电工技术(西电第二版)第2章-电路的分析方法课件

第2章电路的分析方法2.1支路电流法2.2网孔电流法2.3节点电压法2.4叠加定理2.5戴维南定理与诺顿定理本章小结思考题与习题第2章电路的分析方法2.1支路电流法2.1支路电流法

支路电流法的解题步骤如下：

(1)首先假定各支路电流的参考方向和绕行方向。

(2)如果电路有n个节点，根据基尔霍夫电流定律列出

n－1个独立的节点电流方程。

（3）如果电路有m条支路，根据基尔霍夫电压定律列出m－n+1个独立的回路电压方程。

（4）联立m个独立方程n－1+m－n+1=m，解方程组，求出m个支路电流。2.1［例2-1］电路如图2-1所示，已知E1=70V，R1=20Ω，E2=40V,R2=10Ω，R=10Ω。试求各支路电流及各电源的功率。［解］先假定各支路电流的参考方向如图2-1所示。

根据基尔霍夫电流定律∑IK=0，列出节点电流方程。

图2-1所示的电路共有A和B两个节点。

对于节点A

I1+I3－I2=0（1）

对于节点B

I2－I1－I3=0

［例2-1］电路如图2-1所示，已知E1=70图2-1例2-1的电路图2-1例2-1的电路将节点A的方程乘以－1，就是节点B的方程，因此，节点A与节点B的方程只有一个是独立的。对于节点电流方程，若电路有n个节点，则可以列出n－1个独立的节点电流方程。根据基尔霍夫电压定律∑RKIK=∑Ej，列出回路电压方程。同样，所列的回路电压方程应该是独立的，为此，选定的每一个回路必须至少包含一条新的支路。

选定回路Ⅰ和回路Ⅱ的循行方向如图2-1所示。

对于回路ⅠR1I1－RI3=E1（2）

对于回路ⅡRI3+R2I2=E2（3）将节点A的方程乘以－1，就是节点B的方程，因此，将回路Ⅰ和回路Ⅱ的电压方程分别记作（2）式和（3）式。

本例中共有三条支路，相应的有三个待求电流I1、I2和I3，为了使待求的支路电流能够求解，需要三个独立的方程。联立（1）式、（2）式和（3）式，代入数据，解方程组，求出支路电流。

I1+I3－I2=0

20I1－10I3=70

10I3+10I2=－40将回路Ⅰ和回路Ⅱ的电压方程分别记作（2）式和（3）式。

解得

I1=2A,I2=－1A,I3=－3A

电压源E1吸收的功率为

P1=－E1I1=－70×2=－140W

电压源E2吸收的功率为

P2=E2I2=40×(－1)=－40W

三个电阻上消耗的功率分别为

I21R1=80W

I22R2=10W

I23R=90W解得

［例2-2］电路如图2-2所示，已知E1=8V，R1=10Ω，E2=4V，R2=10Ω，IS=1A，求电路中各电源的功率及两电阻吸收的功率。

［解］假定各支路电流及电流源端电压的参考方向如图2-2所示。

根据基尔霍夫电流定律得

I1+IS－I2=0（1）

选定回路Ⅰ和回路Ⅱ的循行方向如图2-2所示。［例2-2］电路如图2-2所示，已知E1=8图2-2例2-2的电路图2-2例2-2的电路根据基尔霍夫电压定律得:

回路Ⅰ

R1I1+U－E1=0（2）

回路Ⅱ

R2I2+E2－U=0（3）

联立方程（1）、（2）、（3），代入数据

I1+1－I2=0

10I1+U－8=0

10I2+4－U=0根据基尔霍夫电压定律得:

回路Ⅰ

R解方程组得

I1=－0.3A,I2=0.7A,U=11V

电压源E1吸收的功率为

P1=－E1I1=－8×(－0.3)=2.4W

电压源E2吸收的功率为

P2=E2I2=4×0.7=2.8W

电流源IS吸收的功率为

PS=－UIS=－11×1=－11W（实为发出功率）

两电阻吸收的功率为

P=I21R1+I22R2=(－0.3)2×10+0.72×10=5.8W

解方程组得

2.2网孔电流法

2.2.1网孔电流

网孔电流实际上是一种假想电流，所谓网孔是指平面电路（画在平面上不出现支路交叉的电路）中的一个回路，在它所包围的范围内不存在其他支路，如图2-3所示：有三

个网孔，沿着网孔内流动的电流Ia、Ib、Ic就是假想的网孔电流。网孔电流只在各自的网孔内流动，彼此各自独立无关。2.2网孔电流法

2.2.1图2-3网孔电流电路图2-3网孔电流电路从图2-3可以看出支路电流与网孔电流的关系[HJ*5/9]

I1=Ia

I2=Ia+Ic

I3=Ic

I4=Ib

I5=Ia－Ib

I6=Ib+Ic

从图2-3可以看出支路电流与网孔电流的关系[HJ*5/92.2.2网孔电流方程

下面以图2-3所示电路为例列KVL方程

R1Ia+R5Ia+R2Ia－R5Ib+R2Ic－US1=0

R4Ib+R6Ib+R5Ib－R5Ia+R6Ic=0

R3Ic+R6Ic+R2Ic+R6Ib+R2Ia－US2=02.2.2网孔电流方程

下面以图2-3所示电路整理后可进一步写为

(2-1）式(2-1)中，R11,R22,R33分别代表三个网孔的自阻之和，R11=R1+R5+R2，R22=R4+R5+R6，R33=R2+R3+R6，R12,R21,R13,R31,R23,R32为三个网孔的公共电阻，称为互阻。整理后可进一步写为

