平方映射的不动点课件

第二章

分岔与奇怪吸引子第二章

分岔与奇怪吸引子1第一节简单数学分岔第二节平方映射与倍周期分岔第三节流体不稳定性与洛伦兹方程第四节李雅普诺夫指数与奇怪吸引子分岔与奇怪吸引子第一节简单数学分岔分岔与奇怪吸引子2第一节简单数学分岔引言分岔概念1切分岔2转换键型分岔3叉式分岔4霍夫型分岔第一节简单数学分岔3弹性压杆的分岔引言分岔概念

分岔是一种普遍的自然现象。力学上指一种力学状态在临界点发生的转变、分开或一分为二。如：一根受力的弹性压杆当压力超过压杆的临界负荷时，会出现弯曲。许多重要物理现象数学上可以某类微分方程来描述。数学上分岔研究非线性微分方程当某一参数变化时其解发生突变的临界点附近的行为。

在P—s平面上当P<Pc时，杆的唯一平衡状态是保持直线；当P>Pc时有三种平衡状态：保持直线(OC方向)、偏向+s或-s方向,不同平衡状态的分岔点为Pc。这时保持直线是不稳定的，稍有扰动平衡状态便会偏向+s或-s。两种偏向+s或-s状态是稳定的。弹性压杆的分岔引言分岔概念分岔是一种普遍的自然41.切分岔数学模型利用方程：由得平衡点

(a)当μ＜0时,解x0为虚数，因此不存在奇点，(b)当μ＞0时出现两个奇点,，说明上述方程的解在x0=0处发生了分裂。

μ＞0两个奇点的稳定性

在解x0附近取一点，计算它与平衡点距离随时间变化。设距离：随时间变化：忽略高阶量1.切分岔数学模型利用方程：忽略高阶量5解，当时，，此解是稳定的，是稳定的结点。解，当时，，解是不稳定的，它是鞍点。

切分岔是一个鞍–结分岔相流形状解的稳定性与相流1.切分岔解解的稳定性与相流1.切分岔解62转换键型分岔利用方程：解在分岔点(x0,μ)＝(0,0)处发生转折，故称转换键型分岔

解的稳定性

采用与分析切分岔稳定性同样的方法，知：μ＜0，平衡点x0=0是稳定的,平衡点x0=-m是不稳定的；μ＞0，平衡点x0=0是不稳定的，平衡点x0=+m是稳定的。

数学模型平衡点2转换键型分岔利用方程：数学模型平衡点7

由分岔图可见，μ＜0或μ＞0都是一对鞍–结点：μ＜0时，轴线是结点，是不稳定的；μ＞0时，的轴线是不稳定的，是稳定结点。由鞍点与稳定结点附近的相轨线流向，转换键型分岔的相流形状如下图。2转换键型分岔相流由分岔图可见，μ＜0或μ＞0都是一对鞍–结点：2转83叉式分岔利用方程：

由得平衡点分岔图形象一把叉子，故称岔式分岔。解的稳定性：μ＜0时只有x0=0

的平衡点，经分析方法可知它是稳定的。μ＞0有三个平衡点，x0=0是不稳定的，解是稳定的。

数学模型相流图形3叉式分岔利用方程：数学模型相流图形9杜芬方程具有叉式分岔由势能曲线知：

a.

在时仅有一个平衡点：

b.在时存在三个平衡点：可见在参数k=0处发生了一次从单解转为三解的叉式分岔。

c.在这三个平衡点中，，处在势能极小点，是稳定的；处在势能极大点，是不稳定的平衡点。3叉式分岔杜芬方程的叉式分岔杜芬方程具有叉式分岔3叉式分岔杜芬方程的叉式分岔104霍夫型分岔

数学模型引入极坐标求导代入原方程令正弦余弦系数相等4霍夫型分岔数学模型引入极坐标求导代入原方程令正弦余弦11

对方程

积分,可得：C，t0为积分常数。1.μ≤0，距离r随时间而缩短，当时间

时。说明μ轴线上各点是稳定的焦点。2.

