一个多项式问题

个多个多顶式网#题聂子佩裁子佩L姚一隽'姚［】.普楣脚顿大学Z复且大学数学科学潴院200433）中图分类号°°中图分囊文献标识码产畴编号勇"-'•-…一200433文章编号：1005^6416(201»)12-0018-040044202018年中国国家集训队有这样道测208验题题设实数£证明多项式1A（O）K犬诉言C湾*每个根的模均为这道题是根据姚隽提供给第33届CM。的如下问题修改而来的题定义2证明:P⑴=十口W4+…+咤古+唱。的零点均誉剿蜩用上本文将对伺L…本文将对问题的背景和解法展开些讨论1—1满足如下性质当所有的.的模长均大于1或均小于时该多项式恒不为零后来把满足上述性质的多元多项式称为李杨多项式落々】&=="…f=弥•则则所得的元多项式式的零点就均点就均在称为粒圆商上，这称为李一&周1理理这样，廊供给第朋岗C斯的题目就是李杨圆周定理在所有的％为=33时的特例通过研究多元多项式的方法得到李杨圆周想自这类己出土李宁论文和选集中J丁李政道的的背景题是李政道和杨振宁在年发表的篇关于统计浙物论文论文^1中严格证明明的个定理的特例理理描述如下定理对不相等的…/R设㈤定理对不相等的/°"2W设义％£定义。「5则币元玄项式___BQa元多项式七I.'…xnP一一Z收精日期】201810-03Q收稿日期2080082对于/Cu2这类特殊情的的%明是该定W唯告0政不必绕到多元多项式就能证明的特例这点在Heauzamy的年的论文中被提及y…请读者注if般情况中3部分系数气取边界值・1、数骑在紧集上一，数列在紧集上’致收敛的Hjw,定理人第提出这道题的用意之是以此纪念中国人第次得诺贝尔奖°周年2名?£手7攻的一个证明2多元李杨定理的个证明21970年,A岛的。给出了上述关于多元寥项式的定理跖年AR常给出了M述关于多寿多项式的定理的个非常精巧的证明笔者根1时，食蒋一个全缱函

枚时会需要I全纯函hinnAi^demirInnrnnlFlErnnirPn如前所脱.这里的ii证明由文献赠一如前所脱.这里的ii证明由文献赠一3中岛的有关段落整理而来来,•本文证明如下命题ET命尸对彳2,冲-顷"UJ,定义1又共轭考虑满足如下条件■的吟元敬式R肃户构成的集合岛L⑴购的每个单项式具有形式孔形式..!,!弓心\:'：.¥若尸中出现的每个的模长均可均小（2/尹1,则4峋值不为零注意以下三点点.首先，对用\，£〔-］.1］,寥项式a的八气）=罚可广吊0+%）+【+・志A然后，湖集合4申曲两个倒式0巳P0・若必中」出现的A与Rr申出现蝴牝财不相相同则乘积A理最后，帝集合J中的"式耳典有形式尸左宇七其申神，"S（）」，•••，□是表达这式中不含3魄项式遍■当务中出^的所有环模陶小于小时顷程.如M切曲伊根AO的模长均不不/于于1.瑕睬,，=0知.枷+0.当2?=U5时所依肿长脾积」*均不再L早是上述犹玺晋的A吁缩并◦寸坞&换句话说谕以取衲所辙芾的次数最大航（设规硕的项的次数最小的.项的项，A）再用％替换忿，如岫利的关轩线性泌勺务za项式仍然在集合;时那在,瀚手孝■杨定理中的:炳呵知知勤七十气，公3菖）尸项£,L把所有这些多项式全部乘起她一糖•到到少二尹十甘*•"）口）"；6A①航意种次序对每个变元作寸A.咨并得球个属仁W多重线性多项式编每个变元在每个单项式申至段是』次的饥多是-次的.）.楠.标标？^•"〃，•••，.，这这个珍项式中中MU工项在作缩并前对应的漩项，应谖对于丹e［,日I）具有最高可能能次数璘于于口-1），而每个*（人冬々的的次数为零F是，就于是戾科气很.M6）*1j的.厩开式中的逾项而言言：⑴对于'IS-/*%'、亏2+9+贡贡献的因弃为弓粉（」i：J对于i任J,，/食人平」大在_后+抵+i+1贡献的因子为为犀产；（日）袖「芒成，，」6/1蜘+.々%,.{+.,+、］+1贡献的锵子为侦.：（⑵""雀'，萨+“y（二,+二◦+1贡、y（献的因子为这榔JPA的襁麴【】即是之前定义过的6卜丰是,这个多项•式就是原题要求白神的从从a而,他就证明乎门？）•当所有鄙据•的模长均大于于时，］•,由于•1p』&…，w注…"、、」Jj故结论成立3元情况的标准解答'解答-2又字-=隽技",，侦拓）二甫顼''+证明/皿）睥点均在单位圆周上I-..?命题］喻网数学归*.1当「-那一，n=2擀凡=明/=1=*吨」费以*2又卷M的判别妹=飞2“）\¥°・于是,/W徊渤共轭娅,乘积为1•）从而,丽根均在单位圆周上L.设命题对待「成牡.则有.个模长为1