(2-1）式(2-1)中，R1把上述结论推广到具有m个网孔的平面电路时，独立方程应为m个，即

(2-2）式（2-2）中，I1、I2、…、Im为网孔电流，R11、R22、…、Rmm为各自网孔的自阻，自阻总是正的。其他电阻为互阻（两个相关网孔的公共电阻）。把上述结论推广到具有m个网孔的平面电路时，独立方程应［例2-3］电路如图2-4所示,应用网孔电流法求各支路电流。图2-4例2-3的电路［例2-3］电路如图2-4所示,应用网孔电流［解］指定网孔电流I1、I2、I3的参考方向如图2-4所示。列出网孔电流方程

(2+3)I1－3I2=12

－3I1+(3+3+5)I2－5I3=－8

－5I2+(5+1.5)I3=8

解方程可得

I1=3A,I2=1A,I3=2A［解］指定网孔电流I1、I2、I3的参考方向则各支路电流为

则各支路电流为

［例2-4］电路如图2-5所示，应用网孔电流法求各支路电流。

［解］指定网孔电流I1、I2、I3的参考方向如图2-5所示。将电流源两端电压U也作为变量，列出网孔电流方程

2I1－2I2=12－U

－3I2+(3+1)I3=6+U［例2-4］电路如图2-5所示，应用网孔电流图2-5例2-4的电路图2-5例2-4的电路解上面的三个方程得I1=7A，I3=6A,U=6V,则各支路电流为解上面的三个方程得I1=7A，I3=6A,U=6由上所述，将网孔电流法求支路电流的具体步骤归纳

如下：

(1)选定各个网孔电流的参考方向，它同时也是回路绕行方向。

(2）根据式（2-2）列网孔电流方程，自阻总是正的，互阻的正负要看公共电阻上的两网孔电流的方向是否一致。

(3）解方程组，求解网孔电流。由上所述，将网孔电流法求支路电流的具体步骤归纳

如下(4）指定支路电流参考方向，通过相关网孔电流的代数和求解各支路电流。

(5）如果电路中存在电流源与电阻并联，可以先转化为电压源与电阻的串联后再列网孔电流方程。

(6）如果电路中的电流源没有电阻并联，可以根据电流源的电流与网孔电流的关系，也可以将电流源的电压作为未知量列补充方程求解。(4）指定支路电流参考方向，通过相关网孔电流的代数

2.3节点电压法

支路电流法直接利用支路电流作为未知量，有m条支路就需要列出m个方程，网孔电流法虽然可以减少n－1个方程，但是当电路的节点较少，网孔较多时也会比较烦琐，

节点电压法就是针对这种情况提出的一种改进分析法。2.3节点电压法

支路电流法直接如图2-6所示的电路有3个节点和4个网孔支路。若用网孔电流法需要列出4个方程，比较繁琐。选0为参考节点，设V0=0V，根据图示参考方向，由KCL和欧姆定律可得如下

公式

对节点1

I1+I2=I3+I4

对节点2

I4=I5+IS

如图2-6所示的电路有3个节点和4个网孔支路。若用网孔图2-6节点电压法电路图2-6节点电压法电路各支路电流各支路电流整理得：

节点1节点2这就是以节点电压U1、U2为未知量的节点电压方程。上式还可进一步写为整理得：

节点1节点2这就是以节点电压U1、U(2-3）其中,G11=G1+G2+G3+G4为与节点1相连的各支路电导的代数和，称为节点1的自导，G22=G4+G5为与节点2相连的各支路电导的代数和，称为节点2的自导，G12=G21=－G4为节点1、2间的互导。(2-3）其中,G11=G1+G2+G3+G4为与节点1把上述结论推广到具有n个节点的电路时，节点方程(2-4）把上述结论推广到具有n个节点的电路时，节点方程(2-［例2-5］电路如图2-7所示，应用节点电压法求各支路电流。图2-7例2-5的电路［例2-5］电路如图2-7所示，应用节点电压［解］选定0为参考节点，参考电压为0V。对节点1和2列节点电压方程整理得

0.5U1－0.1U2=2，－0.1U1+0.3U2=8解得

U1=10V,U2=30V［解］选定0为参考节点，参考电压为0V。根据欧姆定律，各支路电流为根据欧姆定律，各支路电流为当电路中某些支路只有电压源而没有电阻与其串联时，无法将其等效为电流源和电阻并联，在这种情况下：

（1）将电压源的一端作为参考节点，则电压源的另外一个节点的节点电压就为该电压源的电压。

（2）将电压源一端的电流作为未知量，增加一个节点电压与该理想电压源之间的约束关系，列出一个补充方程，这样独立方程的个数和未知数相等，即可解出各未知量。当电路中某些支路只有电压源而没有电阻与其串联时，无法［例2-6］电路如图2-8所示，应用节点电压法求各支路电流。

［解］选取节点0为参考节点，则支路30中电压源电压为已知，即U3=10V，因此不必对节点3列电压方程。设6V电压源的电流为I1。［例2-6］电路如图2-8所示，应用节点电压图2-8例2-6的电路图2-8例2-6的电路对节点1和2列节点电压方程：对节点1和2列节点电压方程：整理得

