最新8连续系统的振动课件

8连续系统的振动8连续系统的振动1实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统。连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是偏微分方程。在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因2最新8连续系统的振动课件3最新8连续系统的振动课件4最新8连续系统的振动课件5最新8连续系统的振动课件6最新8连续系统的振动课件7最新8连续系统的振动课件8（2）弦的横向振动弦两端固定，以张力F拉紧在分布力作用下作横向振动建立坐标系弦上距原点x处的横截面在t时刻的横向位移

单位长度弦上分布的作用力

单位长度弦的质量

微段受力情况达朗贝尔原理：弦的横向强迫振动方程令：并考虑到：得：弹性横波的纵向传播速度连续系统的振动/一维波动方程（2）弦的横向振动弦两端固定，以张力F拉紧在分布力作用下9（3）轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面的极惯性矩Ip材料密度切变模量G：单位长度杆上分布的外力偶矩

杆参数：为杆上距离原点x处的截面在时刻t的角位移截面处的扭矩为T微段dx受力：微段绕轴线的转动惯量连续系统的振动/一维波动方程（3）轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动10代入，得：微段dx受力达朗贝尔原理：材料力学：即：圆截面杆的扭转振动强迫振动方程对于等直杆，抗扭转刚度GIp为常数有：剪切弹性波的纵向传播速度连续系统的振动/一维波动方程代入，得：微段dx受力达朗贝尔原理：材料力学：即：圆截面11小结：（1）杆的纵向振动

（2）弦的横向振动虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的，都属于一维波动方程。（3）轴的扭转振动连续系统的振动/一维波动方程小结：（1）杆的纵向振动（2）弦的横向振动虽然它们在运动表12固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象方程：纵向自由振动方程：假设杆的各点作同步运动，即设：q(t)表示运动规律的时间函数杆上距原点x处的截面的纵向振动振幅

代入，得：连续系统的振动/杆的纵向振动固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象方程：纵向自由13记：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为模态）由杆的边界条件确定

与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数，表示各坐标振幅的相对比值由频率方程确定的固有频率有无穷多个（下面讲述）连续系统的振动/杆的纵向振动记：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为模态）由杆的边界条件14第i阶主振动：一一对应系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：连续系统的振动/杆的纵向振动第i阶主振动：一一对应系统的自由振动是无穷多个主振动的叠15几种常见边界条件下的固有频率和模态函数（1）两端固定边界条件：不能恒为零故：代入模态函数得：（杆的纵向振动频率方程）无穷多个固有频率：由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去特征：两端位移为零模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动几种常见边界条件下的固有频率和模态函数（1）两端固定边界条16（2）两端自由特征：自由端的轴向力为零边界条件：得：零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同固有频率：模态函数：得出：连续系统的振动/杆的纵向振动（2）两端自由特征：自由端的轴向力为零边界条件：得：零固17（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零自由端轴向力为零边界条件：得：固有频率：模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动或：（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零边界条件：得：18左端自由，右端固定特征：固定端位移为零自由端轴向力为零边界条件：得：固有频率：模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动左端自由，右端固定特征：固定端位移为零边界条件：得：固有频19边界条件模态函数连续系统的振动/杆的纵向振动频率方程固有频率边界条件模态函数连续系统的振动/杆的纵向振动频率方程固有20例：一均质杆，左端固定，右端与一弹簧连接。推导系统的频率方程。连续系统的振动/杆的纵向振动例：一均质杆，左端固定，右端与一弹簧连接。推导系统的频率方程21连续系统的振动/杆的纵向振动解：边界条件：得出：频率方程振型函数：连续系统的振动/杆的纵向振动解：边界条件：得出：频率方程22连续系统的振动/杆的纵向振动例：一均质杆，左端固定，右端与一集中质量M固结。推导系统的频率方程。边界条件：自己推导！连续系统的振动/杆的纵向振动例：一均质杆，左端固定，右端23主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性杆可以是变截面或匀截面的即质量密度及截面积S等都可以是x的函数

杆的动力方程：自由振动：主振动：代入，得：连续系统的振动/杆的纵向振动主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性杆24杆的简单边界：固定端x=0或l自由端x=0或l

设：代入：乘并沿杆长对x积分：利用分部积分：杆的任一端上总有或者成立

得：连续系统的振动/杆的纵向振动杆的简单边界：固定端x=0或l自由端x=025乘并沿杆长对x积分：同理乘并沿杆长对x积分：相减：时则必有：杆的主振型关于质量的正交性进而：杆的主振型关于刚度的正交性连续系统的振动/杆的纵向振动乘并沿杆长对x积分：同理乘26关于质量的正交性关于刚度的正交性当时

