统性原因，很多情况下，非正态性是由于系统性原因造成的。若一旦发现了系统性原因，应采取措施，将由于系统性原因产生的数据删除，或将系统性原因排除后，重新搜集数据。■若非正态性是由于工艺过程中特殊的工艺特点造成的，应考虑将非正态数据转化为正态，此时公差也要做同等转化。几种将非正态数据转化为正态的方法:非正态数据下工序能力■若数据呈非正态分布，首先应查找工序非正态数据下工序能力（续）1、倒数转换：2、平方根转移：3、立方根转换：4、对数转换：logx或lnx5、BOX—COX转换*非正态数据下工序能力（续）1、倒数转换：非正态分布---右偏态分布可能原因：几种可能原因:◆控制了公差下限◆左侧某些数据被遗弃(或样本被故意抛弃)◆工序分布右偏(如由于刀具、夹具等的磨损)◆工艺过程的特殊性若右偏态是由于工艺本身特殊性造成的,可依次尝试以下转换：（3）、logx或lnx非正态分布---右偏态分布可能原因：若右偏态是由于工艺本身特非正态分布---左偏态分布几种可能原因:◆控制了公差上限◆右侧某些数据被遗弃（或样要被故意抛弃）◆工序分布左偏(如由于刀具、夹具等的磨损)◆工艺过程的特殊性若右偏态是由于工艺本身特殊性造成的,可依次尝试以下转换：（3）、logx或lnx非正态分布---左偏态分布几种可能原因:若右偏态是由于工艺本非正态分布---双峰形分布造成双峰型分布的几种可能原因◆混料◆抽样方案不合理：抽样时将两个不同的生产线、或两个班组或两种材料或两种工艺的样本放在一起。◆抽样间隔太长，而工艺又不稳定◆如果是供应商来料的抽样数据，则很可能是由于供应商事先做了分检。◆正常的生产过程一般不会造成双峰分布，因此，如果数据出现双峰分布，应立即调查原因。非正态分布---双峰形分布造成双峰型分布的几种可能原因◆抽样非正态分布---扁平型几种可能原因:◆工序参数调整误差大，且频繁调整◆工序波动大◆机器（或刀具、夹具）出现严重磨损，影响了精度◆特殊的工艺过程非正态分布---扁平型几种可能原因:非正态分布---尾部被切除◆样本数据中超公差部分被遗弃◆仅从合格产品中抽样◆抽样不合理，如样本含量太小◆一旦发现这种分布，应立即调查原因非正态分布---尾部被切除◆样本数据中超公差部分被遗弃工序能力指数Cp和Cpk工序能力指数Cp和Cpk单测公差下的工序能力指数Cpu和Cpl单测公差下的工序能力指数Cpu和Cpl单测公差下的

工序能力指数Cpu和Cpl(续）单测公差下的

工序能力指数Cpu和Cpl(续）Cpk的计算1、只有右单侧公差USL：Cpk=Cpu。2、只有左单侧公差LSL：Cpk=Cpl3、双侧公差：Cpk=Min(Cpu,Cpl)Cpk的计算1、只有右单侧公差USL：Cpk=Cpu。Cpk的计算(续)μ公差中心LSLUSL△Cpk的计算(续)μ公差中心LSLUSL△Cpk的计算(续)Cpk的计算(续)练习3计算Cp和Cpk对以下三种情况分别计算Cp和Cpk公差要求工序公差中心公差均值标准差CpCpk115±0.0214.9900.005210±0.039.980.0138±0.28.050.04练习3计算Cp和Cpk对以下三种情况分别计算Cp和Cpk摩托罗拉Cp和Cpk的目标LSLUSL△=1.5σμμ0Cp≥2.0Cpk≥1.5公差范围在±6σ或±6σ之外DPMO≤3.44摩托罗拉Cp和Cpk的目标LSLUSL△=1.5σμμ0Cp摩托罗拉Cp和Cpk的目标（续）摩托罗拉Cp和Cpk的目标（续）计数值数据工序能力的分析◆有些工序过程,其输出不能用计量值数据来衡量,工序质量的判定是依据是否存在缺陷极缺陷的多少来衡量。◆举例：在某PCB板插件工序上抽取了200块PCB板，发现共有50个缺陷，因此：DPU=50/200=0.25计数值数据工序能力的分析◆有些工序过程,其输出不能用计量值数计数值数据工序能力的分析(续)◆DPU是能反映出工序质量的高低，但它不能表示工序相对质量的高低。如同样是在PCB板上插上件的工序，A工序需插100个件，而B工序只需插10个件。若DPUA=0.1，DPUB=0.05，然而并不能简单在说，B工序质量水平高于A工序，为了使工序间具有可比性，定义计数值数据工序能力的分析(续)◆DPU是能反映出工序质量的高计数值数据工序能力的分析(续)◆应根据其具体工艺过程确定单位产品上出现缺陷的机会，一般来讲，缺陷机会应包括零件数和每道工序的操作数。如前例中A工序需插100个件，每插一个件需一个操作。缺陷机会数为200；而B工序的缺陷机全为20个。