解得

U1=2V,U2=8V,I1=7A整理得

解得

U1=2V,U2=根据欧姆定律，各支路电流为根据欧姆定律，各支路电流为由上所述，将节点电压法求支路电流的具体步骤归纳

如下：

(1)选定参考点，一般设参考点电压为0V，其余各节点电压的参考方向均指向参考点。

(2）根据式（2-4）列节点方程，自导总是正的，互导总是负的。如果电路中存在电压源与电阻串联的支路，将其转化为电流源与电阻并联，流入该节点的电流取正号，流出取负号。由上所述，将节点电压法求支路电流的具体步骤归纳

如下(3）如果支路中的电压源没有电阻串联，将电压源一端的电流作为未知量，增加一个节点电压与该理想电压源之间的约束关系，列出一个补充方程求解。

(4）解方程组，求出各节点电压。

(5）指定支路电流的参考方向，通过欧姆定律和KCL求解各支路电流。(3）如果支路中的电压源没有电阻串联，将电压源一端2.4叠加定理

［例2-7］电路如图2-9(a)所示。R1=R2=8Ω，R3=4Ω,US1=US2=12V，IS=2A,求电路中通过R3的电流IL。

［解］电路中共有三个电源。先考虑电流源单独作用，此时电压源视为短路，如图2-9(b)所示。2.4叠加定理

［例2-7］图2-9例2-7的电路图2-9例2-7的电路由图2-9(b)可知

R1∥R2∥R3=2Ω

则再考虑两个电压源单独作用，此时电流源视为开路，如图2-9(c)所示。由图2-9(b)可知

R1∥R2∥R3=2由图2-9(c)可知叠加后得由图2-9(c)可知叠加后得［例2-8］电路如图2-10(a)所示，求电压U1。图2-10例2-8的电路［例2-8］电路如图2-10(a)所示，求电压［解］这是一个含有受控源的电路。按叠加定理，分别作出电流源单独作用的电路如图2-10(b)所示，电压源单独作用的电路如图2-10(c)所示。

在图2-10(b)和图2-10(c)中，都将受控电压源保留在了原处，相应的控制量分别标为I′和I″。

对于图2-10(b)，根据基尔霍夫电流定律，可列出节点电流方程［解］这是一个含有受控源的电路。按叠加定理，解得

I′=－0.6A

对于图2-10(c)，根据基尔霍夫电压定律，可列出回路电压方程

2I″+I″+2I″－10=0

解得

I″=2A

则有

I=I′+I″=1.4A解得

I′=－0.6A

使用叠加定理时应注意以下几点：

（1）叠加定理只适用于分析计算线性电路中的电压和电流，不适用于直接计算功率。

（2）叠加定理是反映电路中理想电压源或理想电流源所产生的响应，而不是实际电源所产生的响应，所以实际电源的内阻必须保留在原处。使用叠加定理时应注意以下几点：

（1）叠（3）叠加时应注意原电路中各电压和电流的参考方向。以原电路中电压和电流的参考方向为准，求其代数和。分

电压和分电流的参考方向与其一致时取正号，不一致时取

负号。

（4）每个电源单独作用时，不要改变电路的结构。不用的恒压源短路，不用的恒流源开路。（3）叠加时应注意原电路中各电压和电流的参考方向。以2.5戴维南定理与诺顿定理

2.5.1戴维南定理

任何一个具有两个端点与外部相连接的电路，均为二端网络。如果二端网络中含有电流源或电压源，则被称为有源二端网络，不含电源的则被称为无源二端网络。图2-11(a)、(b)所示的两个网络都是已知电路结构的二端网络。图2-11(a)是无源二端网络，图2-11(b)是有源二端网络。2.5戴维南定理与诺顿定理

2.5.1图2-11无源二端网络和有源二端网络图2-11无源二端网络和有源二端网络用戴维南定理解题的步骤如下：

（1）将待求电流或电压的支路从电路中抽出作为负载，将剩余部分有源二端网络等效为一个电压源。

（2）求有源二端网络的两端点间开路电压U0，作为等效电压源的电动势，注意其参考方向。

（3）计算有源二端网络“除源”（恒压源短路、恒流源开路）后所得到的无源二端网络的等效电阻，作为等效电压源的内阻R0。

（4）将等效的电压源与负载连接成整体，用欧姆定律求电流或电压。用戴维南定理解题的步骤如下：

（1）将待［例2-9］试用戴维南定理求解例2-1中通过电阻R的电流I。图2-12例2-9的电路［例2-9］试用戴维南定理求解例2-1中通过电阻［解］根据戴维南定理，将所求支路移开，电路如图2-12（a）所示。

（1）其理想电压源的电动势E为A、B两端的开路电压U0

故

E=U0=R2I2+E2=10×1+40=50V［解］根据戴维南定理，将所求支路移开，电(2）内阻R0为A、B两端无源网络的入端电阻，这可由图2-12(b)求得。

图2-12(b)中（3）戴维南等效电路如图2-12(c)所示。通过电阻R的电流为(2）内阻R0为A、B两端无源网络的入端电阻，这［例2-10］电路如图2-13(a)所示，已知R1=4Ω，R2=8Ω，R3=2Ω，R4=4Ω，R5=4Ω，求通过电阻R5的电流I5。

［解］根据戴维南定理，将所求支路移开，电路可以改画为图2-13（a）。［例2-10］电路如图2-13(a)所示，已知图2-13例2-10的电路图2-13例2-10的电路（1）其理想电压源的电动势为A、B两端的开路电压U0，如图2-13（b）所示。

故

U0=R2I1－R3I2=8×1－2×2=4V（1）其理想电压源的电动势为A、B两端的开路电压U0（2）内阻R0为B、D两端无源网络的入端电阻，这可由图2-14(a)求得。

