《数值计算》试卷库证明题

数值计算试「ii证明题1、（本题10分）证明求积公式J"fGbq（-人）-f（o）+2f（/l）］具有三次代数精度，其中力是正常数。TOC\o"1-5"\h\z-2h32、（5分）设x*=Bx*+>,，用V1证明由公式x（m+i）=8x（m）+Z?,m=0,1,,得到的序列｛（mJ收敛于工*。3、（5分）证明计算成（a>。）的切线法迭代公式为x笑)，〃+12nx4、（10分）证明向量X的范数满足不等式⑴||x|<||X||<^H⑵：|x||M||x，罚x||00200n10015、证明题（本题10分）设f（x）=（x-l）（x-2）,证明对任意的1有：f（l,2,x）=l.6、（10分）证明：方程组2x-x+x=1TOC\o"1-5"\h\z123<X+X+X=1123x+x-2x=1I123使用Jacobi迭代法求解不收敛.7、（10分）证明定积分近似计算的抛物线公式』bf（x）dxR（q）+4f（竺了）+f（Z?）］ab2具有三次代数精度8、（10分）设=（1）写出解顶3）=。的Newton迭代格式（2）证明此迭代格式是线性收敛的9、（10分）设R=I-CA,如果p||<1,证明：（1）A、C都是非奇异的矩阵(2)hi-inIK-^LH参考答案1、证明：（本题10分）(1)当f(x)=1时，左边=4h=4h[2-1+2]=右边左边=0=半「2x(-h)3（2分）2、3、4、(2)(3)(4)(5)所以（5分）当f(x)=x时，当f(x)=x2时当f(x)=x3时当f(x)=x4时-1x0+2xh]=右边(4分)上16h3左边=~3~左边=0==—2x(-h)2-1x0+2xh2=右边3L」—2x(-h》-0+2xh3=右边3、4h「右边=e32x(-h>一0+2xh4该求积公式具有三次代数精度。证明由公式x(m+1)=Bx(m>)+b和x*=Bx*+b两式相减得x（m）-x*<归，x（妇）-所以有：Ix(m)-x*16h5丰左边3x^|<...<|B||m||x(0)-x*||（5分）证明因为计算J^（a>0）等同于求方程x2-a=0的正根，令f（x）=x2—a,f,（x）=2x，代入切线法迭代公式得:x2-a1/.a、x—x--n——(x+—)，n—0,1,•••nn证明题（共10分）证明（1）设xj是向量X的分量，则||X||2—maxx.ii]2王|i=1llX1128所以由向量范数的概念可知，结论成立。⑵由Xmaxx.ii卜1习

ni=1=lixiI（8分）（10分）5分Wil=3max|气|]E|x|=||Wil=3'i=110分10分5、证明题(共10分)证明:f(1,2)=[f(1)-f(2)]/(1-2)=[0-0]/(-1)=0,对任意的x有f(2,x)=[f(2)-f(x)]/(2-x)=[0-(x-1)(x-2)]/(2-x)=(x-1),所以f(1,2,x)=[f(1,2)-f(2,x)]/(1-x)=[0-(x-1)]/(1-x)=16、(10分)证明：方程组'2气一%2+X3=1<X1+X2+X3=1x+x一2x=1l123使用Jacobi迭代法求解不收敛.证明Jacobi迭代法的迭代矩阵为-00.5-05G广T0-10.50.50Gj的特征多项式为入de®-GJ)=1-0.5-0.50.5M1=X(人2+1.25)-0.5M(3分)(6分)GJ的特征值为M1=0，M2=d.25i，M3=f1.25i，故p(GJ)=气.；1.25>1，因而Jacobi迭代法不收敛。(10分)7、(10分)证明：当f(x)=1时，公式左边：』bf(x)dx=b一a