μ＞0，r

值随时间增长，不论初始r的大小；当时形成闭合圈即极限环4.霍夫型分岔分岔分析参数μ从负变到正，从焦点产生出极限环,这种分岔称霍夫分岔。分岔点位于μ=0。对方程1.μ≤0，距离r随时间而缩短，当时间12范德玻耳方程分岔引进参数作用量I与角度量q相位求平均平衡点：

对于平衡点I2

邻域有:

为初始对I2的偏离量。作用量

I对的偏离量随时间指数减小。当，,,I2是稳定的解。

4.霍夫型分岔

对于平衡点I1邻域有:

I0是初始对I1的偏离小量。作用量I

随时间指数增长,I1是不稳定解,为不稳定焦点。范德玻耳方程分岔引进参数作用相位求平均平衡点：对13范德玻耳方程分岔4.霍夫型分岔结论

范德玻耳方程霍夫型分岔与参数的e正负有关。上面讨论的是e

为正值情况，即：

如果e为正值，相平面上坐标原点是不稳定的焦点，而极限环是稳定的。不论初始相点处于环内还是环外，时总是趋向于极限环。

如果e为负值，情况刚好相反，坐标原点变为稳定的焦点，为系统的不动点，而极限环则是不稳定的。当

时，环内相点趋于不动点，环外相点则远离环而去。范德玻耳方程分岔4.霍夫型分岔结论14第二节平方映射与倍周期分岔

1.平方映射2.平方映射的不动点及其稳定性3.平方映射的周期解及其稳定性4.倍周期分岔的功率谱第二节平方映射与倍周期分岔1.平方映射15

物理学上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。一个以为连续变量的单参数的动力学系统：这里为系统参数。设系统状态作等间隔t，t+1，t+2，t+3，…变化，则时间演化方程改写为：当时间间隔不取整数，各时刻写成相应的状态为：时间演化方程变成离散方程：数学上称为映射的方程。在非线性发展史上第一个将映射方程用于研究系统进入混沌状态的是美国科学家梅(MayRobert)

映射方程1．平方映射

物理学上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用16映射方程计算对一个映射的计算采用的是迭代方法。即给定一个初值将其代入映射计算得，将代入映射计算得，由可算得，如此一直计算得：例如：一个简单映射1次迭代：2次迭代：n次迭代：于是有：如果将值看成为一条线上的一个点，则该组数值就构成一条轨道。1．平方映射

映射方程计算对一个映射17动力学系统用连续变量表示为微分方程，离散数表示时为映射(map)，两者对应关系为：映射与微分方程对应关系迭代计算解方程

1．平方映射

动力学系统用连续变量表示为微分方程，离散数表示时为映射(ma18平方映射导出—生态平衡方程

1838年，生物学家伏埃胡斯脱（Verhulst）在研究生物种群演化时提出一种设想：一个世代交替的生物种群是在一个受制约的环境中生息繁衍的。第

n

代有:第n+1

代有:A如不考虑生存环境对种群生存的影响，第

n

代与第

n+1代有如下关系：

当R>1，种群数量将线性地无限制增长。

B种群受环境制约，数量有最大限额，种群繁殖空间第n

代与第

n+1代关系

1．平方映射

平方映射导出—生态平衡方程1838年，生物学家伏埃胡斯19平方映射计算方程展开

xn+1值与xn值是平方关系，称平方映射，文献中称洛吉斯蒂映射(logisticmap),该式是抛物线表示式，也称抛物映射。由于亲、子两代种群数约化值，在0~1间，参数μ取值在[0，4]内。