图2-14(a)中（3）戴维南等效电路如图2-14(b)所示（2）内阻R0为B、D两端无源网络的入端电阻，这可图2-14例2-10的电路图2-14例2-10的电路由图2-14(b)所示，需U0=0，由图2-13(b)可知则于是由图2-14(b)所示，需U0=0，由图2-132.5.2诺顿定理

利用戴维南定理可以将有源二端网络用电压源来等效代替，而电压源与电流源可以等效变换，因此有源二端网络也可用电流源来等效代替。如图2-15所示，图2-15(a)的二端

网络可以变换成图2-15(b)的电流源。图2-15(b)中的IS=U/R0

即为网络的短路电流。这一关系可用诺顿定理叙述为：2.5.2诺顿定理

利用戴维南定理可以将有源二图2-15诺顿定理等效电路图图2-15诺顿定理等效电路图用诺顿定理解题的步骤与戴维南定理类似：

（1）将待求电流或电压的支路从电路中抽出作为负载，将剩余部分有源二端网络等效为一个电流源。

（2）将待求支路（负载）短路，求有源二端网络的短路电流IS，作为等效电流源中的恒定电流。

（3）计算有源二端网络“除源”（恒压源短路、恒流源开路）后所得到的无源二端网络的等效电阻，作为等效电流源的内阻R0。

（4）将等效的电流源与负载连接成整体，用欧姆定律求电流或电压。用诺顿定理解题的步骤与戴维南定理类似：

（［例2-11］用诺顿定理计算例2-10中流过R5的电流I5。图2-16例2-11的图［例2-11］用诺顿定理计算例2-10中流过R5［解］图2-16可以用图2-17所示的等效电路来表示。图2-17例2-11的电路［解］图2-16可以用图2-17所示的等效电路来（1）电流源的电流。如图2-16（a）所示（2）将电压源短路后，如图2-16（b）所示（3）诺顿等效电路如图2-17所示，则有（1）电流源的电流。如图2-16（a）所示（2）将2.5.3最大功率输出

根据戴维南定理，任何有源二端网络都可以用图2-18所示的电路等效。在电子测量线路中，电子设备所用电源不管内部电路多么复杂，对负载来说就是一个含源二端网络。

当负载不同时，它输出的功率也不同。在电子线路里人们总是希望使负载能获得较大的功率，那在什么样的条件下负载才能够获得较大的输出功率呢？2.5.3最大功率输出

根据戴维南定理，任图2-18最大功率传输图2-18最大功率传输如图2-18（b）所示的等效电路，负载RL从电源获得的功率为功率P为负载RL的函数。在RL=0时，P=0；RL→∞时，电流为0，功率P=0，可见RL从0增加的过程中，获得的功率必然有最大值。如图2-18（b）所示的等效电路，负载RL从电源获得对上式求导当dP／dR=0时，功率有最大值，即R0=RL时，负载获得最大功率。最大功率公式为(2-5）对上式求导当dP／dR=0时，功率有最大值，即R［例2-12］如图2-19所示电路，U=12V，R1=R2=2Ω,负载何时获得最大功率？最大功率等于多少？电源的传输效率有多大？

［解］将图2-19（a）虚线框中的网络用戴维南等效电路表示，如图2-19（b）所示。

负载开路时电压为［例2-12］如图2-19所示电路，U=12V电压源短路时，戴维南等效电路内阻为

R0=R1∥R2=1Ω

则当RL=R0=1Ω时,获得功率最大。电压源短路时，戴维南等效电路内阻为

R在图2-19（a）中，电压源的输出电流为电源输出效率为在图2-19（a）中，电压源的输出电流为电源输出效率

本章小结

(1)支路电流法是求解电路的最基本的方法。它以支路电流为待求量，应用基尔霍夫定律列出电路方程。当电路有n个节点、m条支路时，可列n－1个独立的电流方程，然后

根据网孔可列出m－n+1个独立的电压方程，联立成为m个独立的方程组，即可解出m个支路电流。本章小结

(1)支路电流(2)网孔电流法，以网孔电流为未知量，当电路有n个

节点、m条支路时，可以列m－（n－1）个网孔的KVL方程，联立求解出网孔电流，然后根据网孔电流与支路电流的关系，求出支路电流。在节点多、回路少的电路里非常简捷。(2)网孔电流法，以网孔电流为未知量，当电路有(3)节点电压法，以节点电压为未知量，当电路有n个节点、m条支路时，可以列n－1个节点电压方程，联立求解出节点电压，然后根据节点电压与支路电流的关系，求出支路

电流。在节点少、回路多的电路里非常简捷。(3)节点电压法，以节点电压为未知量，当电路有(4)叠加定理反映了线性电路的基本性质。在线性电路中，多个独立电源（电压源或电流源）同时作用时，在任一支路产生的电压或电流，等于这些电源单独作用在该支路所

产生电压或电流的代数和。(4)叠加定理反映了线性电路的基本性质。在线性电路中(5)戴维南定理：任何一个有源二端线性网络都可以用一个电动势为E的理想电压源和内阻R0串联的有源支路来等效代替，而对外电路的作用不变。戴维南定理常用于求解

某一支路的电流。

(6)诺顿定理：任何一个有源二端线性网络都可以用一个电流为IS的理想电流源和内阻R0并联的有源支路来等效代替。(5)戴维南定理：任何一个有源二端线性网络都可以用思考题与习题