恒成立令：第i阶模态主质量第i阶模态主刚度第i阶固有频率：主振型归一化：正则振型则第i

阶主刚度：合写为：连续系统的振动/杆的纵向振动关于质量的正交性关于刚度的正交性当时恒成立令：第i27杆的纵向强迫振动采用振型叠加法进行求解强迫振动方程：初始条件：假定，已经得出令：正则坐标代入方程：两边乘并沿杆长对x

积分：利用正交性条件：第j个正则坐标的广义力

连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向强迫振动采用振型叠加法进行求解强迫振动方程：初始28模态初始条件的求解乘并沿杆长对x

积分，由正交性条件，知有：

得：求得后可得连续系统的振动/杆的纵向振动模态初始条件的求解乘并沿杆长对x积分，由正交性条件，知有29如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力可表达成分布力形式：正则坐标的广义力：前述外部激励为分布力连续系统的振动/杆的纵向振动如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力可表达成分布力形式：30例：等直杆自由端作用有：为常数求：杆的纵向稳态响应连续系统的振动/杆的纵向振动例：等直杆自由端作用有：为常数求：杆的纵向稳态响应连续系31解：一端固定，一端自由边界条件：固有频率：模态函数：代入归一化条件：模态广义力：第i个正则方程：正则坐标的稳态响应：杆的稳态强迫振动：当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象连续系统的振动/杆的纵向振动解：一端固定，一端自由边界条件：固有频率：模态函数：代入归32连续系统的振动/杆的纵向振动例：一均质杆两端固定。假定在杆上作用有两个集中力，如图所示。试问：当这些力突然移去时，杆将产生甚么样的振动？连续系统的振动/杆的纵向振动例：一均质杆两端固定。假定在33连续系统的振动/杆的纵向振动边界条件：两端固定初始条件：模态函数：解：杆的自由振动方程：固有频率：连续系统的振动/杆的纵向振动边界条件：两端固定初始条件：34连续系统的振动/杆的纵向振动系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：连续系统的振动/杆的纵向振动系统的自由振动是无穷多个主振35连续系统的振动/杆的纵向振动初始条件：应用位移初始条件：两边乘并沿杆长积分，然后利用正交性条件：应用速度初始条件：连续系统的振动/杆的纵向振动初始条件：应用位移初始条件：36连续系统的振动/杆的纵向振动连续系统的振动/杆的纵向振动37连续系统的振动/杆的纵向振动系统响应：连续系统的振动/杆的纵向振动系统响应：38连续系统的振动/杆的纵向振动思考题：有一根以常速度v沿x轴运动的杆。如果杆的中点处突然被卡住停止，试求出所产生的自由振动表达式。在此种情况下，可从杆的中点分开，分开的左右两部分的振动形式相同，因此只分析右半部分即可。提示：连续系统的振动/杆的纵向振动思考题：有一根以常速度v39连续系统的振动/杆的纵向振动右半部分为一端固定、另一端自由的杆。边界条件：杆的自由振动方程：初始条件：自己推导！连续系统的振动/杆的纵向振动右半部分为一端固定、另一端自40连续系统的振动/杆的纵向振动例：有一根x=0端为自由、x=l端处为固定得杆，固定端承受支撑运动为振动的幅值试求杆的稳态响应。连续系统的振动/杆的纵向振动例：为振动的幅值试求杆的稳态41连续系统的振动/杆的纵向振动解：方程建立微段分析应变：内力：达朗贝尔原理：杆上距原点x

处截面在时刻t的纵向位移连续系统的振动/杆的纵向振动解：方程建立微段分析应变：42连续系统的振动/杆的纵向振动令：代入方程：即：设解为：为归一化的正则模态代入方程，得：连续系统的振动/杆的纵向振动令：代入方程：即：设解为：43连续系统的振动/杆的纵向振动用乘上式，并沿杆长积分：利用正交性：连续系统的振动/杆的纵向振动用乘上式，并沿杆长积分：利用44连续系统的振动/杆的纵向振动模态稳态解：连续系统的振动/杆的纵向振动模态稳态解：45连续系统的振动/杆的纵向振动连续系统的振动/杆的纵向振动46连续系统的振动/杆的纵向振动杆振动分析小结1.建立动力学方程2.根据边界条件求解固有频率和模态3.变量分离4.代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程5.物理空间初始条件转到模态空间6.模态空间方程求解7.返回物理空间，得解物理空间问题模态空间问题模态叠加法连续系统的振动/杆的纵向振动杆振动分析小结1.建立动力47教学内容一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态综合法有限元法教学内容一维波动方程48梁的弯曲振动动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动梁各截面的中心惯性轴在同一平面xoy内在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响外载荷作用在该平面内梁在该平面作横向振动（微振）这时梁的主要变形是弯曲变形伯努利－欧拉梁（Bernoulli-EulerBeam）f(x,t):单位长度梁上分布的外力m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩梁参数：I截面对中性轴的惯性积单位体积梁的质量S梁横截面积E弹性模量外部力：假设：连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动梁各截面的中49动力学方程f(x,t):单位长度梁上分布的外力m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩微段受力分析令：y(x,t):距原点x处的截面在t时刻的横向位移截面上的剪力和弯矩微段的惯性力微段所受的外力微段所受的外力矩连续系统的振动/梁的弯曲振动动力学方程f(x,t):单位长度梁上分布的外力m(x,t)50力平衡方程：即：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：略去高阶小量：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：变截面梁的动力学方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动力平衡方程：即：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：略去51变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：连续系统的振动52固有频率和模态函数变截面梁的动力学方程：讨论梁的自由振动自由振动方程：根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：代入自由振动方程：对于等截面梁：通解：和应满足的频率方程由梁的边界条件确定