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的复数习，罪•….〃，使使得PM牛口（"）-=必Ly下面考虑n"［的情况葬c：1=堂尸"!_*削禽每一瑚啬系数止成则八P.nl技）=W*",'+'-■=1X（（—）”1+（以E）I）八P.nl技）=W*",'+'-■=1X（（—）”1+（以E）I）i-0°.5寮修「疽羊2.如（如）："广一"*4?」f|+『J4z）.勒：心iih”.E）+ni&f.）.，,】■J-1-由归纳假设设"（.-1°.（）}p（p）/*p”（十卜已（膈）“无解，于是，+又又由“fl,2,•••，◦*」=1=2l2f-Ay,.k-\}.Z-y-\22Ay'Xzj=（主一义一场）・（』宜_“）（戒_方）二（1-E）（|二『=A'z这表明戚②的右边作为复平面上的篓换保持单位圆的内I部和外部不变不变.关式硫"为复平面上的变换交换了单位黑糊部和外部夕嘛顺，财⑴衲的零点只能在单位圆周上b由归纳命题成立立-上面证明的第第.了部分用的是多项式的加I法线性）性质.祚部分用到的是.多项找的乘法（因式分解性质•.（对于中学生而言懒念）

上最为困难的可能是第三部分即复平面上分式线性变换的弱非常初等而漂亮的性质亮的性质，因为题］需要综合运用多项式的各方面J'|白知识，所以.•做做出来的学生几乎没碎.4拓展讨论&4利用巫非初等的潮念网续塞坪确界等等聂会佩通通求米归阙证明了如下I下命题命题2相正整数，和实数数A日仇1）,多项式十尤））为匚代1*,后°0；十尤））“CA1hLA〜。的每个根的模长均为为1.命题2的证明月对对抑进行归物-当，=二|时,u「）=i*结谕论成立n=大+大假设结论对封「"成立就眼下来考虑虑『的n情况，反"派、咨顶,I;刎所有使以,;.k存在模长氏不为1的根的;此气1）组组成的集合1A°）若结论对^不成立顿蚓非莎空令邑为sS的下确界.舞神:提芒sO当5=°时,J；」）e二1+厂翩每个根的的模长均为、^当A芝'/衬'7若A0，S'泠如麋项m呵（⑷的的个模长不为为}邮1晰何可炊；0^j,由J于尺心）首颇为1且所祢模长均为为y是，事.」上q『JJ也-"mil-顷：iI：./m*。=仙*。2o其中秘取醵..玲（幻的所有根.令令丛左侧趋近札敝数取模长的连续曲得

0二/湛Gi多;i-*Il「。矛盾-?从而&史备S’sAo备再证圆，;53，）没有重根3.首/拓*：「）有重根1?即n盘f）W.,..3；，/-*则G-?）V/取冬），即即/31）二。.=o（当&叩耐,.g验证即得矛盾•一Ao0财冲时ne八.o=/：d=W*cH”-u-】袖七厂履C，-就…言-：「新TS*-1疽一'*〈顼W亍戒•/",疽L*、l'J*即落、为乂Fzl）®腿由摭假设殳湖顷1二&WL但这又与前面的结论矛盾跟/易（幻）没有重根.最扃,由翰两步，人侦*）的I的根是两两不同的模长为91的的复数藤在圆周上逆时针方向顺次为如」妇吨，…•籍・•令00（9＜履＜；）小手这些复数中任何相邻两个■的卖角的半则任何非零复教至瞄多个％』碾角差小以＜、手&0对任何M&设?是故,（。的个模长K不为'1的糠山于幻）是实系数的勺回文多项式式则W的倒数的共辄也是/m是/的.根这两个根两个根有相同司的辐＞从从而存存在»个（依赖于『的）K懒得/（Q乾衡每个根与呼的辖角差A,（的绝对值均不小于加记df01）JW有使尺A（船I的每个根TOC\o"1-5"\h\z与麝的辐角差均不小手'刑的此缰成的集为栾eAs

则则营3ps不妨设X的下确界等于于的下确界惶%.对任何A弩§.均有右/切',.官.w0以』31）1==11血1-讪m&iD,令在弓中（从有恤）.趋向•于虹抻获页项式麟膛续性可得◦二|儿,,,3「|条"e.从而,1命建笔者之的|聂子佩给出好的』思-路是路由招于E的根是两两不同的模长为长为1的复数则衲橘角两雌野矿‘…二步,觥"刷|的系数是依赖...的所以对于充分接近的/幻也没的•步以,对于充分接近^的妃匕』"）也没有重曜于是声隐函数定理知叫⑷的根根土..人，gq—"一""一，小连续变化'也第[1]在的*小邻域内是依赖于番续变化__的・,加，打就的浦根的辐角也两.两不同，谶筋术同、、，而上面已善提到过也于株,心）是实系数回文多项式式于是Jb对于于渚然有两个袂个粼摭羸同一因此点f的一个小邻域如的"均不属打ss.网为为时倾确界矛盾参考文献t■浏剧年徊（中国国家筏蟾教练馥约湖编.菖向四心麴学础匹克试题魅槃锦0理18；海］.上龊华东毗L大学出版御钏成史H客T'|D'.Y-如&以:从而,1命建笔者之的|聂子佩给出好的』思-路是路由招于E的根是两两不同的模长为长为1的复数则衲橘角两雌野矿‘…二步,觥"刷|的系数是依赖...的所以对于充分接近的/幻也没的•步以,对于充分接近^的妃匕』"）也没有重曜于是声隐函数定理知叫⑷的根根土..人，gq—"一""一，小连续变化'也第[1]%^u2^n^^a^ud.og^i^ikrI^^i^Jhe992_」..讷w/M".PhP?歹.1996,】8iri）：1*-】"^auw^Tm,!m-、