2-1电路如图2-20所示。

（1）说明电路的独立节点数和独立回路数；

（2）选出一组独立节点和独立回路，列出∑I=0和∑U=0的方程。思考题与习题

2-1电路如图2-20图2-20习题2-1的图图2-20习题2-1的图2-2如图2-21所示电路，试用支路电流法求电流I。图2-21习题2-2的图2-2如图2-21所示电路，试用支路电流法求2-3在图2-22所示电路中，US1=12V，US2=8V，

R1=8Ω，R2=4Ω,R3=2Ω,试用电源模型的等效变换求R3中的电流，并验证功率平衡。图2-22习题2-3的图2-3在图2-22所示电路中，US1=122-4电路如图2-23所示，已知E1=8V，E2=4V，E3=4V，R1=2Ω，R2=2Ω，R3=1Ω，求各支路电流。图2-23习题2-4的图2-4电路如图2-23所示，已知E1=8V2-5试用支路电流法求图2-24所示电路中的电流I1、I2。已知E1=12V,E2=4V,电阻R1=R2=2Ω,R3=1Ω。图2-24习题2-5的图2-5试用支路电流法求图2-24所示电路中的电流2-6用网孔电流法求图2-25所示电路中的各支路电流。图2-25习题2-6的图2-6用网孔电流法求图2-25所示电路中的各支路2-7试用网孔电流法求图2-26电流I。图2-26习题2-7的图2-7试用网孔电流法求图2-26电流I。图22-8试用节点电压法重求上题中的电流I。

2-9试用节点电压法求图2-27所示电路中各支路电流。图2-27习题2-9的图2-8试用节点电压法重求上题中的电流I。

2-10试用节点电压法求图2-28所示电路中的各节点电压。图2-28习题2-10的图2-10试用节点电压法求图2-28所示电路中的各2-11试用叠加定理重解习题2-7。

2-12试用叠加定理求解图2-29所示电路中的电流I。图2-29习题2-12的图2-11试用叠加定理重解习题2-7。

22-13画出图2-30所示电路的戴维南等效电路。图2-30习题2-13的图2-14试用戴维南定理求图2-29所示电路中的电流I。2-13画出图2-30所示电路的戴维南等效电路。2-15试用戴维南定理求图2-31所示电路中的电流I。图2-31习题2-15的图2-15试用戴维南定理求图2-31所示电路中的电2-16在图2-32所示电路中，求RL为多大时，它吸收的功率最大，并求此最大功率。图2-32习题2-16的图2-16在图2-32所示电路中，求RL为多大2-17电路如图2-33所示，

（1）用戴维南定理求I；

（2）求A点电位；

（3）求恒流源的功率，判断它是电源还是负载。2-17电路如图2-33所示，

（1）图2-33习题2-17的图图2-33习题2-17的图第2章电路的分析方法2.1支路电流法2.2网孔电流法2.3节点电压法2.4叠加定理2.5戴维南定理与诺顿定理本章小结思考题与习题第2章电路的分析方法2.1支路电流法2.1支路电流法

支路电流法的解题步骤如下：

(1)首先假定各支路电流的参考方向和绕行方向。

(2)如果电路有n个节点，根据基尔霍夫电流定律列出

n－1个独立的节点电流方程。

（3）如果电路有m条支路，根据基尔霍夫电压定律列出m－n+1个独立的回路电压方程。

（4）联立m个独立方程n－1+m－n+1=m，解方程组，求出m个支路电流。2.1［例2-1］电路如图2-1所示，已知E1=70V，R1=20Ω，E2=40V,R2=10Ω，R=10Ω。试求各支路电流及各电源的功率。［解］先假定各支路电流的参考方向如图2-1所示。

根据基尔霍夫电流定律∑IK=0，列出节点电流方程。

图2-1所示的电路共有A和B两个节点。

对于节点A

I1+I3－I2=0（1）

对于节点B

I2－I1－I3=0

［例2-1］电路如图2-1所示，已知E1=70图2-1例2-1的电路图2-1例2-1的电路将节点A的方程乘以－1，就是节点B的方程，因此，节点A与节点B的方程只有一个是独立的。对于节点电流方程，若电路有n个节点，则可以列出n－1个独立的节点电流方程。根据基尔霍夫电压定律∑RKIK=∑Ej，列出回路电压方程。同样，所列的回路电压方程应该是独立的，为此，选定的每一个回路必须至少包含一条新的支路。

选定回路Ⅰ和回路Ⅱ的循行方向如图2-1所示。

对于回路ⅠR1I1－RI3=E1（2）

对于回路ⅡRI3+R2I2=E2（3）将节点A的方程乘以－1，就是节点B的方程，因此，将回路Ⅰ和回路Ⅱ的电压方程分别记作（2）式和（3）式。

本例中共有三条支路，相应的有三个待求电流I1、I2和I3，为了使待求的支路电流能够求解，需要三个独立的方程。联立（1）式、（2）式和（3）式，代入数据，解方程组，求出支路电流。

I1+I3－I2=0

20I1－10I3=70

10I3+10I2=－40将回路Ⅰ和回路Ⅱ的电压方程分别记作（2）式和（3）式。

解得

I1=2A,I2=－1A,I3=－3A

电压源E1吸收的功率为

P1=－E1I1=－70×2=－140W

电压源E2吸收的功率为

P2=E2I2=40×(－1)=－40W

三个电阻上消耗的功率分别为

I21R1=80W

I22R2=10W

I23R=90W解得

［例2-2］电路如图2-2所示，已知E1=8V，R1=10Ω，E2=4V，R2=10Ω，IS=1A，求电路中各电源的功率及两电阻吸收的功率。

［解］假定各支路电流及电流源端电压的参考方向如图2-2所示。

根据基尔霍夫电流定律得

I1+IS－I2=0（1）

选定回路Ⅰ和回路Ⅱ的循行方向如图2-2所示。［例2-2］电路如图2-2所示，已知E1=8图2-2例2-2的电路图2-2例2-2的电路根据基尔霍夫电压定律得:

回路Ⅰ

R1I1+U－E1=0（2）

回路Ⅱ

R2I2+E2－U=0（3）

联立方程（1）、（2）、（3），代入数据

I1+1－I2=0

10I1+U－8=0

10I2+4－U=0根据基尔霍夫电压定律得:

回路Ⅰ

R解方程组得

I1=－0.3A,I2=0.7A,U=11V

电压源E1吸收的功率为

P1=－E1I1=－8×(－0.3)=2.4W

电压源E2吸收的功率为

P2=E2I2=4×0.7=2.8W

电流源IS吸收的功率为

PS=－UIS=－11×1=－11W（实为发出功率）

两电阻吸收的功率为

P=I21R1+I22R2=(－0.3)2×10+0.72×10=5.8W

解方程组得

2.2网孔电流法

2.2.1网孔电流

网孔电流实际上是一种假想电流，所谓网孔是指平面电路（画在平面上不出现支路交叉的电路）中的一个回路，在它所包围的范围内不存在其他支路，如图2-3所示：有三

个网孔，沿着网孔内流动的电流Ia、Ib、Ic就是假想的网孔电流。网孔电流只在各自的网孔内流动，彼此各自独立无关。2.2网孔电流法

2.2.1图2-3网孔电流电路图2-3网孔电流电路从图2-3可以看出支路电流与网孔电流的关系[HJ*5/9]

I1=Ia

I2=Ia+Ic

I3=Ic

I4=Ib

I5=Ia－Ib

I6=Ib+Ic

从图2-3可以看出支路电流与网孔电流的关系[HJ*5/92.2.2网孔电流方程

下面以图2-3所示电路为例列KVL方程

R1Ia+R5Ia+R2Ia－R5Ib+R2Ic－US1=0

R4Ib+R6Ib+R5Ib－R5Ia+R6Ic=0

R3Ic+R6Ic+R2Ic+R6Ib+R2Ia－US2=02.2.2网孔电流方程

下面以图2-3所示电路整理后可进一步写为

(2-1）式(2-1)中，R11,R22,R33分别代表三个网孔的自阻之和，R11=R1+R5+R2，R22=R4+R5+R6，R33=R2+R3+R6，R12,R21,R13,R31,R23,R32为三个网孔的公共电阻，称为互阻。整理后可进一步写为

(2-1）式(2-1)中，R1把上述结论推广到具有m个网孔的平面电路时，独立方程应为m个，即

(2-2）式（2-2）中，I1、I2、…、Im为网孔电流，R11、R22、…、Rmm为各自网孔的自阻，自阻总是正的。其他电阻为互阻（两个相关网孔的公共电阻）。把上述结论推广到具有m个网孔的平面电路时，独立方程应［例2-3］电路如图2-4所示,应用网孔电流法求各支路电流。图2-4例2-3的电路［例2-3］电路如图2-4所示,应用网孔电流［解］指定网孔电流I1、I2、I3的参考方向如图2-4所示。列出网孔电流方程

(2+3)I1－3I2=12

－3I1+(3+3+5)I2－5I3=－8

－5I2+(5+1.5)I3=8

解方程可得

I1=3A,I2=1A,I3=2A［解］指定网孔电流I1、I2、I3的参考方向则各支路电流为

则各支路电流为

［例2-4］电路如图2-5所示，应用网孔电流法求各支路电流。

［解］指定网孔电流I1、I2、I3的参考方向如图2-5所示。将电流源两端电压U也作为变量，列出网孔电流方程

2I1－2I2=12－U

－3I2+(3+1)I3=6+U［例2-4］电路如图2-5所示，应用网孔电流图2-5例2-4的电路图2-5例2-4的电路解上面的三个方程得I1=7A，I3=6A,U=6V,则各支路电流为解上面的三个方程得I1=7A，I3=6A,U=6由上所述，将网孔电流法求支路电流的具体步骤归纳

如下：

(1)选定各个网孔电流的参考方向，它同时也是回路绕行方向。

(2）根据式（2-2）列网孔电流方程，自阻总是正的，互阻的正负要看公共电阻上的两网孔电流的方向是否一致。

(3）解方程组，求解网孔电流。由上所述，将网孔电流法求支路电流的具体步骤归纳

如下(4）指定支路电流参考方向，通过相关网孔电流的代数和求解各支路电流。

(5）如果电路中存在电流源与电阻并联，可以先转化为电压源与电阻的串联后再列网孔电流方程。

(6）如果电路中的电流源没有电阻并联，可以根据电流源的电流与网孔电流的关系，也可以将电流源的电压作为未知量列补充方程求解。(4）指定支路电流参考方向，通过相关网孔电流的代数

2.3节点电压法

支路电流法直接利用支路电流作为未知量，有m条支路就需要列出m个方程，网孔电流法虽然可以减少n－1个方程，但是当电路的节点较少，网孔较多时也会比较烦琐，

节点电压法就是针对这种情况提出的一种改进分析法。2.3节点电压法

支路电流法直接如图2-6所示的电路有3个节点和4个网孔支路。若用网孔电流法需要列出4个方程，比较繁琐。选0为参考节点，设V0=0V，根据图示参考方向，由KCL和欧姆定律可得如下