◆因此，A工序质量水平高于计数值数据工序能力的分析(续)◆应根据其具体工艺过程确定单位摩托罗拉对DPMO的要求计算DPMO应注意的问题：1、工序过程应处于受控状态，即工序中不应出现系统性原因导致的缺陷2、样本含量要充分大3、对缺陷机会的定义要明确并有意义DPMO≤3.4摩托罗拉对DPMO的要求DPMO≤3.4统计过程控制●典型的能力指数Cpk与PPM关系统计过程控制统计过程控制●能力指数与性能指数统计过程控制1.5sigmashift03.0-3.06.0-6.0LSLUSL3.4PPMA6sigmaprocesswithtypical1.5sigmashift1.5sigmashift03.0-3.06.0-6.0LSigma—DPMOp,Cp,Cpk,ConversionTableSigmaDPMOpCpCpk3.0668071.000.503.5227501.170.674.062101.330.834.513501.501.005.0232.71.671.175.531.71.831.336.03.42.001.50Sigma—DPMOp,Cp,Cpk,Conversi第七单元统计过程控制第七单元统计过程控制

共同工作以产生输出的供方、生产者、人、设备、输入材料、方法和环境以及使用输出的顾客之集合。

应用统计技术对过程进行控制，以预防不合格的产品或服务产生，减少浪费和对过程进行持续改进的技术。统计过程控制共同工作以产生输出的供方、生产者、人、设备、输入●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●一类过程二类过程四类过程三类过程●●四类过程●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●一类过程二类过程四●四类过程及对策●四类过程及对策统计过程控制●按过程是否受控及过程特性是否满足技术规范要求(即是否可接受)，分为四类：I类：理想过程，过程受控又满足技术规范要求；

II类：过程受控，不满足技术规范要求，必须降低普通原因造成的过大的变差；

III类：过程可接受，但存在特殊原因的变差，要找出特殊原因并消除，只有在个别情况下，如特殊原因已查明，并具有一定的稳定性，消除措施成本过大，顾客特允时可以保留；IV类：即不受控又不可接受，应采取措施，消除变差的特殊原因和降低普通原因的变差。统计过程控制●两种过程控制模型和控制策略→缺陷检测过程模型

４Ｍ１Ｅ过程检验报废或返工产品／服务顾客是否合格否控制策略：控制输出事后把关●两种过程控制模型和控制策略４Ｍ１Ｅ过程检验报废或返工产品／→具有反馈的过程控制模型

。统计方法过程４Ｍ１Ｅ顾客识别变化的需求与期望产品／服务顾客的呼声过程呼声控制策略：控制过程，预防缺陷→具有反馈的过程控制模型统计方法过程４Ｍ１Ｅ顾客识别变化产品统计过程控制→两种模型的比较统计过程控制统计过程控制

●两种质量观目标值产品特性剔除不合格剔除不合格ABC坏好坏ABC无损失损失目标值损失函数产品特性统计过程控制目标值产品特性剔除剔除.统计过程控制.统计过程控制统计过程控制●过程控制要点◆属于系统的问题不要去责难现场人员，要由系统采取措施（理解什么是“控制不足”）。◆属于局部的问题也不要轻易采取系统措施（理解什么是“过度控制”）。◆考虑经济因素，做出合理的决定。◆过程控制系统应能提供正确的统计信息。◆有用的特殊原因变差，应该保留。统计过程控制●对不同性质的变差原因采取正确措施；→利用控制图等技术找出变差的特殊原因和普通原因→首先要采取措施消除变差的特殊原因，它通常由该过程的直接操作人员和现场管理人员来解决。→在消除特殊原因之后，若过程不能满足技术规范要求，则可采取以下途径：