连续系统的振动/梁的弯曲振动固有频率和模态函数变截面梁的动力学方程：讨论梁的自由振动自53等截面梁的自由振动方程：梁的主振动：通解：代入，得：第i阶主振动：

无穷多个和由系统的初始条件确定

系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：连续系统的振动/梁的弯曲振动等截面梁的自由振动方程：梁的主振动：通解：代入，得：第54常见的约束状况与边界条件（1）固定端挠度和截面转角为零（2）简支端挠度和弯矩为零（3）自由端弯矩和剪力为零连续系统的振动/梁的弯曲振动常见的约束状况与边界条件（1）固定端挠度和截面转角为零（255例：求悬臂梁的固有频率和模态函数解：一端固定，一端自由边界条件固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩和截面剪力为零得：以及：非零解条件：连续系统的振动/梁的弯曲振动例：求悬臂梁的固有频率和模态函数解：一端固定，一端自由边界条56简化后，得：频率方程当

i=1,2,3时解得：当

时各阶固有频率：对应的各阶模态函数：其中：连续系统的振动/梁的弯曲振动简化后，得：频率方程当i=1,2,3时解得：当57铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第二阶模态第三阶模态一个节点两个节点无节点节点位置连续系统的振动/梁的弯曲振动铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第二阶模态第三阶模态一个节点58例：简支梁的固有频率和模态函数解：一端圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰固定铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零得：以及：频率方程：固有频率：连续系统的振动/梁的弯曲振动例：简支梁的固有频率和模态函数解：一端圆柱固定铰固定铰：挠度59频率方程：固有频率：模态函数：第一阶模态第二阶模态第三阶模态第四阶模态模态形状节点位置无节点一个节点两个节点三个节点连续系统的振动/梁的弯曲振动频率方程：固有频率：模态函数：第一阶模态第二阶模态第三阶模态60例：两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行系统类别：半正定系统存在刚体模态导弹飞行1导弹飞行2连续系统的振动/梁的弯曲振动例：两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行系统类别：半61频率方程：模态函数：其中：当

i=1,2,3时解得：当

时自由端：弯矩和截面剪力为零当

时对应刚体模态连续系统的振动/梁的弯曲振动频率方程：模态函数：其中：当i=1,2,3时解得：当62第二阶模态第三阶模态第四阶模态第五阶模态自由梁的模态形状连续系统的振动/梁的弯曲振动第二阶模态第三阶模态第四阶模态第五阶模态自由梁的模态形状连续63例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。连续系统的振动/梁的弯曲振动例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘64连续系统的振动/梁的弯曲振动解：梁的自由振动方程：边界条件固定端：自由端：模态函数：连续系统的振动/梁的弯曲振动解：梁的自由振动方程：边界65连续系统的振动/梁的弯曲振动连续系统的振动/梁的弯曲振动66连续系统的振动/梁的弯曲振动非零解条件：频率方程：求得：对应的各阶模态函数：代入：连续系统的振动/梁的弯曲振动非零解条件：频率方程：求得：67连续系统的振动/梁的弯曲振动第一阶模态：第二阶模态：0.560连续系统的振动/梁的弯曲振动第一阶模态：第二阶模态：0.68例：悬臂梁一端固定，另一端有弹性支撑边界条件固定端：挠度和截面转角为零弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比弹簧一：卷簧，与截面转角成正比弯矩平衡条件：剪力平衡条件：连续系统的振动/梁的弯曲振动例：悬臂梁一端固定，另一端有弹性支撑边界条件固定端：挠度和截69固定端：弹性支撑端：由固定端条件解得：由弹性支撑固定端条件解得：连续系统的振动/梁的弯曲振动固定端：弹性支撑端：由固定端条件解得：由弹性支撑固定端条件解70或非零解条件导出频率方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动或非零解条件导出频率方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动71（1）若k1、k2同时为零，则退化为悬臂梁的情形连续系统的振动/梁的弯曲振动讨论：（1）若k1、k2同时为零，则退化为悬臂梁的情形连续系统的72（2）若k1＝0、k2无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形连续系统的振动/梁的弯曲振动讨论：（2）若k1＝0、k2无穷大，则退化为一端固定另一端简支的73例：悬臂梁自由端附有质量求频率方程解：固定端：自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡利用同上述算例相同的方法，得频率方程：其中：为集中质量与梁质量之比为梁质量连续系统的振动/梁的弯曲振动例：悬臂梁自由端附有质量求频率方程解：固定端：自由端：弯矩为74说明：以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁高度5倍以上）若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响铁木辛柯梁（Timoshenkobeam）考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低连续系统的振动/梁的弯曲振动说明：以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以75模态函数的正交性梁若为等截面，则：变截面梁的自由振动方程：主振动：代入，得：设：有：连续系统的振动/梁的弯曲振动模态函数的正交性梁若为等截面，则：变截面梁的自由振动方程：76（1）（2）(1)式两边乘并沿梁长对x积分：利用分部积分：在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零得：(3)代入（3）式，有：(2)式两边乘并沿梁长积分可得：同理，相减：得：连续系统的振动/梁的弯曲振动（1）（2）(1)式两边乘并沿梁长对x积77如果时，则有：主振型关于质量的正交性