TOC\o"1-5"\h\z公式右边：罗[1+4+1]=b-a左边==右边(1分)b当f(X)=x时左边：jbxdx=兰a2,b—aa+bb2—a2,,t右边：二一[a+4^―+b]=一-一左边==右边(2分)b22当f(x)=x2时左边：jbx2dx当f(x)=x2时左边：jbx2dx=X3a3abb3—a33—右边：^—^-[a2+4-(色^)2+b2]=b3a3左边==右边b23（2分）当f(x)=x3时左边：\bx3dx=Ea4ab4—a44~~b—aa+bb4—a4右边：丁”3+4•(亍)3+b3]=^左边==右边（2分）当f(x)=x4时左边：\bx4dx=兰a5a8、（10分）证明：（1）因己、故szm，由Newton迭代公式：（3分）右边：~—[a4+4•(a+")4+b4]=_a(5a4+4a3b+6a2b2+4ab8、（10分）证明：（1）因己、故szm，由Newton迭代公式：（3分）（2分）（1分）故f（x（1分）_寸涪,蚌0,1,.../（%）（7分）a（2）因迭代函数归，bx（10分）又工*=疝，则w莎）二：-、饰V二命-=6JoJ（1分）故此迭代格式是线性收敛的。（10分）（1分）9、（10分）证明：（1）因#C1，所以I-R非奇异，因I-R=CA，所以CA都是非奇异矩阵（3分）三仔'-。胸|则有（2）所以C=（I-R）A-1，即A-1=（I-R）-1C因CA=I-R，（7三仔'-。胸|则有（2）所以C=（I-R）A-1，即A-1=（I-R）-1C因CA=I-R，（7分）结合（2.1）、（2.2）两式，得11<RC11-R由K-c移项得邛厂—F计算方法》复习试题1、4-10-14-10-14，则A的LU分解为TOC\o"1-5"\h\z14-10A=-14115/4-1答案.CD•7^：0-4151II56/152、已知f⑴=1・0，f⑵=12f⑶=1.3,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得，用三点式求得了'⑴汩答案.CD•7^：答案：2.367,0.253、f⑴=-1,f(2)=2,f⑶=1，则过这三点的二次插值多项式中x2的系数为拉格朗日插值多项式为答案：-1，妇x)=2(x-2)(x-3)-2(x-1)(x-3)一2(x-1)(x-2)4、近似值x*=0.231关于真值x=0.229有(2)位有效数字；TOC\o"1-5"\h\z5、设f(x)可微,求方程x=f(x)的牛顿迭代格式是()；x=x-xn一f(%)答案n+1n1-ff(xn)6、对f(x)=x3+x+1,差商f[0,1,2,3]=(1),f[0,1,2,3,4]=(°)；7、计算方法主要研究(截断)误差和(舍入)误差；8、用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(a,b)内的根时，二分n次后的误差限为b—a(2n+1)；9、求解一阶常微分方程初值问题＞'=f(x,y)，y(x0)=y0的改进的欧拉公式为h、)；y1=y+了[f(x,y)+f(x〔，yJ](n+1n2nnn+1n+110、已知f(1)=2,f(2)=3,f(4)=5.9，则二次Newton插值多项式中x2系数为(。.15)；f1f(x)dx』1f(x)dx牝1[f(^二)+f(七1)]11、两点式高斯型求积公式0f()”(。22异2占)，代数精)；度为(5)；12、解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A的各阶顺序主子式均不为零)。y=10+—-—+—13、为了使计算尤—1(尤—1)2(尤一1)3的乘除法次数尽量地少应将该表，为了减少舍入误差，应将表达式达式改写为y=10+(3+(4一$"""=土2<2001^1999改写为,2001+v199914、用二分法求方程f3)=工3+工—1=0在区间[0,1]内的根，进行一步后根的所在区间，为了减少舍入误差，应将表达式为0.5，1，进行两步后根的所在区间为0.5，0.7515、计算积分10?''XdX，取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为0.4268用辛卜生公式计算求得的近似值为0.4309，梯形公式的代数精度为1，辛卜生公式的代数精度为二。\3%+5x2=1|x(k+1)=(1—5x2k))/316、求解方程组1°.2X1+4X2=0的高斯一塞德尔迭代格式为」玲+1)=-x(k+1)/20_，该迭1代格式的迭代矩阵的谱半径p(M)=!!_。17、设f(0)=0，f⑴=16,f(2)=46,则Z](x)=Z](x)=-x(x-2)_，f(x)的二次牛顿插值多项式为—N2(x)=16x+7x(x-1)_。Jbf(x)dx牝1Laf(x)18、求积公式「k=0人k的代数精度以(高斯型)求积公式为最高，具有(2n+1)次代数精度。19、已知f⑴=1f(3)=5f(5)=-3,用辛普生求积公式求L^~(12)。20、设f⑴=1，f；2)=2，f⑶=0，用三点式求了'⑴*2.5)。21、次。如果用二分法求方程x3+x-4=0在区间【LI内的根精确到三位小数，需对分(1022、a工3SOc)=<1—(%-1)3+a(x-1)2+b{x-1)+c1<%<3〔2是三次样条函数，则b=(30<x<l已知=(3),〃=(3),(123、匕3),〈⑴,•••,匕⑴是以整数点％，气，…，七为节点的Lagrange插值基函数，则Xz(X)=X%/(X)=2Lk(i\kjk(xj\当〃N2时k=Q(1)，k=o(/)，与口Jk=0)。(1),(X4+X2+3)1(x)=

kkk%4+X2+3)°24、解初值问题2/=/Uy)J(Xo)=Jo的改进欧拉法〔y[0]=y+hf{x,y)w+Lnnnhy=y，>)+f(]

n+1n2.nn1")]n+1n+1曰法。1上的三次样条插值函数S(x)在M'」上具有直到2阶的连续导数。26、改变函数f(x)=〈x+\-抵(工》1)的形式，使计算—-vX+1+JX