公式

对节点1

I1+I2=I3+I4

对节点2

I4=I5+IS

如图2-6所示的电路有3个节点和4个网孔支路。若用网孔图2-6节点电压法电路图2-6节点电压法电路各支路电流各支路电流整理得：

节点1节点2这就是以节点电压U1、U2为未知量的节点电压方程。上式还可进一步写为整理得：

节点1节点2这就是以节点电压U1、U(2-3）其中,G11=G1+G2+G3+G4为与节点1相连的各支路电导的代数和，称为节点1的自导，G22=G4+G5为与节点2相连的各支路电导的代数和，称为节点2的自导，G12=G21=－G4为节点1、2间的互导。(2-3）其中,G11=G1+G2+G3+G4为与节点1把上述结论推广到具有n个节点的电路时，节点方程(2-4）把上述结论推广到具有n个节点的电路时，节点方程(2-［例2-5］电路如图2-7所示，应用节点电压法求各支路电流。图2-7例2-5的电路［例2-5］电路如图2-7所示，应用节点电压［解］选定0为参考节点，参考电压为0V。对节点1和2列节点电压方程整理得

0.5U1－0.1U2=2，－0.1U1+0.3U2=8解得

U1=10V,U2=30V［解］选定0为参考节点，参考电压为0V。根据欧姆定律，各支路电流为根据欧姆定律，各支路电流为当电路中某些支路只有电压源而没有电阻与其串联时，无法将其等效为电流源和电阻并联，在这种情况下：

（1）将电压源的一端作为参考节点，则电压源的另外一个节点的节点电压就为该电压源的电压。

（2）将电压源一端的电流作为未知量，增加一个节点电压与该理想电压源之间的约束关系，列出一个补充方程，这样独立方程的个数和未知数相等，即可解出各未知量。当电路中某些支路只有电压源而没有电阻与其串联时，无法［例2-6］电路如图2-8所示，应用节点电压法求各支路电流。

［解］选取节点0为参考节点，则支路30中电压源电压为已知，即U3=10V，因此不必对节点3列电压方程。设6V电压源的电流为I1。［例2-6］电路如图2-8所示，应用节点电压图2-8例2-6的电路图2-8例2-6的电路对节点1和2列节点电压方程：对节点1和2列节点电压方程：整理得

解得

U1=2V,U2=8V,I1=7A整理得

解得

U1=2V,U2=根据欧姆定律，各支路电流为根据欧姆定律，各支路电流为由上所述，将节点电压法求支路电流的具体步骤归纳

如下：

(1)选定参考点，一般设参考点电压为0V，其余各节点电压的参考方向均指向参考点。

(2）根据式（2-4）列节点方程，自导总是正的，互导总是负的。如果电路中存在电压源与电阻串联的支路，将其转化为电流源与电阻并联，流入该节点的电流取正号，流出取负号。由上所述，将节点电压法求支路电流的具体步骤归纳

如下(3）如果支路中的电压源没有电阻串联，将电压源一端的电流作为未知量，增加一个节点电压与该理想电压源之间的约束关系，列出一个补充方程求解。

(4）解方程组，求出各节点电压。

(5）指定支路电流的参考方向，通过欧姆定律和KCL求解各支路电流。(3）如果支路中的电压源没有电阻串联，将电压源一端2.4叠加定理

［例2-7］电路如图2-9(a)所示。R1=R2=8Ω，R3=4Ω,US1=US2=12V，IS=2A,求电路中通过R3的电流IL。

［解］电路中共有三个电源。先考虑电流源单独作用，此时电压源视为短路，如图2-9(b)所示。2.4叠加定理

［例2-7］图2-9例2-7的电路图2-9例2-7的电路由图2-9(b)可知

R1∥R2∥R3=2Ω

则再考虑两个电压源单独作用，此时电流源视为开路，如图2-9(c)所示。由图2-9(b)可知

R1∥R2∥R3=2由图2-9(c)可知叠加后得由图2-9(c)可知叠加后得［例2-8］电路如图2-10(a)所示，求电压U1。图2-10例2-8的电路［例2-8］电路如图2-10(a)所示，求电压［解］这是一个含有受控源的电路。按叠加定理，分别作出电流源单独作用的电路如图2-10(b)所示，电压源单独作用的电路如图2-10(c)所示。

在图2-10(b)和图2-10(c)中，都将受控电压源保留在了原处，相应的控制量分别标为I′和I″。

对于图2-10(b)，根据基尔霍夫电流定律，可列出节点电流方程［解］这是一个含有受控源的电路。按叠加定理，解得

I′=－0.6A

对于图2-10(c)，根据基尔霍夫电压定律，可列出回路电压方程

2I″+I″+2I″－10=0

解得

I″=2A

则有

I=I′+I″=1.4A解得

I′=－0.6A

使用叠加定理时应注意以下几点：

（1）叠加定理只适用于分析计算线性电路中的电压和电流，不适用于直接计算功率。

（2）叠加定理是反映电路中理想电压源或理想电流源所产生的响应，而不是实际电源所产生的响应，所以实际电源的内阻必须保留在原处。使用叠加定理时应注意以下几点：

（1）叠（3）叠加时应注意原电路中各电压和电流的参考方向。以原电路中电压和电流的参考方向为准，求其代数和。分

电压和分电流的参考方向与其一致时取正号，不一致时取

负号。

（4）每个电源单独作用时，不要改变电路的结构。不用的恒压源短路，不用的恒流源开路。（3）叠加时应注意原电路中各电压和电流的参考方向。以2.5戴维南定理与诺顿定理

2.5.1戴维南定理

任何一个具有两个端点与外部相连接的电路，均为二端网络。如果二端网络中含有电流源或电压源，则被称为有源二端网络，不含电源的则被称为无源二端网络。图2-11(a)、(b)所示的两个网络都是已知电路结构的二端网络。图2-11(a)是无源二端网络，图2-11(b)是有源二端网络。2.5戴维南定理与诺顿定理