离散映射采用迭代计算。即给定参数m值与初始值x0

，就有：…设：各次计算值为：

在此参数下，计算结果趋向一个终值：1.平方映射

平方映射计算方程展开1.平方映射20作图计算准备:1.坐标2.作条抛物线：3.作的对角线，称恒等线通过它做投影。1.平方映射

平方映射在平面上是一条抛物线，抛物线高度由m值决定。作图计算准备:1.平方映射平方映射21作图计算在横坐标x0

处作竖直线与抛物线相交，交点为x1。从此点作水平线与对角线相交，此交点横坐标为x1。由横坐标x1作垂线，与抛物线相交x2，移植到对角线上，得横坐标x2…。作图过程象结网，趋向于恒等线与抛物线交点B，这是计算的终值。1.平方映射

平方映射在平面上是一条抛物线，抛物线高度由m值决定。作图计算在横坐标x0处作竖直线与抛物线相交，交点为x1。22作图计算1.平方映射

平方映射在平面上是一条抛物线，抛物线高度由m值决定。作图计算1.平方映射平方映射23平方映射的不动点通过作图或数值计算表明，计算可以得到一个不变的终值，它被称为映射的不动点。一个映射的不动点就是xi与xi+1相同时的数值，它不再因继续迭代而发生变化。对平方映射，不动点为：解此方程得：即有两个不动点。实际上，两个不动点就是抛物线与迭代线的两个交点A与B。抛物线的高度与μ值有关，最大高度在m=1/2处且等于μ/4。如果参数μ较小(m<1)，抛物线高度较低，它与迭代线只有一个交点，即原点A。在这种情况下，不管初值如何迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。2.平方映射的不动点平方映射的不动点通过作图或数值计算表明，计算可以得到24平方映射的两个不动点2.平方映射的不动点平方映射的两个不动点2.平方映射的不动点25m<1时走向不动点A当参数m<1时，抛物线高度较低，与迭代线只有一个交点A。这时不管初值如何，迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。图b是随迭代次数n的变化曲线，这是最终衰变到零的指数衰变曲线。在生态上，虽然初始有一定的种群数量，但受到环境的制约最终走向了灭绝。2.平方映射的不动点m<1时走向不动点A当参数m<1时，抛物线高度较低，26μ=1~3时走向不动点B当μ>1时平方映射会出现第二个不动点。下图m

值为2.0与1.8时的迭代，可以看到虽然起始值很小，但每次迭代值增加，这是一个指数增长并最终稳定的过程。终值与起始值无关。2.平方映射的不动点μ=1~3时走向不动点B当μ>1时平方映射会27μ>2.3时振荡走向不动点B

当

m值增大到μ>2.3时，迭代结果开始出现振荡起伏，然后逐步稳定在某个数值。例如，当m

=2.8时，迭代值经过多次衰减振荡后逐步稳定。μ>2.3时通过振荡走向不动点B2.平方映射的不动点

μ>2.3时振荡走向不动点B当m值增大到μ28不动点的稳定性

非线性动力学核心问题之一就是研究系统的稳定性问题。上述计算可见，当μ<3时迭代走向不动点，当μ>3迭代值出现持续振荡，说明迭代在μ=3附近发生了变化，稳定不动点变得不稳定了。如一维映射具有不动点，即有解设en为对不动点的偏离量，需继续迭代，有：对右边在x*附近展开：略去的高阶小项，利用不动点方程则得：对于稳定的不动点，应有：，即对于不稳定的不动点,应有:，即

2.平方映射的不动点

不动点的稳定性非线性动力学核心问题之一就是研究29不动点的稳定性对于稳定的不动点，应有,即：映射在不动点处斜率为45°迭代单调的趋近于

迭代经过几次起伏趋近于超稳定不动点，最有利的稳定情况，迭代图上对应于2.平方映射的不动点

不动点的稳定性对于稳定的不动点，应有30不动点的稳定性对于稳定的不动点，应有,即：2.平方映射的不动点

不动点的稳定性对于稳定的不动点，应有31二周期解当参数从μ=2.8继续增大时，迭代出现的振荡将维持下去，这种情况称为周期解。图为μ=3.2时迭代情况，取x0=0.04，在迭代进行几次后，其终值在一大一小的两个定值之间跳跃，并与起始值无关，称为周期2轨道运动。3.平方映射的周期解μ=3.2时xn+1在一大一小两个值间跳跃二周期解当参数从μ=2.8继续增大时，迭代出现32四周期解

