2023届福建省莆田第一中学高三上学期第一学段考试数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages44页2023届福建省莆田第一中学高三上学期第一学段考试数学试题一、单选题1．已知集合A＝，则A∩B＝（

）A．(0，2] B．(0，2) C．(1，2] D．(0，＋∞)【答案】A【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．【详解】解：∵由，即，解得，所以集合，由当时，，得，所以．故选：A.2．在的展开式中，常数项为（

）A．80 B． C．160 D．【答案】D【分析】根据二项式展开式的特征即可知中间项（第4项）为常数项.【详解】由于互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为，故选：D3．已知函数在区间上的图像连续不断，则“在区间上有零点”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分性、必要性的定义，结合函数零点的定义和零点存在原理进行求解判断即可.【详解】已知函数在区间上的图像连续不断，根据零点存在性定理，若，则在区间上有零点；若有或者，在区间上有零点，但是不成立.故选：B4．为考查A，B两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高条形图：根据图中信息，在下列各项中，说法最佳的一项是（

）A．药物B的预防效果优于药物A的预防效果B．药物A的预防效果优于药物B的预防效果C．药物A，B对该疾病均有显著的预防效果D．药物A，B对该疾病均没有预防效果【答案】B【分析】根据等高条形图中的数据即可得出选项.【详解】根据两个表中的等高条形图知，药物A实验显示不服药与服药时患病差异较药物B实验显示明显大，所以药物A的预防效果优于药物B的预防效果，故选：B．5．已知，则以下不等式正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】A选项，由求出；B选项，对因式分解，结合基本不等式进行求解，得到；C选项，由基本不等式“1”的妙用求解得到，D选项，变形使用基本不等式进行求解.【详解】因为，所以，故，当且仅当时，等号成立，A错误；，因为，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，故，B错误；因为，所以，当且仅当时，等号成立，故，C错误；因为，所以因为，所以，故，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确.故选：D6．已知，，，都是常数，，.若的零点为，，则下列不等式正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数和的图象可得结果.【详解】设，则，则是的两个实根，作出函数和的图象，由图可知，.故选：B7．正多面体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角．如下图是一个正八面体，其每一个面都是边长为2的正三角形，六个顶点都在球O的球面上，则球O与正八面体的体积之比是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设球O的半径是，根据对称性知球O的球心为中间截面的中心，分别求出正八面体和球的体积即可求解.【详解】设球的半径是，根据对称性知球O的球心为中间截面的中心，即正方形ABCD的中心（如图所示），于是，则，故，所以正八面体的体积是，球O的体积是，则.故选：A．8．已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】设，，则，，，在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，由此判断答案．【详解】设，，则，，，在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，当时，，当时，，当时，，由此可以看出，不可能出现这种情况，故选：．二、多选题9．函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】根据原函数的图象、导函数等知识进行分析，从而确定正确答案.【详解】因为，所以.由，可知有两个极值点，且，，不妨设，且，则AC选项错误.所以在区间上，递增；在区间上，递减.BD选项符合.故选：BD10．连续抛掷两次骰子，“第一次抛掷结果向上的点数小于3”记为A事件，“第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数”记为B事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为偶数”记为C事件，“两次抛掷结果向上的点数之和为奇数”记为D事件，则（

）A．A与B互斥 B．C与D互斥C．A与C相互独立 D．B与D一定不相互独立【答案】BC【分析】由已知，根据题意，分别写出事件A、B、C、D包含的基本事件，并计算出概率，然后根据选项一一验证即可做出判断.【详解】因为抛掷一次骰子，包含6个基本事件，事件A表示结果向上的点数为1,2，所以；事件B表示第二次抛掷结果向上的点数为3,6，所以；事件C表示结果向上的点数为（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6），（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18种情况，而抛掷两次骰子共出现36种情况，所以；事件D表示结果向上的点数为（1，2），（1，4），（1，6），（2，1），（2，3），（2，5），（3，2），（3，4），（3，6），（4，1），（4，3），（4，5），（5，2），（5，4），（5，6），（6，1），（6，3），（6，5）共18种情况，而抛掷两次骰子共出现36种情况，所以；选项A，事件A与事件B会同时发生，如第一次抛1，第二次抛3，所以，事件A与事件B不互斥，该选项错误；选项B，由上述事件C和事件D表示的结果可知，，所以事件C与事件D互斥，该选项正确；选项C，，，表示两次抛掷结果向上的点数之和为偶数且第一次抛掷结果向上的点数小于3的概率，共有（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），共6种情况，所以，所以A与C相互独立，该选项正确；选项D，因为，，而表示两次抛掷结果向上的点数之和为奇数且第二次抛掷结果向上的点数是3的倍数的概率，共有（2，3），（4，3），（6，3），（1，6），（3，6），（5，6），共6种情况，所以所以B与D相互独立，该选项错误；故选：BC.11．在正方体中，动点在线段上，则下列说法正确的是（