2.5.1图2-11无源二端网络和有源二端网络图2-11无源二端网络和有源二端网络用戴维南定理解题的步骤如下：

（1）将待求电流或电压的支路从电路中抽出作为负载，将剩余部分有源二端网络等效为一个电压源。

（2）求有源二端网络的两端点间开路电压U0，作为等效电压源的电动势，注意其参考方向。

（3）计算有源二端网络“除源”（恒压源短路、恒流源开路）后所得到的无源二端网络的等效电阻，作为等效电压源的内阻R0。

（4）将等效的电压源与负载连接成整体，用欧姆定律求电流或电压。用戴维南定理解题的步骤如下：

（1）将待［例2-9］试用戴维南定理求解例2-1中通过电阻R的电流I。图2-12例2-9的电路［例2-9］试用戴维南定理求解例2-1中通过电阻［解］根据戴维南定理，将所求支路移开，电路如图2-12（a）所示。

（1）其理想电压源的电动势E为A、B两端的开路电压U0

故

E=U0=R2I2+E2=10×1+40=50V［解］根据戴维南定理，将所求支路移开，电(2）内阻R0为A、B两端无源网络的入端电阻，这可由图2-12(b)求得。

图2-12(b)中（3）戴维南等效电路如图2-12(c)所示。通过电阻R的电流为(2）内阻R0为A、B两端无源网络的入端电阻，这［例2-10］电路如图2-13(a)所示，已知R1=4Ω，R2=8Ω，R3=2Ω，R4=4Ω，R5=4Ω，求通过电阻R5的电流I5。

［解］根据戴维南定理，将所求支路移开，电路可以改画为图2-13（a）。［例2-10］电路如图2-13(a)所示，已知图2-13例2-10的电路图2-13例2-10的电路（1）其理想电压源的电动势为A、B两端的开路电压U0，如图2-13（b）所示。

故

U0=R2I1－R3I2=8×1－2×2=4V（1）其理想电压源的电动势为A、B两端的开路电压U0（2）内阻R0为B、D两端无源网络的入端电阻，这可由图2-14(a)求得。

图2-14(a)中（3）戴维南等效电路如图2-14(b)所示（2）内阻R0为B、D两端无源网络的入端电阻，这可图2-14例2-10的电路图2-14例2-10的电路由图2-14(b)所示，需U0=0，由图2-13(b)可知则于是由图2-14(b)所示，需U0=0，由图2-132.5.2诺顿定理

利用戴维南定理可以将有源二端网络用电压源来等效代替，而电压源与电流源可以等效变换，因此有源二端网络也可用电流源来等效代替。如图2-15所示，图2-15(a)的二端

网络可以变换成图2-15(b)的电流源。图2-15(b)中的IS=U/R0

即为网络的短路电流。这一关系可用诺顿定理叙述为：2.5.2诺顿定理

利用戴维南定理可以将有源二图2-15诺顿定理等效电路图图2-15诺顿定理等效电路图用诺顿定理解题的步骤与戴维南定理类似：

（1）将待求电流或电压的支路从电路中抽出作为负载，将剩余部分有源二端网络等效为一个电流源。

（2）将待求支路（负载）短路，求有源二端网络的短路电流IS，作为等效电流源中的恒定电流。

（3）计算有源二端网络“除源”（恒压源短路、恒流源开路）后所得到的无源二端网络的等效电阻，作为等效电流源的内阻R0。

（4）将等效的电流源与负载连接成整体，用欧姆定律求电流或电压。用诺顿定理解题的步骤与戴维南定理类似：

（［例2-11］用诺顿定理计算例2-10中流过R5的电流I5。图2-16例2-11的图［例2-11］用诺顿定理计算例2-10中流过R5［解］图2-16可以用图2-17所示的等效电路来表示。图2-17例2-11的电路［解］图2-16可以用图2-17所示的等效电路来（1）电流源的电流。如图2-16（a）所示（2）将电压源短路后，如图2-16（b）所示（3）诺顿等效电路如图2-17所示，则有（1）电流源的电流。如图2-16（a）所示（2）将2.5.3最大功率输出

根据戴维南定理，任何有源二端网络都可以用图2-18所示的电路等效。在电子测量线路中，电子设备所用电源不管内部电路多么复杂，对负载来说就是一个含源二端网络。

当负载不同时，它输出的功率也不同。在电子线路里人们总是希望使负载能获得较大的功率，那在什么样的条件下负载才能够获得较大的输出功率呢？2.5.3最大功率输出

根据戴维南定理，任图2-18最大功率传输图2-18最大功率传输如图2-18（b）所示的等效电路，负载RL从电源获得的功率为功率P为负载RL的函数。在RL=0时，P=0；RL→∞时，电流为0，功率P=0，可见RL从0增加的过程中，获得的功率必然有最大值。如图2-18（b）所示的等效电路，负载RL从电源获得对上式求导当dP／dR=0时，功率有最大值，即R0=RL时，负载获得最大功率。最大功率公式为(2-5）对上式求导当dP／dR=0时，功率有最大值，即R［例2-12］如图2-19所示电路，U=12V，R1=R2=2Ω,负载何时获得最大功率？最大功率等于多少？电源的传输效率有多大？

［解］将图2-19（a