μ值进一步增大时迭代会出现的振荡起伏。μ值增大到3.5以上，迭代的终值起伏每隔四次出现重复，称为周期4轨道运动。图为μ=3.52时的xn+1～n曲线，仍取x0=0.2为起始值。

μ=3.52xn+1出现4周期循环

3.平方映射的周期解四周期解μ值进一步增大时迭代会出现的振荡起伏。μ33倍周期解序列

计算表明，随

m

的增加，稳定的周期轨道还在增加，于是可得如下倍周期分岔序列。

1.00<m<3.00周期1轨道(不动点)3.00<m<3.4495周期2轨道3.4495<m<3.5541周期4轨道3.5541<m<3.5644周期8轨道3.5644<m<3.5688周期16轨道

通常在确定的μ值下，迭代会进入一个周期p的重复循环，即在次数i≥n后迭代有：

xn，xn+1，…

，xn+p-1

xn+p，xn+p+1，…

，xn+2p-1重复相同的值，称为周期p轨道。如P=1，称周期1轨道，为不动点；p=2为周期2轨道，p=4为周期4轨道。迭代也会进入轨道点xi永不重复情况，即无周期状态。但若每迭代一定次数，轨道点虽没有准确回到某个初始点xk，但与该点非常接近，则这种情况称为准周期轨道。它可看作无限长周期轨道。3.平方映射的周期解倍周期解序列计算表明，随m的增加，稳定的周期轨道还在34参数μ的变化引起轨道的周期性发生变化，类似于不动点的稳定性，映射的周期解也有一个稳定性问题。平方映射在μ=3.3时，对周期1轨道是不稳定的，但对周期2轨道来说可满足稳定性条件。对于周期2轨道：

代入映射方程：复杂的表达式作图出来很清楚，这是一条M形曲线。上图为曲线,下图为曲线。周期2的稳定性

3.平方映射的周期解参数μ的变化引起轨道的周期性发生变化，类似于不动点的稳35周期2的稳定性

周期轨道与不动点之间具有类似性。根据上述对的计算：体系有一个周期2轨道体系应有两个不动点。

对μ=3.3，f(f(m,xn)有四个不动点：

其中与是的不动点，对应周期1轨道；剩下两个点即是周期2轨道点。3.平方映射的周期解周期2的稳定性周期轨道与不动点之间具有类似性。根据上36多周期轨道的稳定性

已知的不动点稳定性条件为：即在不动点处斜率小于45°。对于周期2轨道，设有解。则在的不动点处应有：

结论：周期2的不动点的稳定性决定于与两点处函数点的斜率。推广到任意的周期轨道，即从求出周期n轨道的不动点。然后由m判定其稳定性。3.平方映射的周期解复合函数导数链法则多周期轨道的稳定性已知37功率谱表示一个非线性系统的运动状态，除采用时域方法（振动的时间图）表示外，更多地使用了相图（状态图）表示方法。此外频谱表示也是一种重要的分析方法。随着参数μ值的增加，平方映射出现了轨道周期成倍加长的倍周期分岔。从频谱角度看，每次分岔意味着频谱图中出现一批对应的新的频率分量。因此需要从频谱变化角度来讨论一下分岔现象。相图与频谱图有对应关系。频率为f的正弦周期运动，在相空间里是闭合圆环。频谱图上是在以频率为横坐标的f