◆将特性的均值与技术规范的中心值调整一致。◆对系统直接采取措施，降低普通原因造成的变差；

◆当上述措施成本过高，应考虑放宽技术规范的可能性。→解决普通原因的变差问题，通常要由负责系统的管理人员和技术人员来研究实施。●对不同性质的变差原因采取正确措施；统计过程控制●SPC的三个目标√达到统计受控状态√维持统计受控状态√改进过程能力统计过程控制统计过程控制

●持续改进过程循环持续改进过程循环的各个阶段1.分析过程2.维护过程本过程应做些什么?监控过程性能会出现什么错误?查找偏差的特殊本过程正在做什么?原因并采取措施达到统计控制状态?确定能力3.改进过程改变过程从而更好地理解普通原因变差减少普通原因变差计划措施计划计划措施措施实施研究实施实施研究研究统计过程控制计划措施计划计划措施措施实施研究实施实施研究研究统计过程控制●过程改进在过程受控且满足技术规范要求后，除监控与保持外，还应进行“持续改进”活动，其目的是：

进一步减少普通原因造成的变差，不断提高产品质量，向“世界级”水平前进，同时寻找降低成本，减少浪费，提高产品和服务的竞争力。统计过程控制统计过程控制StatisticalProcessControl何志奇编写统计过程控制StatisticalProcessCont第一单元绪论第一单元绪论产品质量的统计观点产品质量具有变异性(Variation)产品质量的变异具有统计规律性产品质量的统计观点产品质量具有变异性(Variation)产作好质量管理首先应明确：1贯彻预防原则是现代质量管理的核心与精髓；2质量管理科学有一个重要的特点，即对于质量管理所提出的原则、方针、目标都要有科学措施与科学方法来保证他们的实现。作好质量管理首先应明确：20年代美国W.A.休哈特首创过程控制理论以及监控过程的工具---控制图，现近统称之为SPC。利用统计技术对过程的各个阶段进行控制，及时预警，从而达到保证产品质量的目的。20年代美国W.A.休哈特首创过程控制.UCLLCLX●●●●●●●●●●世界上第一张控制图是休哈特1924年5月16日提出的不合格率P控制图时间或样本号统计数据.UCLLCLX●●●●●●●●●●世界上第一张控制图是休哈控制图的重要性

★是贯彻预防原则的SPC的重要工具，是质量管理七个工具的核心。

★1984年名古屋工业大学调查115家日本各行各业的中小型工厂，平均每家采用137张控制图；★柯达5000职工一共用了35000张控制图。★控制图的张数在某种意义上反映管理现代化的程度。控制图的重要性SPCSPDSPASPC：StatisticalProcessControlSPD：StatisticalProcessDiagnosisSPA：StatisticalProcessAdjustmentSPCSPDSPASPC：StatisticalProce为什么要推行SPC?1时代的要求：PPM管理、6SIGMA管理2科学的要求3认证的要求4外贸的要求为什么要推行SPC?统计过程控制●优质企业平均有73%(用SPC方法的)的过程Cpk超过1.33，低质企业只有45%过程达到Cpk=1.33。●Cpk>1.67的企业，平均销售收入增长率为11%以上，而其它企业的数据为4.4%。●一家企业用了三年的时间使废品率降低58%，其使用的方法：将使用SPC的过程比例由52%增加到68%。统计过程控制何时使用SPC●原则上,应该用于有数量特性或参数和持续性的所有工艺过程;●SPC使用的领域是大规模生产;●多数企业，SPC用于生产阶段;●在强调预防的企业，在开发阶段也用SPC。何时使用SPC第二单元统计学基础第二单元统计学基础●

什么是随机现象？→每次观察或试验，结果不确定。→大量重复观察或试验，结果呈现某种统计规律。●小组实验

→

讨论实验对象的性质，如黑棋频率有何趋势●两类随机变量→计数型变量(离散型)attributes→计量型变量(连续型)varibles●什么是随机现象？●两类随机变量随机性—什么是概率—随机性变异—系统性变异（非随机变异）—事件—事件集合概率P（A）=NA/N风险随机性概率的计算■乘法原则—与条件—互相独立—P(A与B)=P(A)P(B)