O若用二分法求方程'")=°在区间［1,2］内的根，要求精确到第3位小数，25、区间结果较精27、次。则需要对分1028、a=_2x3,0<x<1x3+ax2+bx+c,l<x<2是3次样条函数，则S(x)=设3,b=-3.c=1。j1exdx29、若用复化梯形公式计算。•个求积节点。,要求误差不超过1°-6,利用余项公式估计,至少用47730、写出求解方xG+i)=1-1.6%^)7八1I2,k=0,1,M+i)=2+0.4M+1)2,迭代矩阵为一x+1.6x=112-0.4x+%=2的Gauss-Seidel-1.6、一°.64上此迭代法是否收敛—收敛_。迭代公式31、刍4、<4，则0032、33、34、的A=LU，则〃=若/(X)=3x4+2x+l,则差商/[2,4,8,16,32]=2Pf(x)dx«-[/(-!)+8/(0)+/XI)]数值积分公式T9的代数精度为设矩阵35、线性方程组-12--1■01x—5112_10_3的最小二乘解为.36、设矩阵二、单项选择题:分解为A=LU，则u=1、Jacobi迭代法解方程组如=b的必要条件是（CA.A的各阶顺序主子式不为零Ca丰0,i=1,2,,n2、，则P（人）为（C).3、4、(1]<1>3210-4100332102B.P(A)v1D.三点的高斯求积公式的代数精度为（B）。A.2B.5C.3求解线性方程组Ax=b的LU分解法中，A须满足的条件是（B）。A.对称阵B.正定矩阵C.任意阵D.各阶顺序主子式均不为零5、舍入误差是（A）产生的误差。A.只取有限位数B.模型准确值与用数值方法求得的准确值C.观察与测量D.数学模型准确值与实际值6、3.141580是^的有(B）位有效数字的近似值。7、用1+尤近似表示ex所产生的误差是(C)误差。A.模型B.观测C.截断D.舍入8、解线性方程组的主元素消去法中选择主元的目的是(A)。A.控制舍入误差B.减小方法误差C.防止计算时溢出D.简化计算x9、用1+3近似表示3笊所产生的误差是(D)误差。A.舍入B.观测C.模型D.截断10、-324.7500是舍入得到的近似值，它有(C)位有效数字。A.5B.6C.7D.811、设f(-1)=1f(0)=3f⑵=4,则抛物插值多项式中x2的系数为(A)oA.0.5B.0.5C.2D.-212、三点的高斯型求积公式的代数精度为(C)。A.3B.4C.5D.213、(D)的3位有效数字是0.236x102。0.0023549x103(B)2354.82x10-2(C)235.418(D)235.54x10-114、用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程f(x)=0表示成x=p(x)，则f(x)=0的根是(B)。(A)y=p(x)与x轴交点的横坐标(B)y=x与y=p(x)交点的横坐标(C)y=x与x轴的交点的横坐标(D)y=x与y=p(x)的交点3x一x+4x=1

〈一x+2x—9x=015、用列主元消去法解线性方程组1一4x1一3x2+x3=—1，第1次消元，选择主元为(A)。

(A)-4(B)3(C)4(D)-916、拉格朗日插值多项式的余项是(B)，牛顿插值多项式的余项是(C)。(A)f(x,x0,x1,x2,...,xn)(x-x1)(x-x2)...(x-xn-1)(x-xn),f(n+1)(g)(B)Rn(x)=f(x)—P(x)=f(n+(g!)(C)f(x,x0,x1,x2,...,xn)(x-x0)(x-x1)(x-x2)...(x-xn-1)(x-xn),f(n+1)(g)(D)W)5-/=代斜nU17、等距二点求导公式f(x1)(A)。(D)f(气)一f(%)

x1+x0/A、f(x)—f(x)5、f(x(D)f(气)一f(%)

x1+x0(A)1(B)1(C)0x—xx—xx—x10010118、用牛顿切线法解方程f(x)=0，选初始值x0满足(A),则它的解数列{xn}n=0,1,2,...定收敛到方程f(x)=0的根。(A)f(%)f〃⑴>0(B)f(x0)f3>0(C)f(x0)f〃⑴<°(D)f(x0)f3<019、为求方程x3"x2"1=0在区间［1.3,1.6］内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是(A)。1txkT1x2=,迭代公式：xTOC\o"1-5"\h\zx—1k1txkT(A)x=1+-!-,迭代公式:x=1+—x2*+1弋x3=1+x2,迭代公式:x=(1+x2)1/3(C)k+1kx3—1=x2,迭代公式:x=1+x(D)k+1x2+xk+120、求解初值问题〔*%)=*欧拉法的局部截断误差是()；改进欧拉法的局部截断误差是()；四阶龙格-库塔法的局部截断误差是(A)(A)O(h2)(B)O(h3)O(h4)(D)O(h5)