（1）（2）(1)式两边乘并沿梁长对x积分：分部积分：得：代入（3）式，有：(2)式两边乘并沿梁长积分可得：同理，相减：得：(3)（4）（5）由（4）、（5）式，得：主振型关于刚度的正交性

连续系统的振动/梁的弯曲振动如果时，则有：主振型关于质量的正交性（1）（2）(1)式两78如果i=j恒成立第j阶主质量第j阶主刚度第j阶固有频率（1）（2）(1)式两边乘并沿梁长对x积分：分部积分：得：代入（3）式，有：(2)式两边乘并沿梁长积分可得：同理，相减：得：(3)（4）（5）连续系统的振动/梁的弯曲振动如果i=j恒成立第j阶主质量第j阶主刚度第79第j阶主质量第j阶主刚度第j阶固有频率时时主振型中的常数按下列归一化条件确定：正则振型正则振型的正交性：连续系统的振动/梁的弯曲振动第j阶主质量第j阶主刚度第j阶固有频率时时主80梁横向振动的强迫响应梁的横向强迫振动方程：令：代入：两边乘并沿梁长对x积分：由正交性条件，得：第j个正则坐标方程第j个正则坐标的广义力由分部积分：连续系统的振动/梁的弯曲振动梁横向振动的强迫响应梁的横向强迫振动方程：令：代入：两81梁初始条件的处理假定梁的初始条件为：

代入：两式乘并沿梁长积分，由正交性条件可得：

第j个正则坐标方程：第j个正则模态响应：得到后，即可得到梁的响应连续系统的振动/梁的弯曲振动梁初始条件的处理假定梁的初始条件为：代入：两式乘并沿梁长82如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩利用函数，可以表示为:

有：连续系统的振动/梁的弯曲振动如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩利用83中点受常力P作用产生静变形例：简支梁求：当P突然移出时梁的响应解：由材力得初始条件:梁中点的静挠度连续系统的振动/梁的弯曲振动中点受常力P作用产生静变形例：简支梁求：当P突然移出时梁的响84梁两端简支固有频率：振型函数：代入归一化条件：模态初始条件：连续系统的振动/梁的弯曲振动梁两端简支固有频率：振型函数：代入归一化条件：模态初始条85模态初始条件：没有激振力，正则广义力为零正则广义力模态响应：因此有：连续系统的振动/梁的弯曲振动模态初始条件：没有激振力，正则广义力为零正则广义力模态响应：86例：简支梁求：梁的响应中点受力矩作用连续系统的振动/梁的弯曲振动例：简支梁求：梁的响应中点受力矩87解：由上例知：固有频率：振型函数：正则广义力：第i个正则方程：因此有：连续系统的振动/梁的弯曲振动解：由上例知：固有频率：振型函数：正则广义力：第i个正88例：悬臂梁自由端作用有正弦力求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。连续系统的振动/梁的弯曲振动例：悬臂梁自由端作用有正弦力求稳态强迫振动，以及梁自由端的响89解：强迫振动方程：模态函数：设解为：代入方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动解：强迫振动方程：模态函数：设解为：代入方程：连续系90利用正则模态的正交性条件：两边乘并沿梁长对x积分：模态稳态解：梁的响应：连续系统的振动/梁的弯曲振动利用正则模态的正交性条件：两边乘并沿梁长对91梁的响应：梁自由端的响应令x=l：连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的响应：梁自由端的响应令x=l：连续系统的振动/梁的92例：简支梁，左端承受正弦支撑运动试求梁的响应。连续系统的振动/梁的弯曲振动例：简支梁，左端承受正弦支撑运动试求梁的响应。连续系统的振动93解：梁的振动方程：解释：微段分析力平衡方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动解：梁的振动方程：解释：微段分析力平衡方程：连续系统的振94以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：略去高阶小量，得：连续系统的振动/梁的弯曲振动以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：略去高阶小量，得：连续系95材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：梁的振动方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：梁的振动方程：连续96连续系统的振动/梁的弯曲振动代入方程：令：即：即：设解为：为归一化的正则模态连续系统的振动/梁的弯曲振动代入方程：令：即：即：设97连续系统的振动/梁的弯曲振动代入方程，得：用乘上式，并沿杆长积分：利用正交性：连续系统的振动/梁的弯曲振动代入方程，得：用乘上式，并沿98连续系统的振动/梁的弯曲振动模态稳态解：简支梁固有频率：连续系统的振动/梁的弯曲振动模态稳态解：简支梁固有频率：99连续系统的振动/梁的弯曲振动代入：连续系统的振动/梁的弯曲振动代入：100连续系统的振动/梁的弯曲振动思考题：悬臂梁，右端简支。试求梁的响应。右端承受支撑运动连续系统的振动/梁的弯曲振动思考题：悬臂梁，右端简支。101连续系统的振动/梁的弯曲振动本章结束连续系统的振动/梁的弯曲振动本章结束102最新8连续系统的振动课件1038连续系统的振动8连续系统的振动104实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因而又称连续系统或分布参数系统。由于确定连续体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因此连续体是具有无限多自由度的系统。连续体的振动要用时间和空间坐标的函数来描述，其运动方程不再像有限多自由度系统那样是二阶常微分方程组，它是偏微分方程。在物理本质上，连续体系统和多自由度系统没有什么差别，连续体振动的基本概念与分析方法与有限多自由度系统是完全类似的。实际的振动系统都是连续体，它们具有连续分布的质量与弹性，因105最新8连续系统的振动课件106最新8连续系统的振动课件107最新8连续系统的振动课件108最新8连续系统的振动课件109最新8连续系统的振动课件110最新8连续系统的振动课件111（2）弦的横向振动弦两端固定，以张力F拉紧在分布力作用下作横向振动建立坐标系弦上距原点x处的横截面在t时刻的横向位移

单位长度弦上分布的作用力

单位长度弦的质量

微段受力情况达朗贝尔原理：弦的横向强迫振动方程令：并考虑到：得：弹性横波的纵向传播速度连续系统的振动/一维波动方程（2）弦的横向振动弦两端固定，以张力F拉紧在分布力作用下112（3）轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动假定振动过程中各横截面仍保持为平面截面的极惯性矩Ip材料密度切变模量G：单位长度杆上分布的外力偶矩

杆参数：为杆上距离原点x处的截面在时刻t的角位移截面处的扭矩为T微段dx受力：微段绕轴线的转动惯量连续系统的振动/一维波动方程（3）轴的扭转振动细长圆截面等直杆在分布扭矩作用下作扭转振动113代入，得：微段dx受力达朗贝尔原理：材料力学：即：圆截面杆的扭转振动强迫振动方程对于等直杆，抗扭转刚度GIp为常数有：剪切弹性波的纵向传播速度连续系统的振动/一维波动方程代入，得：微段dx受力达朗贝尔原理：材料力学：即：圆截面114小结：（1）杆的纵向振动

（2）弦的横向振动虽然它们在运动表现形式上并不相同，但它们的运动微分方程是类同的，都属于一维波动方程。（3）轴的扭转振动连续系统的振动/一维波动方程小结：（1）杆的纵向振动（2）弦的横向振动虽然它们在运动表115固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象方程：纵向自由振动方程：假设杆的各点作同步运动，即设：q(t)表示运动规律的时间函数杆上距原点x处的截面的纵向振动振幅

代入，得：连续系统的振动/杆的纵向振动固有频率和模态函数以等直杆的纵向振动为对象方程：纵向自由116记：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为模态）由杆的边界条件确定