处一个无限狭窄尖峰，峰的高度为该分量的功率，称功率谱。当倍周期分岔成周期2轨道，相图上轨线转两圈后闭合，功率谱上为除f处的原有谱峰外，在f/2处出现新谱峰分量；若系统再次分岔成周期4轨道，轨线需转四圈后才闭合，功率谱上除

f

与f/2处两个峰外在f/4与3f/4出现两个新谱峰，如此等等。

4.倍周期分岔的功率谱功率谱表示一个非线性系统的运动状态，除采用时域方法（振38周期轨道与功率谱

4.倍周期分岔的功率谱周期轨道与功率谱4.倍周期分岔的功率谱39可以预计，随着参数逼近值，由分岔引起的频谱会越来越密，但是当参数越过值后，迭代进入无穷大周期的随机状态，即混沌运动状态，而功率谱也将从分立谱过渡到不可分的连续谱。因此从功率谱角度来看，如考虑到可能存在的噪声，混沌运动的特征是具有噪声背景的宽谱带。4.倍周期分岔的功率谱平方映射的功率谱

对于平方映射，1P（周期1）的不动点，功率谱中只有基频f

，和有可能出现基频的倍频峰：2f，3f，…；当1P→2P的分岔后，会出现f/2的分频，以及有可能出现f/2分频的倍频峰：3/2，5/2，…；经2P→4P的分岔，功率谱图应出现的是1f/4

和3f/4

的分频以及它们的谐波。右图是平方映射经4P→8P分岔后的各分频峰的功率谱（图中未给出各谐波峰）。

可以预计，随着参数逼近值，由分岔引起的频谱会越来越密，40功率谱的计算

为了计算功率谱，通常对轨道的点作大量取样，然后作快速傅立叶分析。设按等时间间隔得到时间序列：再加上边界条件，然后计算自相关系数，即离散卷积：再对作离散傅立叶变换，计算出傅立叶系数

Pk

代表第k个频率分量对xi

的贡献。

4.倍周期分岔的功率谱功率谱的计算为了计算功率谱，通常对轨道的点作41第二章

分岔与奇怪吸引子第二章

分岔与奇怪吸引子42第一节简单数学分岔第二节平方映射与倍周期分岔第三节流体不稳定性与洛伦兹方程第四节李雅普诺夫指数与奇怪吸引子分岔与奇怪吸引子第一节简单数学分岔分岔与奇怪吸引子43第一节简单数学分岔引言分岔概念1切分岔2转换键型分岔3叉式分岔4霍夫型分岔第一节简单数学分岔44弹性压杆的分岔引言分岔概念

分岔是一种普遍的自然现象。力学上指一种力学状态在临界点发生的转变、分开或一分为二。如：一根受力的弹性压杆当压力超过压杆的临界负荷时，会出现弯曲。许多重要物理现象数学上可以某类微分方程来描述。数学上分岔研究非线性微分方程当某一参数变化时其解发生突变的临界点附近的行为。

在P—s平面上当P<Pc时，杆的唯一平衡状态是保持直线；当P>Pc时有三种平衡状态：保持直线(OC方向)、偏向+s或-s方向,不同平衡状态的分岔点为Pc。这时保持直线是不稳定的，稍有扰动平衡状态便会偏向+s或-s。两种偏向+s或-s状态是稳定的。弹性压杆的分岔引言分岔概念分岔是一种普遍的自然451.切分岔数学模型利用方程：由得平衡点

(a)当μ＜0时,解x0为虚数，因此不存在奇点，(b)当μ＞0时出现两个奇点,，说明上述方程的解在x0=0处发生了分裂。

μ＞0两个奇点的稳定性

在解x0附近取一点，计算它与平衡点距离随时间变化。设距离：随时间变化：忽略高阶量1.切分岔数学模型利用方程：忽略高阶量46解，当时，，此解是稳定的，是稳定的结点。解，当时，，解是不稳定的，它是鞍点。

切分岔是一个鞍–结分岔相流形状解的稳定性与相流1.切分岔解解的稳定性与相流1.切分岔解472转换键型分岔利用方程：解在分岔点(x0,μ)＝(0,0)处发生转折，故称转换键型分岔