21、解方程组仙=b的简单迭代格式炬5=Bx(()+g收敛的充要条件是()。(A)O(h2)(B)O(h3)O(h4)(D)O(h5)(1)p(A)<1,(2)p(B)<1,⑶P(A)>1,⑷p(B)>1jbf(x)dx牝(b-a)£C(n)f(x)22、在牛顿-柯特斯求积公式：ai=0''中，当系数Cn)是负值时，公式的稳定性不能保证，所以实际应用中，当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。1)心8，⑵nZ7，⑶心10，(4)nZ623、有下列数表x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是()。(1)二次；(2)三次；(3)四次；(4)五次y=y+hf(x+h,y+hf(x,yD，—2m—24、若用二阶中点公式gnn2n2nn求解初值问题y=-2y,y(0)=1，试问为保证该公式绝对稳定，步长h的取值范围为()。(1)0<hV1(2)0VhV1(3)0<h<1(4)0Vh<125、取招聂・732计算X=(思-1)4,下列方法中哪种最好？()(A)28-16思；(B)(4一2打)2；S(x)=<x2(x—1)3+a(x—2)+b16((A)28-16思；(B)(4一2打)2；S(x)=<x2(x—1)3+a(x—2)+b16(C)(4+2占)2；0<xV216(D)点+1)42<x<4是三次样条函数，则(1，b的值为(x11.522.533.5f(x)-10.52.55.08.011.526、已知(A)6，6；(B)6，8；(C)8，6；(D)8，8。27、由下列数表进行Newton插值，所确定的插值多项式的最高次数是()(A)5；(B)4；(C)3；(D)2。Jbf(x)dx«Af(x)+Af(x)+Af(x)28、形如a()(A)9；_(B)7；计算73的Newton迭代格式为(x3xxk+1=苛+xxk+1=+2xk；(B)k1122(C)(D)29、(A)；(C)xk+1的高斯(Gauss)型求积公式的代数精度为x2=k+2；(D)xk+1x3

=—k+3xk。用二分法求方程x3+4x2—10=0在区间［1，2］内的实根次数至少为()(A)10；(B)12；(C)8；(D)9。31、经典的四阶龙格一库塔公式的局部截断误差为()(A)O(h4)；(B)O(h2)；(C)O(h5)；30、£要求误差限为=1X10—32则对分(D)O(h3)32、设1(x)是以气=k(k=0，1，，9)为节点的Lagrange插值基函数，(A)x；(B)k；(C)'；(D)1。33、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式，至少具有()次代数精度丈kl(k)=则k=0((A)5；(B)4；(C)6；(D)3。0<x<2rS（x）=\34、已知〔2（x一1）3+a（x一2）+b2<x<4是三次样条函数，则a，b的值为（）（A）6,6；（B）6,8；（C）8,6；（D）8,8。x3+5kx2—2k35、已知方程x3-2x-5=0在x=2附近有根，下列迭代格式中在X0=2不收敛的是（.x='2HXx=32x+5k+1x,、x=x3—x一5k+i(A)k+i可k；(B)¥k；(Cx3+5kx2—2kx01234f(x)1243-5确定的唯一插值多项式的次数为（）（A）4；（B）2；（C）1；（D）3。37、5个节点的Gauss型求积公式的最高代数精度为（）（A）8；（B）9；（C）10；（D）11o三.是非题（认为正确的在后面的括弧中打寸，否M打x）1、已知观察值E七）（'•=°，1，2，，榆,用最小二乘法求n次拟合多项式Pn3）时，Pn3）的次数n可以任意取。（）X22、用1-2近似表示cosx产生舍入误差。（）（X-x0）（X-x2）3、（x1-x0）（x1-x2）表示在节点X］的二次（拉格朗日）插值基函数。（寸）4、牛顿插值多项式的优点是在计算时，高一级的插值多项式可利用前一次插值的结果。（寸）f31/-2535、矩阵a」125J具有严格对角占优。（）、计算题：4%1+2x2+x3=11%1+4x2+2x3=181、用高斯-塞德尔方法解方程组〔2气+%2+5X3=22，取x（0）=（0，0，0）,，迭代四次（要求按五位有效数字计算）。答案：迭代格式X(k+1)1=L(11—2X(k)-X(k))23=4(18—X(k+1)—2X；k))=Z(22—2x(k+1)—x(k+1))12kX(k)1X(k)2X(k)3000012.75003.81252.537520.209383.17893.680530.240432.59973.183940.504202.48203.7019X(k+1)3』1f(x)dx-A[f(—1)+f(1)]+B[f(—-1)+f(i)],2、求A、B使求积公式—122n的代数精度尽量/=Idx高，并求其代数精度；利用此公式求1X(保留四位小数)。答案：f(X)=1,X,X2是精确成立，即'2A+2B=2；2A+2b=I得入=1b=8求积公式为」—/(x)d=9[f(—1)+f(1)]+8[f(-!)+f(2)]21当f(X)=X3时，公式显然精确成立；当f(X)=X4时，左=5，右=3。所以代数精度为3。I12Xdxt=2x-31,11IS11「=Jdt"[+]+[+]—11+39—1+31+39—1/2+312+33、已知97—牝0.69286140删S缶III删S缶1111O?Hv(NI111.7(N9寸.71寸(寸—凸(8—凸(1—心)(心—》)(8—寸)(1—寸)(寸—x)(s—X)(I—X)寸+(s—x)(s—X)(I—X%+(sIs》—SI—g)(s—1)(17—XTI)、由-碾如9+7H(X)7(sIX)(寸—X)(I—X)<(s—K)(寸—亲—X)0o-fn-nQ<弦tt、islMS3^^sl^oumKi旺=职々寸寸cn9(N•7K/X.7uno35.0279寸ooo19.4224cn9O10.7137<N寸o5.8796(NO(NOOooXMMI+K-13.0+X8Z/I+H斜OHIs『((0)q+&+(q+XSXI.O+HX・®•诉敏uuuI+f(q+&XZO+XHOM(imxm。)IHSMV—q+Y-s彳(c)z(m寸mm(寸—x)(s—X)(I—X)T+(s—X)(I—X)—(I—x)z+zH(X)zH3di寸Hu寸s+uor

