西安电子科技大学《复变函数与场论》课件- 留数的知识

第五章留数一、孤立奇点的概念定义

如果函数在

不解析,但在的某一去心邻域内处处解析,则称为的孤立奇点.例1是函数的孤立奇点.是函数的孤立奇点.第一节孤立奇点例2指出函数在点的奇点特性.解即在的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在,函数的奇点为总有不是孤立奇点.所以函数在孤立奇点以外的奇点称为非孤立奇点.孤立奇点的分类依据在其孤立奇点的去心邻域内的洛朗级数的情况分为三类:1．可去奇点1．可去奇点;2．极点;3．本性奇点.如果洛朗级数中不含

的负幂项,那末孤立奇点

称为

的可去奇点.1)定义其和函数为在解析的函数.说明:(1)(2)无论在是否有定义,补充定义则函数在解析.2)可去奇点的判定(1)由定义判断:的洛朗级数无负在如果幂项则为的可去奇点.(2)

判断极限若极限存在且为有限值,则为的可去奇点.如果补充定义:时,那末在解析.例3中不含负幂项,是的可去奇点.例4说明为的可去奇点.解

所以为的可去奇点.无负幂项另解

的可去奇点.为2.极点

其中关于的最高幂为即级极点.那末孤立奇点称为函数的或写成1)定义

如果洛朗级数中只有有限多个的负幂项,说明:1.2.特点:(1)(2)的极点,则为函数如果例5有理分式函数是二级极点,是一级极点.2)极点的判定方法的负幂项为有的洛朗展开式中含有限项.在点的某去心邻域内其中在的邻域内解析,且(1)由定义判别(2)由定义的等价形式判别(3)利用极限判断.例6求函数的奇点，并确定类型.解是奇点.是二级极点;是三级极点.本性奇点3.如果洛朗级数中含有无穷多个那末孤立奇点称为的本性奇点.的负幂项,例如，含有无穷多个z的负幂项特点:在本性奇点的邻域内不存在且不为同时不存在.综上所述:孤立奇点可去奇点m级极点本性奇点洛朗级数特点存在且为有限值不存在且不为无负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项最高幂为存在且有限二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义不恒等于零的解析函数如果能表示成其中在解析且m为某一正整数,那末称为的

m级零点.例6注意:

不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.2.零点的判定零点的充要条件是证(必要性)由定义:设的泰勒展开式为:如果在解析,那末为的级如果为的级零点其中展开式的前m项系数都为零,由泰勒级数的系数公式知:并且充分性证明略.(1)由于知是的一级零点，课堂练习是五级零点,是二级零点.知是的一级零点.解

(2)答案例7求以下函数的零点及级数:(1)(2)的零点及级数.求尚有另2个一级零点.3.零点与极点的关系定理如果是的m级极点,那末就是的

m级零点.反过来也成立.证如果是的m级极点,则有当时,函数在解析且由于只要令那末的m级零点.就是反之如果

的m级零点,是那末当时,解析且所以是的m级极点.说明此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法.例8函数有些什么奇点,如果是极点,指出它的级.解

函数的奇点是使的点,这些奇点是是孤立奇点.的一级极点.即解

解析且所以不是二级极点,而是一级极点//可去奇点.是的几级极点?思考例9问是的二级极点吗?注意:不能以函数的表面形式作出结论.三、函数在无穷远点的性态定义注RZ规定：判别法1(利用变换域级数进行判断)1)不含正幂项;2)含有有限多的正幂项且为最高正幂;3)含有无穷多的正幂项;那末是的1)可去奇点;2)m级极点;3)本性奇点.2

(利用洛朗级数的特点)2.判别方法在内的洛朗级数中:如果例10(1)函数在圆环域内的洛朗展开式为:不含正幂项所以是的可去奇点.(2)函数含有正幂项且z为最高正幂项,所以是的一级极点.(3)函数的展开式:含有无穷多的正幂项所以是的本性奇点.课堂练习的奇点及其类型.说出函数答案判别法3:(利用极限特点)如果极限1)存在且为有限值;2)无穷大;3)不存在且不为无穷大;那末是的1)可去奇点;2)m级极点;3)本性奇点.存在且有限例11函数在扩充复平面内有些什么类型的奇点?如果是极点,指出它的级.解