解的稳定性

采用与分析切分岔稳定性同样的方法，知：μ＜0，平衡点x0=0是稳定的,平衡点x0=-m是不稳定的；μ＞0，平衡点x0=0是不稳定的，平衡点x0=+m是稳定的。

数学模型平衡点2转换键型分岔利用方程：数学模型平衡点48

由分岔图可见，μ＜0或μ＞0都是一对鞍–结点：μ＜0时，轴线是结点，是不稳定的；μ＞0时，的轴线是不稳定的，是稳定结点。由鞍点与稳定结点附近的相轨线流向，转换键型分岔的相流形状如下图。2转换键型分岔相流由分岔图可见，μ＜0或μ＞0都是一对鞍–结点：2转493叉式分岔利用方程：

由得平衡点分岔图形象一把叉子，故称岔式分岔。解的稳定性：μ＜0时只有x0=0

的平衡点，经分析方法可知它是稳定的。μ＞0有三个平衡点，x0=0是不稳定的，解是稳定的。

数学模型相流图形3叉式分岔利用方程：数学模型相流图形50杜芬方程具有叉式分岔由势能曲线知：

a.

在时仅有一个平衡点：

b.在时存在三个平衡点：可见在参数k=0处发生了一次从单解转为三解的叉式分岔。

c.在这三个平衡点中，，处在势能极小点，是稳定的；处在势能极大点，是不稳定的平衡点。3叉式分岔杜芬方程的叉式分岔杜芬方程具有叉式分岔3叉式分岔杜芬方程的叉式分岔514霍夫型分岔

数学模型引入极坐标求导代入原方程令正弦余弦系数相等4霍夫型分岔数学模型引入极坐标求导代入原方程令正弦余弦52

对方程

积分,可得：C，t0为积分常数。1.μ≤0，距离r随时间而缩短，当时间

时。说明μ轴线上各点是稳定的焦点。2.

μ＞0，r

值随时间增长，不论初始r的大小；当时形成闭合圈即极限环4.霍夫型分岔分岔分析参数μ从负变到正，从焦点产生出极限环,这种分岔称霍夫分岔。分岔点位于μ=0。对方程1.μ≤0，距离r随时间而缩短，当时间53范德玻耳方程分岔引进参数作用量I与角度量q相位求平均平衡点：

对于平衡点I2

邻域有:

为初始对I2的偏离量。作用量

I对的偏离量随时间指数减小。当，,,I2是稳定的解。

4.霍夫型分岔

对于平衡点I1邻域有:

I0是初始对I1的偏离小量。作用量I

随时间指数增长,I1是不稳定解,为不稳定焦点。范德玻耳方程分岔引进参数作用相位求平均平衡点：对54范德玻耳方程分岔4.霍夫型分岔结论

范德玻耳方程霍夫型分岔与参数的e正负有关。上面讨论的是e

为正值情况，即：

如果e为正值，相平面上坐标原点是不稳定的焦点，而极限环是稳定的。不论初始相点处于环内还是环外，时总是趋向于极限环。

如果e为负值，情况刚好相反，坐标原点变为稳定的焦点，为系统的不动点，而极限环则是不稳定的。当

时，环内相点趋于不动点，环外相点则远离环而去。范德玻耳方程分岔4.霍夫型分岔结论55第二节平方映射与倍周期分岔

1.平方映射2.平方映射的不动点及其稳定性3.平方映射的周期解及其稳定性4.倍周期分岔的功率谱第二节平方映射与倍周期分岔1.平方映射56

物理学上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用离散数表示。一个以为连续变量的单参数的动力学系统：这里为系统参数。设系统状态作等间隔t，t+1，t+2，t+3，…变化，则时间演化方程改写为：当时间间隔不取整数，各时刻写成相应的状态为：时间演化方程变成离散方程：数学上称为映射的方程。在非线性发展史上第一个将映射方程用于研究系统进入混沌状态的是美国科学家梅(MayRobert)