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HUOI+E,7<N〜K3(N0cn寸.7.7XOO1(N0cnocn寸・7H0cn.7KOO110OOo<N.7H寸0寸0.7寸<Ncnun.7X(N10<N0,7o(Ncn寸H-®-碾如ons^^ft、(^d^aWMKngMJ弦siz寸(mi。I，z，厂带tx如用_次插值求sinO.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小?并求该近似ooOr-o9OSo寸o0.389420.479430.564640.644220.71736，7一K)S8一非vlKrv-删吸坦、亚拒<-111姻回亶萩如O®*撤SS8.0、寸O回一凶X.SSS田,9sa-IHO)布〃(。二CL。1、？寸I。1Z、？X——+1H(X)d崩I+H——+1H(X)d二m、二m。1寸IZOI一」0IH检。IH检。IHd二m。1尽量小，即应使|B3(x)|尽量小，最靠近插值点的三个节点满足上述要求。即取节点{0.5,0.6,0.7}最好，实际计算结果sin0.63891R0.596274，且sin0.63891-0.596274|11(0.63891—0.5)(0.63891-9-0.6)(0.63891-0.7)|0.55032x10-47、构造求解方程弟+10X-2=0的根的迭代格式xn+广机xn)，n=0，1，2，，讨论其收敛性，并将根求出来，1七+1-x「<10-4。答案：解：令f(x)=ex+10x-2,f(0)=-2<0,f(1)=10+e>0.且f(x)=ex+10>0对Vxe(-8,+8)，故f(x)=0在(0,1)内有唯一实根.将方程f(x)=0变形为-、

x=—(2-ex)10则当xe(0,1)时中(x)=土(2-ex)E(x110<击<110/故迭代格式—1C、

x=(2—exn)n+110收敛。取x0=0.5，计算结果列表如下：n0123xn0.50.0351278720.0964247850.089877325n4567xn0.0905959930.0905173400.0905259500.090525008且满足|x7-x6|<0.00000095<10-6.所以xE0.090525008

x1+x1+2x2+3x3=14<2xi+5x2+2x3=183x+x+5x=20123F1]「123一A=LU=21111-4答案：解：h-5」[-248、利用矩阵的LU分解法解方程组〔令Ly=b得y=(14,-10,-72)t,Ux=y得x=(1,2,3)t3x1+2x2+10x3=15<10x1-4x2-x3=59、对方程组x+10x—4x=8l1239、对方程组(1)试建立一种收敛的Seidel迭代公式，说明理由；(2)取初值x(0)=(0,0,0)T，利用(1)中建立的迭代公式求解，要求11x(k+1)-x(k)|L<10-3。解：调整方程组的位置，使系数矩阵严格对角占优10x1-4有-x3=5<2x1+10x2-4x3=8TOC\o"1-5"\h\zx+2%+10%=15

1123故对应的高斯一塞德尔迭代法收敛.迭代格式为x(k+1)=—(4x(k)+x(k)+5)10*237<x(k+1)=—(-2x(k+1)+4x(k)+8)10*13'x(k+1)=-!-(-3x(k+1)-2x(k+1)+15)10、127取x(0)=(0,0,0)T，经7步迭代可得：x*nx⑺=(0.999991459,0.999950326,1.000010)t.10、已知下列实验数据xi1.361.952.16f(xi)16.84417.37818.435

