2020-2021学年广东省(惠州一中、汕头金山中学、深圳实验学校)四校高一下学期期中联考数学试题

高中数学高中数学试题试题gm试题试题gm2020-2021学年广东省（惠州一中、汕头金山中学、深圳实验学

校、珠海一中）四校高一下学期期中联考数学试题一、单项选择题1・已知向量a=（i，一i）,b=（—i，t）,且a丄b，则t=1・A.-2B・A.-2B・2C.—1D.12.A.第一象限B・第二象限C・第三象限D.第四象限3.已知z=(n..n)

—cos—+ism—I6，则argz=(2.A.第一象限B・第二象限C・第三象限D.第四象限3.已知z=(n..n)

—cos—+ism—I6，则argz=(D.5n"6"A.A.nB2点F是BC的中点，设AB=a,AC=b，则DF二（）5.A.1311—a+—bb—a+—b42.42c.3a+3b42已知ABCD-AiBiCiDi为正方体，E为BC的中点,则异面直线CB1与de所成角的余弦值<6Vb€D.V10To"设复数z满足2z+-=1+i,则在复平面内z对应的点位于（i6.已知BC=2,AB•AC=2，则△ABC的面积的最大值为（6.A.B.2c.D.3A.B.2c.D.37.已知点A（—2,—1）,B（3,4）,C（—i,i）,D（3,3）,与ab同向的单位向量为e,则向量CD在7.向量AB方向上的投影向量为（）A.3*：5eC.A.3*：5eC.3eD.5e8•已知点E在正方体ABCD-ABCD的侧面AABB内（含边界），F是AA的中点，若TOC\o"1-5"\h\zDE丄CF，则tanZBCE的最小值为（）1A.迈B.巨—1C.\；3—1D.逼^5^5二、多项选择题9•以下是真命题的是（）已知a,b为非零向量，若|a+b|>|a—b，则a与b的夹角为锐角ff—►—►—►—►—►I——►——►I已知a,b,c为两两非共线向量，若a・b=a・c，则a丄9-c丿C・在三角形ABC中，若a・cosA=b・cosB,则三角形ABC是等腰三角形D・若三棱锥的三条侧棱与底面所成的角相等，贝U顶点在底面的垂足是底面三角形的外心10•已知点M为正方体ABCD—ABCD内（含表面）的一点，过点M的平面为a，以下描述1111正确的有（）A.与AA和BC都平行的a有且只有一个111B・过点M至少可以作两条直线与AA和BC所在的直线都相交111与正方体的所有棱所成的角都相等的a有且只有四个过点M可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等11•已知圆锥SO的母线长为2,底面半径为J3,平面SAB为轴截面，点M为底面圆周上一动点（可与点A，B重合），则（）A.三棱锥S—ABM体积的最大值为1B.直线OMB.直线OM与SA所成角的范围为nn6'2C・三角形SAM面积的最大值为^3J2D・三角形SAM为直角三角形时所在平面与底面所成角的正弦值为冷-12.若a,b是两个非零向量，且a=b=九a—b,九e—^/2,则以下可能是b与a+b的夹角的是（）nnn5nA・~B・~C・~D・64312三、填空题TOC\o"1-5"\h\z…小小,a-bsinC13•在MBC中'角A,B,c所对的边分别为a,b,c'已知a-c=而石而'则B-.14•已知a'b是单位向量'且2a+b-5,1),贝|a-b-15•已知三角形ABC的斜二侧画法的直观图是边长为2的正三角形ABc（如图所示）'则CA-CB-・16•在三棱锥D-ABC中'已知平面BCD丄平面ABC,ZCBD-90°,ZBCA-45°,AB-2迈'BD-2'则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为・四、解答题17•已知A(1,1),B(-1,4),C(a,b).若A'B'C三点共线'求a与b满足的关系式；若|AC|-2网|'求点C的坐标.18•如图'已知点A'B'M'N在同一平面内'且AM-2'AB-2^J3'BN-4,ZBAM-30°,ZABN-120°•求MN的长；求△AMN的面积.19•在锐角AABC中'角A'B'C所对的边分别为a'b'C'已知b2-a(a+c).求A的取值范围；若a-1'求b+c的取值范围.(可能会用到的公式：sin3a-3sina-4sin3a、cos3a-4cos3a-3cosa)20•如图'在四棱锥P-ABCD中'AD-2'AB-BC-CD-1,BC//AD,ZPAD-90°,ZPBA为锐角'平面PBA丄平面PBD•(1)证明：PA丄平面ABCD；高中数学高中数学高中数学高中数学试题试题gm试题试题gm⑵若AD与平面PBD所成角的正弦值为寻，求二面角P-BD-C的余弦值・如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，E是PB的中点，过A,D,E的平面a与平面PBC的交线为1.证明：1〃平面PAD；求平面a截四棱锥P-ABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比.如图直角坐标系内，A在半径为1的上半圆上，C(-2,0),△ABC是以A为直角的等腰直角三角形，设ZAOx=a，且0°<a<180°.求CA(用a表示)；求B点的坐标(用a表示)；求HBCO的面积的最大值.参考答案1.答案:C2.答案：A3.答案:B4.答案：B5.答案:D6.答案：C7.答案:B8.答案：A9.答案:BD10.答案:CD11・答案：ABDn13•答案：315•答案：2612•答案：ABC14•答案：甞16•答案：20n17•答案：解:(1)AB=(—2,3),AC=(a—1,b—1),因为A，B，C三点共线，所以AB向量与AC也共线，所以—2(b—1)=3(a—1),所以a与b满足的关系式为3a+2b—5=0•⑵由|AC|=2|AB>⑵由|AC|=2|AB可得AC=2AB，或AC=—2AB,当AC=2AB时，有(a—1,b—1)=2(—2,3)a=—3,b=7；当AC=—2AB时，有(a—1,b—1)=—2(-2,3)a=5,b=—5•所以点C的坐标为(-3,7)或(5,-5).18•答案：解：(1)连BM，在△ABM中，由余弦定理可得,bmfIM27IBT—^AM'ABCOS^=2,(2)S所以ZABM=30。，所以ZMBN=90。，所以MN=x：BM2+BN2=2j5.(2)S=1AB-BN-sinB=1x2、扛x4•乜=6,△ABN△ABNS=AB•AM•sinA=1x2和3x2丄=+'3,△ABM222S=1MB•BN=1x2x4=4,△mbn22所以△AMN的面积为匚所以△AMN的面积为匚ABN—S△ABM—S△mbn19•答案：解：(1)由题意b2=a(a+c)及余弦定理b2=a2+c2—2ac•cosB可得a=c—2acosB,