映射方程1．平方映射

物理学上一个动力学系统可以用连续变量表示，也可以用57映射方程计算对一个映射的计算采用的是迭代方法。即给定一个初值将其代入映射计算得，将代入映射计算得，由可算得，如此一直计算得：例如：一个简单映射1次迭代：2次迭代：n次迭代：于是有：如果将值看成为一条线上的一个点，则该组数值就构成一条轨道。1．平方映射

映射方程计算对一个映射58动力学系统用连续变量表示为微分方程，离散数表示时为映射(map)，两者对应关系为：映射与微分方程对应关系迭代计算解方程

1．平方映射

动力学系统用连续变量表示为微分方程，离散数表示时为映射(ma59平方映射导出—生态平衡方程

1838年，生物学家伏埃胡斯脱（Verhulst）在研究生物种群演化时提出一种设想：一个世代交替的生物种群是在一个受制约的环境中生息繁衍的。第

n

代有:第n+1

代有:A如不考虑生存环境对种群生存的影响，第

n

代与第

n+1代有如下关系：

当R>1，种群数量将线性地无限制增长。

B种群受环境制约，数量有最大限额，种群繁殖空间第n

代与第

n+1代关系

1．平方映射

平方映射导出—生态平衡方程1838年，生物学家伏埃胡斯60平方映射计算方程展开

xn+1值与xn值是平方关系，称平方映射，文献中称洛吉斯蒂映射(logisticmap),该式是抛物线表示式，也称抛物映射。由于亲、子两代种群数约化值，在0~1间，参数μ取值在[0，4]内。

离散映射采用迭代计算。即给定参数m值与初始值x0

，就有：…设：各次计算值为：

在此参数下，计算结果趋向一个终值：1.平方映射

平方映射计算方程展开1.平方映射61作图计算准备:1.坐标2.作条抛物线：3.作的对角线，称恒等线通过它做投影。1.平方映射

平方映射在平面上是一条抛物线，抛物线高度由m值决定。作图计算准备:1.平方映射平方映射62作图计算在横坐标x0

处作竖直线与抛物线相交，交点为x1。从此点作水平线与对角线相交，此交点横坐标为x1。由横坐标x1作垂线，与抛物线相交x2，移植到对角线上，得横坐标x2…。作图过程象结网，趋向于恒等线与抛物线交点B，这是计算的终值。1.平方映射

平方映射在平面上是一条抛物线，抛物线高度由m值决定。作图计算在横坐标x0处作竖直线与抛物线相交，交点为x1。63作图计算1.平方映射

平方映射在平面上是一条抛物线，抛物线高度由m值决定。作图计算1.平方映射平方映射64平方映射的不动点通过作图或数值计算表明，计算可以得到一个不变的终值，它被称为映射的不动点。一个映射的不动点就是xi与xi+1相同时的数值，它不再因继续迭代而发生变化。对平方映射，不动点为：解此方程得：即有两个不动点。实际上，两个不动点就是抛物线与迭代线的两个交点A与B。抛物线的高度与μ值有关，最大高度在m=1/2处且等于μ/4。如果参数μ较小(m<1)，抛物线高度较低，它与迭代线只有一个交点，即原点A。在这种情况下，不管初值如何迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。2.平方映射的不动点平方映射的不动点通过作图或数值计算表明，计算可以得到65平方映射的两个不动点2.平方映射的不动点平方映射的两个不动点2.平方映射的不动点66m<1时走向不动点A当参数m<1时，抛物线高度较低，与迭代线只有一个交点A。这时不管初值如何，迭代最终趋于原点，原点是唯一的不动点。图b是随迭代次数n的变化曲线，这是最终衰变到零的指数衰变曲线。在生态上，虽然初始有一定的种群数量，但受到环境的制约最终走向了灭绝。2.平方映射的不动点m<1时走向不动点A当参数m<1时，抛物线高度较低，67μ=1~3时走向不动点B当μ>1时平方映射会出现第二个不动点。下图m