试按最小二乘原理求一次多项式拟合以上数据。解：当0<x<1时，f”⑴=段，则"别Ve，且』户dx有一位整数.e&要求近似值有5位有效数字，只须误差R(n)(ex)<<—^<1x10-4

e&R(n)(ex)<即可，解得.7…n二，—x102=67.30877…

\'6所以n所以n=68，因此至少需将［0,1］68等份。「1—11—4]「5—43-12]r◊r——43—12—1~~11—11—4解：211112111111、用列主元素消元法求解方程组一1—1一1—1「X]「-4一5—43X2=-12211XL3」111r一一r251—2r——r-5—43—12]1280-12-8555n131790—L555」rcr5-43-120¥-1291280—————L555」23>—43—1213■—79T513■—回代得X3=一1，*2=6,%=3。12、取节点x0=°，气=°.—，x2T球函数f(x)=e—x在区间［0,1］上的二次插值多项式

「⑴,并估计误差。(x-0.5)(x-1)(x-0)(x-1)解：2x=©°*(0-0.5)(0-1)+e庭*(0.5-0)(0.5-1)+e-1x(x-0)(x一强(1-0)(1-0.5)解：=2(x-0.5)(x-1)-4e-0.5x(x-1)+2"1x(x-0.5)又f(x)=e-x,fm(x)=-e-x,M3=maxIf,n(x)1=1IR(x)I=Ie-x—P(x)I<1|x(x—0.5)(x-1)I故截断误差13、用欧拉方法求j(x)=j故截断误差13、用欧拉方法求j(x)=jxe-t2dt

0在点x=0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值。解：火x)=《e-'2dt等价于J，=e-x2Vb(0)=0(x>0)记f(x,j)=e-x2,取h=0.5,x0=0,x1=0.5,x2T.0,x3=1.5,x4=2.0则由欧拉公式:Jn+1=Jn+hf(xn,七)1J0=0,n=0,1,2,3可得j(0.5)=j1=0.5,j(1.0)=j2=0.88940,j(1.5)nJ3=1.07334,j(2.0)=j4n1.1260414、给定方程f(x)=(x-1)ex-1=0分析该方程存在几个根；用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；说明所用的迭代格式是收敛的。解：1)将方程改写为(1)(2)解：1)将方程改写为(1)(2)作函数f1(x)=x—1，f2(x)=e-x的图形(略)知(2)有唯一根x七(1，2)。2)将方程(2)改写为x=1+e-xxk1=1+e-xk构造迭代格式\。*=L5(k=0,1,2,..•)计算结果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463)中(x)=1+e-x，中，(x)=-e-x当xe[1,2]时，中(x)6[里(2),中(1)]u[1,2]，且I中，(x)l<e-1<1所以迭代格式xk+1="xk)(k=o,1,2,…)对任意x0e[1,2]均收敛。15、用牛顿(切线)法求J：3的近似值。取x0=1.7,计算三次，保留五位小数。解：打是f⑴=x2-3=0的正根，广(x)=2x，牛顿迭代公式为x2—x2—3、+广2xn，即x3x=―^+n+122xn(n=0,1,2,…)取x0=1.7,列表如下:n123xn1.732351.732051.7320516、已知f(-1)=2，f⑴=3，f(2)=-4，求拉格朗日插值多项式L2(x)及f(1，5)的近似值,取五位小数。解：L2(x)=2x(x-1)(x-2^o(x+1)(x-2)(x+1)(x-1)+3X—4X

(-1-1)(-1-2)(1+1)(1-解：L2(x)=2x234=3(x-1)(x-2)-^Cx+1)(x-2)--(x+1)(x-1)

f(1.5)-£2(1.5)=£-0.0416717、n=3,用复合梯形公式求1；exdx的近似值(取四位小数)，并求误差估计。解.Fexdx-T3=2^3[eo+2(e13+e23)+e1]-1.7342f(x)=ex,f〃(x)=ex,0<x<1时，If〃(x)!<eIRI=Iex-TI<e=£=0.025<0.0512x32108至少有两位有效数字。18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组[3-03

Y1-1%Y顷3I-18、用Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组[3-03

Y1-1%Y顷3I-8)取珈)=(0,0,0)T,列表计算三次，保留三位小数。解：Gauss-Seidel迭代格式为：1x(k+1)=—(131\x(k+1)=-_(-x(k+1)23'1-x；k)+5)-x)-1)1,x(k+1)=—(-x(k+1)+x(k+1)3412-8)3011—31系数矩阵L1-14严格对角占优，故Gauss-Seidel迭代收敛.取珈)=(0,0,0)t，列表计算如下:kx(k)1x(k)2x(k)311.6670.889-2.19522.3980.867-2.38332.4610.359-2.52619、用预估一校正法求解IJ（0）T（0<x<1）,h=0o2,取两位小数。解：预估一校正公式为1〃，、"=j+刀(k+k)"“212<«=hf(xn,匕)^2=时(%+h，七+k1)〔n=0,1,2,解：①=span{1,x2}At11192252312382jt=119.032.349.073.3】解方程组AtAC=AtjAtA=其中C=解得：33913391解：①=span{1,x2}At11192252312382jt=119.032.349.073.3】解方程组AtAC=AtjAtA=其中C=解得：3391339135296030.92555770.0501025所以Atj=173.6179980.7a=0.9255577，b=0.0501025n12345xn0.20.40.60.81.0yn1.241.582.042.643.4220、（8分）用最小二乘法求形如y=。+bx2的经验公式拟合以下数据:x.19253038y.19.032.349.073.3虬[f]|=-穿h2f7n)<1JLA解：TT(8)=h[虬[f]|=-穿h2f7n)<1JLA解：TT(8)=h[f(a)+立f(x)+f(b)]2kk=1=£[1+2x(0.8824969+0.7788008+0.60653066111.x—xe0=——=0.0013021282768+0.5352614+0.47236655+0.41686207)+0.36787947]=0.6329434