）A．∥平面B．存在点，使得平面平面C．D．存在点，直线BE与CD所成角为【答案】ACD【分析】利用面面平行的性质，线面垂直的性质，三角形相似，和夹角范围即可判断.【详解】对于A：如图：∥，∥，易证平面∥平面，因为平面，所以∥平面，故A正确对于B：如图：过作的平行线，则平面与平面的交线为，易知平面，所以，所以为平面与平面的夹角，因为点一定在以为直径的圆外故一定为锐角，故B错误对于C：如图，连接和且相交于，易证∽，因为由，，可知，所以，故C正确.对于D：如图：在线段上，因为∥，所以为BE与CD所成角易知,故，故存在在线段上使得，故D正确.故选：ACD12．已知函数的图象既关于点中心对称又关于点中心对称，则（

）A．是周期函数B．是奇函数C．既没有最大值又没有最小值D．函数是周期函数【答案】BCD【分析】根据对称性，结合奇偶性定义证明它是奇函数，判断B，用反证法（反例）说明函数不是周期函数，函数无最值，判断AC，根据周期性定义判断D．【详解】由题意，，因此，所以是奇函数，B正确．例如满足题意，但恒成立，因此在上是增函数，不是周期函数，A错；因为是奇函数，所以若是函数的最小值，则是函数的的最大值，设，则，与是最大值矛盾，因此函数无最大值，同理也无最小值．C正确；是奇函数，，则也是奇函数，的图象关于点和对称，，所以的图象关于对称，同理也关于对称．因此是周期函数，4就是一个周期．D正确．故选：BCD．【点睛】关键点点睛：本题考查函数的奇偶性、周期性，对称性．证明时利用对称性进行函数值与自变量的转换是解题关键．转换的目标是奇偶性与周期性的定义．举反例是说明一个命题不正确的常用方法．三、填空题13．已知空间中三点，，，则点C到直线AB的距离为_________．【答案】【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解．【详解】依题意得，，则点C到直线AB的距离为.故答案为：.14．写出满足的的一个值：______．【答案】（答案不唯一，只要满足或，即可）【分析】运用辅助角公式，结合正弦型函数的性质进行求解即可.【详解】因为，所以，解或，，解得或，．故答案为：15．A、B、C、D四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A和不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.【答案】【分析】根据题意，先安排四位同学参加三科竞赛且每科都有人参加的情况，再去除A和参加同一科的情况即可得答案.【详解】根据题意，若四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，则共有种情况，若四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，且这三科都有人参加，A和参加同一科的有种情况；所以，满足题意的情况共有种.故答案为：.16．定义，若函数，且在区间上的值域为，则的取值范围为_________．【答案】【分析】根据定义作出函数的图像，根据函数值域，求出对应点的坐标，利用数形结合进行判断即可.【详解】根据定义作出函数的图像如图:(实线部分的曲线).其中，即，当时，当或时,由,解得：或;当时，当时,由解得：，当时，，得（舍去）；当时，，得，由图像知,若函数在区间上的值域为，则区间长度的最大值为，最小值为，故的取值范围为.故答案为：四、解答题17．在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题.已知，___________，.（1）求；（2）求.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.【分析】（1）由可得，，若选①，则结合可求出的值，若选②，则利用二倍角公式化简计算可得的值，从而可求得的值，若选③，则利用正切的二倍角公式可求出，再结合可求出的值，然后利用两角和的正弦公式可求得结果，（2）先由已知条件求出，再由求出的值，而，利用两角差的正弦公式可求得结果【详解】（1）∵，∴，，若选①，由得，；若选②，则，∵，∴，则；若选③，则，则由得，则，；∴（2）∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴.18．已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求函数在R上的解析式；(2)是存在非负实数a，，使得当时，函数的值域为?若存在，求出所有a，b的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在【分析】（1）由函数的奇偶性和时的解析式，求出时的解析式及时的函数值，求出答案；（2）首先根据a，为非负实数，确定研究对象为时的解析式，配方后得到，且，从而得到，求出，确定在上单调递减，由函数单调性列出方程，求出a，b的值.【详解】（1）由题意，当时，，则，因为是定义在R上的奇函数，所以，且，综上所述，（2）假设存在这样的a，b符合题意，由题意知，，由（1）知，当时，，当时，，所以，即，故在上单调递减，从而有，解得故存在符合题意．19．近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业．某市统计了该市其中四所大学2021年的毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到如下表格：大学大学大学大学当年毕业人数（千人）3456自主创业人数（千人）0.10.20.40.5(1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；(2)假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴．（ⅰ）若该市大学2021年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给大学选择自主创业的毕业生创业补贴的总金额；（ⅱ）若大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为，，该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求的取值范围．参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为．【答案】(1)(2)（ⅰ）万元（ⅱ）【分析】（1）首先求，再根据参考公式求，，即可求得回归直线方程；（2）（ⅰ）根据（1）的结果，代入，求得，即可求得总金额；（ⅱ）首先列出随机变量X的所有可能值为0，1，2，并求解对应的概率和数学期望，并求，即可求解.【详解】（1）由题意得，