值为2.0与1.8时的迭代，可以看到虽然起始值很小，但每次迭代值增加，这是一个指数增长并最终稳定的过程。终值与起始值无关。2.平方映射的不动点μ=1~3时走向不动点B当μ>1时平方映射会68μ>2.3时振荡走向不动点B

当

m值增大到μ>2.3时，迭代结果开始出现振荡起伏，然后逐步稳定在某个数值。例如，当m

=2.8时，迭代值经过多次衰减振荡后逐步稳定。μ>2.3时通过振荡走向不动点B2.平方映射的不动点

μ>2.3时振荡走向不动点B当m值增大到μ69不动点的稳定性

非线性动力学核心问题之一就是研究系统的稳定性问题。上述计算可见，当μ<3时迭代走向不动点，当μ>3迭代值出现持续振荡，说明迭代在μ=3附近发生了变化，稳定不动点变得不稳定了。如一维映射具有不动点，即有解设en为对不动点的偏离量，需继续迭代，有：对右边在x*附近展开：略去的高阶小项，利用不动点方程则得：对于稳定的不动点，应有：，即对于不稳定的不动点,应有:，即

2.平方映射的不动点

不动点的稳定性非线性动力学核心问题之一就是研究70不动点的稳定性对于稳定的不动点，应有,即：映射在不动点处斜率为45°迭代单调的趋近于

迭代经过几次起伏趋近于超稳定不动点，最有利的稳定情况，迭代图上对应于2.平方映射的不动点

不动点的稳定性对于稳定的不动点，应有71不动点的稳定性对于稳定的不动点，应有,即：2.平方映射的不动点

不动点的稳定性对于稳定的不动点，应有72二周期解当参数从μ=2.8继续增大时，迭代出现的振荡将维持下去，这种情况称为周期解。图为μ=3.2时迭代情况，取x0=0.04，在迭代进行几次后，其终值在一大一小的两个定值之间跳跃，并与起始值无关，称为周期2轨道运动。3.平方映射的周期解μ=3.2时xn+1在一大一小两个值间跳跃二周期解当参数从μ=2.8继续增大时，迭代出现73四周期解

μ值进一步增大时迭代会出现的振荡起伏。μ值增大到3.5以上，迭代的终值起伏每隔四次出现重复，称为周期4轨道运动。图为μ=3.52时的xn+1～n曲线，仍取x0=0.2为起始值。

μ=3.52xn+1出现4周期循环

3.平方映射的周期解四周期解μ值进一步增大时迭代会出现的振荡起伏。μ74倍周期解序列

计算表明，随

m

的增加，稳定的周期轨道还在增加，于是可得如下倍周期分岔序列。

1.00<m<3.00周期1轨道(不动点)3.00<m<3.4495周期2轨道3.4495<m<3.5541周期4轨道3.5541<m<3.5644周期8轨道3.5644<m<3.5688周期16轨道

通常在确定的μ值下，迭代会进入一个周期p的重复循环，即在次数i≥n后迭代有：

xn，xn+1，…

，xn+p-1

xn+p，xn+p+1，…

，xn+2p-1重复相同的值，称为周期p轨道。如P=1，称周期1轨道，为不动点；p=2为周期2轨道，p=4为周期4轨道。迭代也会进入轨道点xi永不重复情况，即无周期状态。但若每迭代一定次数，轨道点虽没有准确回到某个初始点xk，但与该点非常接近，则这种情况称为准周期轨道。它可看作无限长周期轨道。3.平方映射的周期解倍周期解序列计算表明，随m的增加，稳定的周期轨道还在75参数μ的变化引起轨道的周期性发生变化，类似于不动点的稳定性，映射的周期解也有一个稳定性问题。平