与有限自由度系统不同，连续系统的模态为坐标的连续函数，表示各坐标振幅的相对比值由频率方程确定的固有频率有无穷多个（下面讲述）连续系统的振动/杆的纵向振动记：通解：（确定杆纵向振动的形态，称为模态）由杆的边界条件117第i阶主振动：一一对应系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：连续系统的振动/杆的纵向振动第i阶主振动：一一对应系统的自由振动是无穷多个主振动的叠118几种常见边界条件下的固有频率和模态函数（1）两端固定边界条件：不能恒为零故：代入模态函数得：（杆的纵向振动频率方程）无穷多个固有频率：由于零固有频率对应的模态函数为零，因此零固有频率除去特征：两端位移为零模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动几种常见边界条件下的固有频率和模态函数（1）两端固定边界条119（2）两端自由特征：自由端的轴向力为零边界条件：得：零固有频率对应的常值模态为杆的纵向刚性位移频率方程和固有频率两端固定杆的情况相同固有频率：模态函数：得出：连续系统的振动/杆的纵向振动（2）两端自由特征：自由端的轴向力为零边界条件：得：零固120（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零自由端轴向力为零边界条件：得：固有频率：模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动或：（3）一端固定，一端自由特征：固定端位移为零边界条件：得：121左端自由，右端固定特征：固定端位移为零自由端轴向力为零边界条件：得：固有频率：模态函数：连续系统的振动/杆的纵向振动左端自由，右端固定特征：固定端位移为零边界条件：得：固有频122边界条件模态函数连续系统的振动/杆的纵向振动频率方程固有频率边界条件模态函数连续系统的振动/杆的纵向振动频率方程固有123例：一均质杆，左端固定，右端与一弹簧连接。推导系统的频率方程。连续系统的振动/杆的纵向振动例：一均质杆，左端固定，右端与一弹簧连接。推导系统的频率方程124连续系统的振动/杆的纵向振动解：边界条件：得出：频率方程振型函数：连续系统的振动/杆的纵向振动解：边界条件：得出：频率方程125连续系统的振动/杆的纵向振动例：一均质杆，左端固定，右端与一集中质量M固结。推导系统的频率方程。边界条件：自己推导！连续系统的振动/杆的纵向振动例：一均质杆，左端固定，右端126主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性杆可以是变截面或匀截面的即质量密度及截面积S等都可以是x的函数

杆的动力方程：自由振动：主振动：代入，得：连续系统的振动/杆的纵向振动主振型的正交性只对具有简单边界条件的杆讨论主振型的正交性杆127杆的简单边界：固定端x=0或l自由端x=0或l

设：代入：乘并沿杆长对x积分：利用分部积分：杆的任一端上总有或者成立

得：连续系统的振动/杆的纵向振动杆的简单边界：固定端x=0或l自由端x=0128乘并沿杆长对x积分：同理乘并沿杆长对x积分：相减：时则必有：杆的主振型关于质量的正交性进而：杆的主振型关于刚度的正交性连续系统的振动/杆的纵向振动乘并沿杆长对x积分：同理乘129关于质量的正交性关于刚度的正交性当时

恒成立令：第i阶模态主质量第i阶模态主刚度第i阶固有频率：主振型归一化：正则振型则第i

阶主刚度：合写为：连续系统的振动/杆的纵向振动关于质量的正交性关于刚度的正交性当时恒成立令：第i130杆的纵向强迫振动采用振型叠加法进行求解强迫振动方程：初始条件：假定，已经得出令：正则坐标代入方程：两边乘并沿杆长对x

积分：利用正交性条件：第j个正则坐标的广义力

连续系统的振动/杆的纵向振动杆的纵向强迫振动采用振型叠加法进行求解强迫振动方程：初始131模态初始条件的求解乘并沿杆长对x

积分，由正交性条件，知有：

得：求得后可得连续系统的振动/杆的纵向振动模态初始条件的求解乘并沿杆长对x积分，由正交性条件，知有132如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力可表达成分布力形式：正则坐标的广义力：前述外部激励为分布力连续系统的振动/杆的纵向振动如果沿杆身作用的不是分布力，而是集中力可表达成分布力形式：133例：等直杆自由端作用有：为常数求：杆的纵向稳态响应连续系统的振动/杆的纵向振动例：等直杆自由端作用有：为常数求：杆的纵向稳态响应连续系134解：一端固定，一端自由边界条件：固有频率：模态函数：代入归一化条件：模态广义力：第i个正则方程：正则坐标的稳态响应：杆的稳态强迫振动：当外部力频率等于杆的任一阶固有频率时都会发生共振现象连续系统的振动/杆的纵向振动解：一端固定，一端自由边界条件：固有频率：模态函数：代入归135连续系统的振动/杆的纵向振动例：一均质杆两端固定。假定在杆上作用有两个集中力，如图所示。试问：当这些力突然移去时，杆将产生甚么样的振动？连续系统的振动/杆的纵向振动例：一均质杆两端固定。假定在136连续系统的振动/杆的纵向振动边界条件：两端固定初始条件：模态函数：解：杆的自由振动方程：固有频率：连续系统的振动/杆的纵向振动边界条件：两端固定初始条件：137连续系统的振动/杆的纵向振动系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：连续系统的振动/杆的纵向振动系统的自由振动是无穷多个主振138连续系统的振动/杆的纵向振动初始条件：应用位移初始条件：两边乘并沿杆长积分，然后利用正交性条件：应用速度初始条件：连续系统的振动/杆的纵向振动初始条件：应用位移初始条件：139连续系统的振动/杆的纵向振动连续系统的振动/杆的纵向振动140连续系统的振动/杆的纵向振动系统响应：连续系统的振动/杆的纵向振动系统响应：141连续系统的振动/杆的纵向振动思考题：有一根以常速度v沿x轴运动的杆。如果杆的中点处突然被卡住停止，试求出所产生的自由振动表达式。在此种情况下，可从杆的中点分开，分开的左右两部分的振动形式相同，因此只分析右半部分即可。提示：连续系统的振动/杆的纵向振动思考题：有一根以常速度v142连续系统的振动/杆的纵向振动右半部分为一端固定、另一端自由的杆。边界条件：杆的自由振动方程：初始条件：自己推导！连续系统的振动/杆的纵向振动右半部分为一端固定、另一端自143连续系统的振动/杆的纵向振动例：有一根x=0端为自由、x=l端处为固定得杆，固定端承受支撑运动为振动的幅值试求杆的稳态响应。连续系统的振动/杆的纵向振动例：为振动的幅值试求杆的稳态144连续系统的振动/杆的纵向振动解：方程建立微段分析应变：内力：达朗贝尔原理：杆上距原点x

