实变函数课件

一.引言

其中积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1xi1.Riemann积分回顾（分割定义域）一.引言

其中积分与分割、介点集的取法无关xi-1xi1达布上和与下和

Riemann积分xi-1xi达布下和的极限下积分（内填）xi-1xi达布上和的极限上积分（外包）达布上和与下和Riemann积分xi-1xi达布下和22.新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）yiyi-1用mEi表示Ei的“长度”问题：如何把长度,面积,体积概念推广?2.新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）yi用3二．Lebesgue外测度为E的Lebesgue外测度。1.定义：，称非负广义实数是非空的，因而定义有意义.二．Lebesgue外测度为E的Lebesgue外测度。14实变函数课件52.Lebesgue外测度的性质（2）单调性：（3）次可数可加性(1)2.Lebesgue外测度的性质（2）单调性：（3）次可数可6证明:(1)显然成立.(2):因而证明:(1)显然成立.(2):因而7(3)：对任意的ε>0,由外测度的定义知，对每个An都有一列开区间（即用一开区间{Inm}列近似替换An）注：一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界由的ε任意性，即得(3)：对任意的ε>0,由外测度的定义知，对每个An都有注：8注：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有:当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不可能同时含有A，B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A中的点，一部分含有B中的点。若d(A,B)>0,则注：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也可能不成立（反9例:证明参见教材p-56思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广对任意区间，有例:证明参见教材p-56对任意区间，有10三零集1.零集的定义外测度等于零的集合称为零集.证明：三零集1.零集的定义外测度等于零的集合称为零集.证明11例设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0

证明：由于E为可数集，再由ε的任意性知()例设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0证12

2.平面上的x轴的外测度为0思考：１.设E是平面上的有理点全体，则E的外测度为0

2.平面上的x轴的外测度为0思考：13例：Cantor集的外测度为0。证明：令第n次等分后留下的闭区间为例：Cantor集的外测度为0。证明：令第n次等分后留下的闭142.零集的性质定理:(1)零集的任意子集还是零集；

(2)至多可数个零集的并还是零集.证明:(1)由外测度的单调性即得；

(2)由外测度的次可数可加性即得.2.零集的性质定理:(1)零集的任意子集还是零集15一.引言

其中积分与分割、介点集的取法无关几何意义（非负函数）：函数图象下方图形的面积。xi-1xi1.Riemann积分回顾（分割定义域）一.引言

其中积分与分割、介点集的取法无关xi-1xi16达布上和与下和

Riemann积分xi-1xi达布下和的极限下积分（内填）xi-1xi达布上和的极限上积分（外包）达布上和与下和Riemann积分xi-1xi达布下和172.新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）yiyi-1用mEi表示Ei的“长度”问题：如何把长度,面积,体积概念推广?2.新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）yi用18二．Lebesgue外测度为E的Lebesgue外测度。1.定义：，称非负广义实数是非空的，因而定义有意义.二．Lebesgue外测度为E的Lebesgue外测度。119实变函数课件202.Lebesgue外测度的性质（2）单调性：（3）次可数可加性(1)2.Lebesgue外测度的性质（2）单调性：（3）次可数可21证明:(1)显然成立.(2):因而证明:(1)显然成立.(2):因而22(3)：对任意的ε>0,由外测度的定义知，对每个An都有一列开区间（即用一开区间{Inm}列近似替换An）注：一般证明都是从大的一边开始，因为外测度的定义用的是下确界由的ε任意性，即得(3)：对任意的ε>0,由外测度的定义知，对每个An都有注：23注：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有:当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不可能同时含有A，B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A中的点，一部分含有B中的点。若d(A,B)>0,则注：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也可能不成立（反24例:证明参见教材p-56思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广对任意区间，有例:证明参见教材p-56对任意区间，有25三零集1.零集的定义外测度等于零的集合称为零集.证明：三零集1.零集的定义外测度等于零的集合称为零集.证明26例设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0

证明：由于E为可数集，再由ε的任意性知()例设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0证27

2.平面上的x轴的外测度为0思考：１.设E是平面上的有理点全体，则E的外测度为0

2.平面上的x轴的外测度为0思考：28例：Cantor集的外测度为0。证明：令第n次等分后留下的闭区间为例：Cantor集的外测度为0。证明：令第n次等分后留下的闭292.