■加法原则—或条件—互相排斥—P(A或B)=P(A)+P(B)概率的计算■乘法原则■加法原则练习一、计算概率■某工序需经三道工序加工,假定各道工序彼此独立,其合格品详细分别是90%、95%、98%，三道工序之后为检验工序，假定检验工序可以检测出前三道工序中的缺陷。问：（1）整条线的合格品率是多少？（2）若在第1、2工序和第2、3工序增加两个检验点，此时整条线的合格率是多少？（3）根据上述计算可以得出什么结论？90%95%98%工序1工序2工序3练习一、计算概率■某工序需经三道工序加工,假定各道工序彼练习2计算概率若随意掷两个骰子，问1、共有多少种可能的结果出现？2、两个骰子的点数和有多少可能性？3、点数和出现的概率是多少？分别用小数和分数表示。采用下表会有助于计算练习2计算概率若随意掷两个骰子，问练习2计算概率（续）练习2计算概率（续）●随机变量的概率分布→计量型随机分布★正态分布：长度、重量、时间、强度、纯度、成分等；→计数型（离散型）随机分布★泊松分布：布匹上的疵点，商店的顾客；★二项分布：合格与不合格，性别，对与错；★超几何分布：

●随机变量的概率分布正态分布正态分布标准正态分布曲线标准正态分布曲线推断正态分布的参数

总体参数 样本统计量集中程度 μ Ｘ离散程度σs推断正态分布的参数两个离散分布■二项式分布—试验次数固定—每次试验相互独立—每次试验结果只有二个—每次试验概率保持不变Ｐ■泊松分布两个离散分布■二项式分布■平均数 （总体）（样本）（加权式）■中位数■众数■平均数 平均数的优、缺点优点

■概念容易被理解和接受。 ■一组数据只有一个平均数且组中每个数据的变化都会影响平均数。缺点■平均数受超常值的影响。■大量数据计算平均数较为繁琐。平均数的优、缺点优点 缺点中位数的优、缺点优点中位数不受超常值的影响。缺点需要对数据排序，对大样本将非常繁琐。中位数的优、缺点优点缺点众数的优缺点优点■众数不受超常值影响。■可应用于定性数据 。缺点■一组数据可能不存在众数。■有时一组数据会有一个以上的众数。众数的优缺点优点缺点数据的离散程度■极差R＝最大值－最小值＝Ｘmax－Ｘmin■方差(总体)(样本)■标准差(总体)(样本)数据的离散程度■极差R＝最大值－最小值＝Ｘmax－Ｘm举例：计算数据离散程度下式是计算方差的另一等价公式，带有统计功能的计算器在计算方差时一般使用该公式：

举例：计算数据离散程度下式是计算方差的举例：计算数据离散程度（续）举例：计算数据离散程度（续）举例：计算数据离散程度(续）举例：计算数据离散程度(续）计算样本标准差的步骤计算样本标准差的步骤计算样本标准差的步骤（续)步骤1、把样本数据排成一列放在第一列。2、计算样本均值X，并将X填入第二列 。3、计算Xi—X的值并填在第3列上。4、将第3列的数值求平方，填入对应的第4列。5、将第4列的数累加。6、将累积数除以n-1即为样本方差。7、对样本要求的平方根即是样本样准差。

计算样本标准差的步骤（续)步骤练习3计算均值和标准差下面的数据是一个样本中的8个观测值，求其极差（R)和标准差s（计算s可采用下表计算）。数据为：2.83.24.84.24.62.95.05.5练习3计算均值和标准差下面的数据是一个样本中的8个观测右偏态情形下分布集中程度与离散程度间的关系

众数中位数平均数右偏态情形下分布集中程度与离散程度间的关系众数中位数平均数左偏态分布下分布集中程度和离散程度间的关系

众数中位数平均数左偏态分布下分布集中程度和离散程度间的关系众数中位数平均数双峰分布下分布集中程度与离散程度间的关系双峰分布下分布集中程度与离散程度间的关系中心极限定理1、若X1,X2,…Xn是独立同分布的随机变量。

当n较大时逐于正态分布。2、均值（)分布的标准差3、均值（）分布的中心与总体分布中心相同。中心极限定理1、若X1,X2,…Xn是独立同分布的随机变样本均值的分布样本均值的分布练习4根据样本推断总体(续)1、假定工序中仅存在