处截面在时刻t的纵向位移连续系统的振动/杆的纵向振动解：方程建立微段分析应变：145连续系统的振动/杆的纵向振动令：代入方程：即：设解为：为归一化的正则模态代入方程，得：连续系统的振动/杆的纵向振动令：代入方程：即：设解为：146连续系统的振动/杆的纵向振动用乘上式，并沿杆长积分：利用正交性：连续系统的振动/杆的纵向振动用乘上式，并沿杆长积分：利用147连续系统的振动/杆的纵向振动模态稳态解：连续系统的振动/杆的纵向振动模态稳态解：148连续系统的振动/杆的纵向振动连续系统的振动/杆的纵向振动149连续系统的振动/杆的纵向振动杆振动分析小结1.建立动力学方程2.根据边界条件求解固有频率和模态3.变量分离4.代入动力学方程，并利用正交性条件得到模态空间方程5.物理空间初始条件转到模态空间6.模态空间方程求解7.返回物理空间，得解物理空间问题模态空间问题模态叠加法连续系统的振动/杆的纵向振动杆振动分析小结1.建立动力150教学内容一维波动方程梁的弯曲振动集中质量法假设模态法模态综合法有限元法教学内容一维波动方程151梁的弯曲振动动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动梁各截面的中心惯性轴在同一平面xoy内在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响外载荷作用在该平面内梁在该平面作横向振动（微振）这时梁的主要变形是弯曲变形伯努利－欧拉梁（Bernoulli-EulerBeam）f(x,t):单位长度梁上分布的外力m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩梁参数：I截面对中性轴的惯性积单位体积梁的质量S梁横截面积E弹性模量外部力：假设：连续系统的振动/梁的弯曲振动梁的弯曲振动动力学方程考虑细长梁的横向弯曲振动梁各截面的中152动力学方程f(x,t):单位长度梁上分布的外力m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩微段受力分析令：y(x,t):距原点x处的截面在t时刻的横向位移截面上的剪力和弯矩微段的惯性力微段所受的外力微段所受的外力矩连续系统的振动/梁的弯曲振动动力学方程f(x,t):单位长度梁上分布的外力m(x,t)153力平衡方程：即：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：略去高阶小量：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：变截面梁的动力学方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动力平衡方程：即：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：略去154变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：连续系统的振动155固有频率和模态函数变截面梁的动力学方程：讨论梁的自由振动自由振动方程：根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：代入自由振动方程：对于等截面梁：通解：和应满足的频率方程由梁的边界条件确定

连续系统的振动/梁的弯曲振动固有频率和模态函数变截面梁的动力学方程：讨论梁的自由振动自156等截面梁的自由振动方程：梁的主振动：通解：代入，得：第i阶主振动：

无穷多个和由系统的初始条件确定

系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：连续系统的振动/梁的弯曲振动等截面梁的自由振动方程：梁的主振动：通解：代入，得：第157常见的约束状况与边界条件（1）固定端挠度和截面转角为零（2）简支端挠度和弯矩为零（3）自由端弯矩和剪力为零连续系统的振动/梁的弯曲振动常见的约束状况与边界条件（1）固定端挠度和截面转角为零（2158例：求悬臂梁的固有频率和模态函数解：一端固定，一端自由边界条件固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩和截面剪力为零得：以及：非零解条件：连续系统的振动/梁的弯曲振动例：求悬臂梁的固有频率和模态函数解：一端固定，一端自由边界条159简化后，得：频率方程当