23、(8分)已知方程组人义=f，其中「43-「24_A=34-1f=30-14-24I22、（15分）方程x3-x-1=0在xT.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）xI22、（15分）方程x3-x-1=0在xT.5附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）x=3x+1=.1+1\Xn；（3）x=x3-1对应迭代格式xn+1=xnT。判断迭代格式在x0=1.5的收敛性，选一种收敛格式计算xT.5附近的根，精确到小数点后第三位。12中'（x）=一（x+1）-3解：（1）3，11vx=qx+1x=T1+n+1对应迭代格式xn+13‘xn+1；(2)x对应迭代格式x=x3

n+1nR（1.5）=0.18<1，故收敛;(2)中(x)=■12x2」1+—\x，R(1.5)|=0.17<1，故收敛;(3)选择"(x)=3x2时(1.5)=3x1.52>1，(1)x0=1.5x=1.3572x5=1.32476,故发散。x=1.3309x3=1.3259x6=1.32472X4=1.3249求出Jacobi迭代矩阵的谱半径。x(k+1)=1(24-3x(k))TOC\o"1-5"\h\z142x(k+1)=4(30—3x(k)+x(k))x(k+1)=1(-24+x(k))342解：Jacobi迭代法:k=0,1,2,3,…x(k+1)=i(24—3x(k))142x(k+1)=4(30一3x(k+1)+x(k))x(k+1)=—(—24+x(k+1))342Gauss-Seidel迭代法:B=-D-1(L+U解：Jacobi迭代法:Gauss-Seidel迭代法:B=-D-1(L+U)=J0-340-3400343\0P(Bj)=\：?8(或业)=0.7905694dy、—=-y+1dx24、1、（15分）取步长h=°」，求解初值问题1y（0）=1用改进的欧拉法求y24、1、（15分）取步长h=°」，求解初值问题1y(°)=y+hf(X,y)=0.9y+0.1解：改进的欧拉法上广L争％"十处.唧]:0.90叫+0.095所以y(0」)-yi-1；经典的四阶龙格一库塔法：h、……,yn+1—y+g[k+2k+2k+k]k—f(气,y〃)hyn+1—f(Xn+2,yn+2k1)hhk—f(x+,y+k)3n2n22Jk2—k3—k4—0，所以y(0.D—y1Jk2—k3—k4—0，所以y(0.D—y1—1A——,B——,B——,D—-—20203020J；好(X)dx.S(X)=Af(0)项(1)+C'⑼+Df'⑴试确定参数4BC,D使公式代数精度尽量高；⑵设fA——,B——,B——,D—-—20203020H3(x,)—f(X,)H'(x)—f'H3(x,)—f(X,)H'(x)—f'(x)i—0,1甘山x—0,x—1l3ii其中01。f(4)化)，f(X)-H3(X)—X2(X-1)2—5构造Hermite插值多项式3X满足则有J1xH(x)dx—S(x)R(x)—J1x[f(x)一S(x)]dx—J1f⑷(，)x3(x-1)2dx004!f(4)(n)J1f(4)(n)f(4)(n)4!x601440————1X3(X-1)2dx—264!x601440y=ay+ay+h[0f(x,y)+(1-0)f(x,y)]n+10n1n-1nnn-1n-1[y'—f(X，y)求解常微分方程的初值问题部截断误差主项，此时该方法是几阶的〔y(X0)—y0时，如何选择参数a。,*】,0使方法阶数尽可能高，并求局求解常微分方程的初值问题部截断误差主项，此时该方法是几阶的01,,1a