，

所以故得关于的线性回归方程为（2）（ⅰ）将代入,所以估计该市政府需要给大学毕业生选择自主创业的人员发放补贴金总额为（万元）

（ⅱ）设小明、小红两人中选择自主创业的人数为X,则X的所有可能值为0，1，2

，

∴

,故的取值范围为20．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，且AD=PD=1，平面PCD⊥平面ABCD，∠PDC=120°，E为线段PC的中点，F是线段AB上的一个动点.（1）求证:平面DEF⊥平面PBC；（2）设平面CDE与平面EDF的夹角为θ，试判断在线段AB上是否存在这样的点F，使得tanθ=2，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，=.【分析】（1）根据面面垂直的判定定理即可证明结论成立；（2）以为原点，以，，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，用表示出平面的法向量，进而表示出，由，即可得出结果.【详解】（1）证明:∵四边形ABCD是正方形，∴BC⊥DC.∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，∴BC⊥平面PCD.∵DE⊂平面PCD，∴BC⊥DE.∵AD=PD=DC，E为线段PC的中点，∴PC⊥DE.又∵PC∩CB=C，∴DE⊥平面PBC.又∵DE⊂平面DEF，∴平面DEF⊥平面PBC.（2）由（1）知BC⊥平面PCD，∵AD∥BC，∴AD⊥平面PCD.在平面PCD内过点D作DG⊥DC交PC于点G，∴AD⊥DG，故DA，DC，DG两两垂直，以D为原点，DA，DC，DG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.∵CD=PD=1，∠PDC=120°，∴PC=，∵AD⊥平面PCD，则A(1，0，0)，D(0，0，0)，C(0，1，0)，P.又E为PC的中点，∴E，∴=，假设在线段AB上存在这样的点F，使得tanθ=2，设F(1，m，0)(0≤m≤1)，则=(1，m，0)，设平面EDF的法向量为=(x，y，z)，则∴令y=，则z=-1，x=-m，则=(-m，，-1).∵AD⊥平面PCD，∴平面PCD的一个法向量=(1，0，0)，∵tanθ=2，∴cosθ=.∴cosθ=|cos<，>|==，∴m=±.∵0≤m≤1，∴m=，∴=.21．已知某次比赛的乒乓球团体赛采用五场三胜制，第一场为双打，后面的四场为单打.团体赛在比赛之前抽签确定主客队.主队三名选手的一单、二单、三单分别为选手、、，客队三名选手的一单、二单、三单分别为选手、、.比赛规则如下：第一场为双打（对阵）、第二场为单打（对阵）、第三场为单打（对阵）、第四场为单打（对阵）、第五场为单打（对阵）.已知双打比赛中获胜的概率是，单打比赛中、、分别对阵、、时，、、获胜的概率如下表：选手选手(1)求主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛的概率；(2)客队输掉双打比赛后，能否通过临时调整选手为三单、选手为二单使得客队团体赛获胜的概率增大？请说明理由.【答案】(1)(2)能通过临时调整选手为三单、选手为二单使得客队团体赛获胜的概率增大，理由见解析【分析】（1）由“主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛”的事件包含“主队3场全胜”和“客队3场全胜”两类事件求解；（2）剩余四场比赛未调整Y、Z出场顺序的胜负情况分别为：胜胜胜、胜负胜胜、胜胜负胜、负胜胜胜，求得其概率；剩余四场比赛调整Y、Z出场顺序的胜负情况分别为：胜胜胜、胜负胜胜、胜胜负胜、负胜胜胜，求得其概率，比较即可.【详解】（1）解：设“主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛”事件为事件A，则事件A包含“主队3场全胜”和“客队3场全胜”两类事件，“主队3场全胜”的概率为，“客队3场全胜”的概率为，所以，所以主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛的概率为.（2）能，理由如下：设“剩余四场比赛未调整Y、Z出场顺序，客队获胜”为事件M，第二场单打（X对阵A）、第三场单打（Z对阵C）、第四场单打（Y对阵A）、第五场单打（X对阵B）的胜负情况分别为：胜胜胜、胜负胜胜、胜胜负胜、负胜胜胜；则，设“剩余四场比赛调整Y、Z出场顺序，客队获胜”为事件N，第二场单打（X对阵A）、第三场单打（Y对阵C）、第四场单打（Z对阵A）、第五场单打（X对阵B）的胜负情况分别为：胜胜胜、胜负胜胜、胜胜负胜、负胜胜胜；则，因为，所以客队调整选手Y为三单、选手Z