i=1,2,3时解得：当

时各阶固有频率：对应的各阶模态函数：其中：连续系统的振动/梁的弯曲振动简化后，得：频率方程当i=1,2,3时解得：当160铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第二阶模态第三阶模态一个节点两个节点无节点节点位置连续系统的振动/梁的弯曲振动铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第二阶模态第三阶模态一个节点161例：简支梁的固有频率和模态函数解：一端圆柱固定铰另一端圆柱滑动铰固定铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零得：以及：频率方程：固有频率：连续系统的振动/梁的弯曲振动例：简支梁的固有频率和模态函数解：一端圆柱固定铰固定铰：挠度162频率方程：固有频率：模态函数：第一阶模态第二阶模态第三阶模态第四阶模态模态形状节点位置无节点一个节点两个节点三个节点连续系统的振动/梁的弯曲振动频率方程：固有频率：模态函数：第一阶模态第二阶模态第三阶模态163例：两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行系统类别：半正定系统存在刚体模态导弹飞行1导弹飞行2连续系统的振动/梁的弯曲振动例：两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行系统类别：半164频率方程：模态函数：其中：当

i=1,2,3时解得：当

时自由端：弯矩和截面剪力为零当

时对应刚体模态连续系统的振动/梁的弯曲振动频率方程：模态函数：其中：当i=1,2,3时解得：当165第二阶模态第三阶模态第四阶模态第五阶模态自由梁的模态形状连续系统的振动/梁的弯曲振动第二阶模态第三阶模态第四阶模态第五阶模态自由梁的模态形状连续166例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。连续系统的振动/梁的弯曲振动例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘167连续系统的振动/梁的弯曲振动解：梁的自由振动方程：边界条件固定端：自由端：模态函数：连续系统的振动/梁的弯曲振动解：梁的自由振动方程：边界168连续系统的振动/梁的弯曲振动连续系统的振动/梁的弯曲振动169连续系统的振动/梁的弯曲振动非零解条件：频率方程：求得：对应的各阶模态函数：代入：连续系统的振动/梁的弯曲振动非零解条件：频率方程：求得：170连续系统的振动/梁的弯曲振动第一阶模态：第二阶模态：0.560连续系统的振动/梁的弯曲振动第一阶模态：第二阶模态：0.171例：悬臂梁一端固定，另一端有弹性支撑边界条件固定端：挠度和截面转角为零弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等弹簧二：直线弹簧，与挠度成正比弹簧一：卷簧，与截面转角成正比弯矩平衡条件：剪力平衡条件：连续系统的振动/梁的弯曲振动例：悬臂梁一端固定，另一端有弹性支撑边界条件固定端：挠度和截172固定端：弹性支撑端：由固定端条件解得：由弹性支撑固定端条件解得：连续系统的振动/梁的弯曲振动固定端：弹性支撑端：由固定端条件解得：由弹性支撑固定端条件解173或非零解条件导出频率方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动或非零解条件导出频率方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动174（1）若k1、k2同时为零，则退化为悬臂梁的情形连续系统的振动/梁的弯曲振动讨论：（1）若k1、k2同时为零，则退化为悬臂梁的情形连续系统的175（2）若k1＝0、k2无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形连续系统的振动/梁的弯曲振动讨论：（2）若k1＝0、k2无穷大，则退化为一端固定另一端简支的176例：悬臂梁自由端附有质量求频率方程解：固定端：自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡利用同上述算例相同的方法，得频率方程：其中：为集中质量与梁质量之比为梁质量连续系统的振动/梁的弯曲振动例：悬臂梁自由端附有质量求频率方程解：固定端：自由端：弯矩为177说明：以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁高度5倍以上）若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响铁木辛柯梁（Timoshenkobeam）考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低连续系统的振动/梁的弯曲振动说明：以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以178模态函数的正交性梁若为等截面，则：变截面梁的自由振动方程：主振动：代入，得：设：有：连续系统的振动/梁的弯曲振动模态函数的正交性梁若为等截面，则：变截面梁的自由振动方程：179（1）（2）(1)式两边乘并沿梁长对x积分：利用分部积分：在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零得：(3)代入（3）式，有：(2)式两边乘并沿梁长积分可得：同理，相减：得：连续系统的振动/梁的弯曲振动（1）（2）(1)式两边乘并沿梁长对x积180如果时，则有：主振型关于质量的正交性

（1）（2）(1)式两边乘并沿梁长对x积分：分部积分：得：代入（3）式，有：(2)式两边乘并沿梁长积分可得：同理，相减：得：(3)（4）（5）由（4）、（5）式，得：主振型关于刚度的正交性

连续系统的振动/梁的弯曲振动如果时，则有：主振型关于质量的正交性（1）（2）(1)式两181如果i=j恒成立第j阶主质量第j阶主刚度第j阶固有频率（1）（2）(1)式两边乘并沿梁长对x积分：分部积分：得：代