函数除点外,所以这些点都是的一级零点,故这些点中除1,-1,2外,都是的三级极点.内解析.在所以那末是的可去奇点.因为不是的孤立奇点.所以一、留数的引入设为的一个孤立奇点;内的洛朗级数:在.的某去心邻域邻域内包含的任一条正向简单闭曲线第二节留数0(高阶导数公式)0(柯西-古萨基本定理)定义

记作的一个孤立奇点,则沿内包含的任意一条简单闭曲线

C的积分的值除后所得的数称为以如果Residue

二、利用留数求积分说明:2.留数定理将沿封闭曲线C积分转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.1.留数定理在区域

D内除有限个孤外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那末立奇点函数证[证毕]两边同时除以且...如图2.留数的计算方法(1)如果为的可去奇点,如果为的一级极点,那末规则1成洛朗级数求(2)如果为的本性奇点,(3)如果为的极点,则有如下计算规则则需将展开如果为的级极点,规则2证那末+(含有正幂的项)两边求阶导数,[证毕]得规则3如果设及在都解析，证的一级零点,为的一级极点.为那末为的一级极点,且有解析且在因此其中在解析且为的一级极点,三、在无穷远点的留数注意积分路线取顺时针方向说明记作1.定义设函数在圆环域内解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，.......证由留数定义有:(绕原点的并将内部的正向简单闭曲线)包含在2.定理二如果函数在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末在所有各奇点(包括

点)的留数的总和必等于零.[证毕]说明:由定理得(留数定理)计算积分计算无穷远点的留数.优点:使计算积分进一步得到简化.(避免了计算诸有限点处的留数)3.在无穷远点处留数的计算规则4说明:定理二和规则4提供了计算函数沿闭曲线积分的又一种方法:

此法在很多情况下此法更为简单.现取正向简单闭曲线C为半径足够大的正向圆周:于是有证内除在外无其他奇点.[证毕]四、典型例题例1求在的留数.解例2求在的留数.分析是的三级零点由规则2得计算较麻烦.如果利用洛朗展开式求较方便:解说明:

如为m级极点，当m较大而导数又难以计算时,可直接展开洛朗级数求来计算留数.2.在应用规则2时,取得比实际的级数高.级数高反而使计算方便.1.在实际计算中应灵活运用计算规则.为了计算方便一般不要将m但有时把m取得比实际的如上例取例3求在的留数.解是的四级极点.在内将展成洛朗级数:例4求下列各函数在有限奇点处的留数.解(1)在内,解解为奇点,当时为一级极点，(分子3级零点、分母2级零点)解的一级极点为例5计算积分C为正向圆周:解为一级极点,为二级极点,例6计算积分C为正向圆周:函数在的外部,除点外没有其他奇点.解根据定理2与规则4:与以下解法作比较:被积函数有四个一级极点都在圆周的内部,所以由规则3可见,利用无穷远点的留数更简单.例7计算积分C为正向圆周:解

除被积函数点外,其他奇点为由于与1在C的内部,则所以思考题答案

思想方法:封闭路线的积分.两个重要工作:1)积分区域的转化2)被积函数的转化把定积分化为一个复变函数沿某条第三节

留数在定积分计算上的应用当历经变程时,的正方向绕行一周.z沿单位圆周一、形如的积分z的有理函数,且在单位圆周上分母不为零,满足留数定理的条件.包围在单位圆周内的诸孤立奇点.例1计算积分解则例2计算解令极点为:(在单位圆内)(在单位圆外)例3解故积分有意义.因此若有理函数R(x)的分母至少比分子高两次,并且函数在实轴上无孤立奇点.一般设分析可先讨论最后令即可.二、形如的积分2.

积分区域的转化:取一条连接区间两端的按段光滑曲线,使与区间一起构成一条封闭曲线,并使R(z)在其内部除有限孤立奇点外处处解析.(此法常称为“围道积分法”)1.

被积函数的转化:(当z在实轴上的区间内变动时,R(z)=R(x))可取

f(z)=R(z).xy..这里可补线(以原点为中心,R为半径的在上半平面的半圆周)与一起构成封闭曲线C,R(z)在C及其内部(除去有限孤立奇点）处处解析.取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点都包在这积分路线内.根据留数定理得:当充分大时,总可使例4计算积分解

在上半平面有二级极点一级极点xy..积分存在要求:R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,并且R(z)在实轴上无孤立奇点.与曲线C,使R(z)所有的在上半平面内的极点包在这积分路线内.同前一型:补线一起构成封闭都三、形如的积分对于充分大的,且时,有从而由留数定理:例5计算积分解

在上半平面