由正弦定理asinAcsinCbsinB可得sinA=sinC一2sinAcosB=sin由正弦定理asinAcsinCbsinB可得sinA=sinC一2sinAcosB=sin(A+B)-2sinAcosB=sin(B-A),A,Bg(0,nB=2AC=n-3A（2）由（1）可得7sinB+sin3A2sinAcosA+3sinA一4sin3Ab+c=一sinA(nn)1Q2L11)cosA+—g■+,■+—16'4丿412424丿sinAAg9+、-■2,2+6'4丿(1¥5=4cosA+—I4丿420.答案：解：（1）证明：在平面PBA内过A作AE丄PB于E,因为平面PBA丄平面PBD，又平面PBAn平面PBD=PB，所以AE丄平面PBD,・・•BDu平面PBD，所以AE丄BD,过B,C分别作BM、CN丄AD于M、N,易得ZDBA=90。，即AB丄BD,•/ABnAE=A，且AB、AEu平面PBA，所以BD丄平面PBA,•PAu平面PBA,所以BD丄PA，因为PA丄AD,ADnBD=D,PA丄平面ABCD.（2）二面角P-BD-C的平面角与二面角P-BD-A的平面角互补,由（1）可得，ZPBA为二面角P-BD-A的平面角，V,在RtAAED中，ZADE为AD与平面PBD所成的角，由其正弦值为可得AE一上2，因为AB=1，所以BE一込，所以cosZPBA一上2V,^2^2^2

所以二面角P-BD-C的余弦值为—耳.21.答案：解：⑴证明：IAD//BC，所以AD//平面PBC,因为平面a与平面PBC的交线为1，且ADuq,所以AD/〃，因为1匸平面PAD，所以///平面PAD.(2)设1与PC交于F，易得F为PC的中点，连DF，DE，DB，EC，设四棱锥P-ABCD的体积为V，所以VE-ABD=VE-BDC又V=V=2V,・・・VE-BCDD-BECD-EFCD-EFC所以平面a截四棱锥P-ABCD所得的下面部分几何体的体积为f+壬+令=5V，所以上面部分的体积为所以平面a截四棱锥P-ABCD所得的上、下两部分几何体的体积之比为3:5.(2)(法一)设ZACB=0，由余弦定理可得,)，CA=(cosa+2,sina),AC2=5+4cosa，cos0=AC2+34AC由正弦定理可得,由正弦定理可得,sinasin0=—AC=€2ac-sinf4+0]14丿0+並sin0、2=cosa+sina+2x»2acx»2ac-cosB一2=cosa-sina，(n\一-+0-2=72ac-14丿TOC\o"1-5"\h\zP?072.——cos0sin022k22丿B点的坐标为(cosa-sina,cosa+sina+2).(法二)假设此直角坐标系为复