+h2(——―+22所以1—a—a=01,,1a

+h2(——―+22所以1—a—a=0

01a=01a1+1—9=0122以=1以=09=12该方法是二阶的。27、(10分)已知数值积分公式为:hfhf(x)dq-[f(0)+f(h)]+人h2[广(0)—f'(h)]02，试确定积分公式中的参数入，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。解：f(x)=1显然精确成立；…fhxdx=h2=h[0+h]+杼2[1—1]/(x)=x时，022；h3h.h3..1Jhx2dx=一=—[0+h2]+人h2[0—2h]=——一2人hnX=—0；h4h1Jhx3dx==—[0+h3]+h2[0一3h2]04212；h5h1h5Jhx4dx=一。一[0+h4]+h2[0一4h3]=一052126./⑴=工4时所以，其代数精确度为3。28、(8分)已知求*"(">0)的迭代公式为:x=2(x+—)x>0k=0,1,2k证明：对一切k=1,2,…，xk八‘a，且序列匕是单调递减的，从而迭代过程收敛。1z工as19:x=—(x+)>—x2xxx一证明：E2*、2'n.f—、，=*ak=0,1,2…kxkTOC\o"1-5"\h\zR=y(x)—y=y(x)+hy(x)+^y(x)+项y(x)+…n,hn+1n+1nn2!n3!nh2h3—ay(x)一以(y(x)—hy(x)+^y(x)—项y(x)+…)0n1nn2!n3!nh2h3—h[Oy(x)+(1—0)(y(x)—hy(x)+^y(x)—项y(4)(x)+…]nnn2!n3!n=(1-a—a)y(x)+h(1—1+a1)y'(x)1—0)y〃(x)+h3(6+普—1—0)y(气)+O(h4)

故对一切k=1,2,'xk~<ak+1=—(1+^―)<—(1+1)=1又xk2故对一切k=1,2,'xk~<ak+1=—(1+^―)<—(1+1)=1又xk2-程收敛。29、(9分)昌、p(x)=xf(1)+三xf(2)解：是。因为f(x)在基点1、2处的插值多项式为1-22-1J3p(x)dx=3[f⑴+f(2)]02。其代数精度为1。x(6分)n+1=b(x)=411+cos(x)]30、(6分)写出求方程x(6分)n+1=b(x)=411+cos(x)]inCx)V—<14..・对任意的初值X0eLU,1J，迭代公式都收敛。31、(12分)以100,121,144为插值节点，用插值法计算％'115的近似值，并利用余项估计误差。用Newton插值方法：差分表：1001211441011120.04761900.0434783-0.0000941136k115注10+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121)=10.722755535——x28R=f'3?)G15-100)115-121)115-144)135<100-2x15x6x29R0.0016368i=jMdx32、(10分)用复化Simpson公式计算积分0x的近似值，要求误差限为0-5x10-5。=0.94614588昂时°）+4《卜2《卜=0.94608693昂时°）+4《卜2《卜=0.94608693\I-Sl~—-S1=0.393x10-5211512I1I^S=0.946086932或利用余项:SinG）、X2X4X6X8=1-——+——-——+——-13!5!7!9!f（f（4）Q）=—5X2X4+7x2!9x4!|牛G—q）⑷句<1——<0.5x10-52880^41|牛G—q）⑷句<1——<0.5x10-52880^412880x5^4n>2I-S=•，，233、（10分）用Gauss列主元消去法解方程组：x+4%+2x=24123<3x+x+5x=341232x+6x+x=2711233.00001.00005.000034.00000.00003.66670.333312.66670.00005.3333-2.33334.33333.00001.00005.000034.00000.00005.3333-2.33334.33330.000001.93759.6875x=（2.0000,3.0000,5.0000》12i=211134、（8分）求方程组VV7的最小二乘解。x="—1.3333、"2.0000）若用Householder变换，贝上'—1.73205-3.464104.61880、（4,8）—0-0.36603-1.52073、0-1.36603—2.52073/f(x)=x2时，公式左右=1/4;f(x)=x3时，公式左=1/5,公式右=5/24・.・公式的代数精度=2-12-2--1A=111b=237.(15分)已知方程组Ax=b，其中_221_，.3写出该方程组的Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式；判断(1)中两种方法的收敛性，如果均收敛，说明哪一种方法收敛更快;(-1.73205-3.46410-4.61880。1.414212.828430.81650)最小二乘解：(-1.73205-3.46410-4.61880。1.414212.828430.81650)最小二乘解：(-1.33333,2.00000)t.35、(8分)已知常微分方程的初值问题:[dy:dx=xy,1<x<1.2Iy(1)=2用改进的Euler方法计算y(12)的近似值，取步长h=0.2k=f(x,y)=0.5k=f(x,y+hk)=1.1(2+0.2x0.5)=0.5238095100，2101'y=y+-(+k)=2+0.1x(0.5+0.5238095)=2.10714291021236、(6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度:取f(x)=1,x，令公式准确成立，得：解：(1)Jacobi迭代法的分量形式TOC\o"1-5"\h\zr\--x(k+1)=1一2x(k)+2x(k)x(k+1)=2—x(k)一x(k);k=0,1,2,x(k+1)=3—2x(k)一2x(k)I312Gauss-Seidel迭代法的分量形式r<-一-…x(k+1)=1一2x(k)+2x(k)x(k+1)=2—x(k+1)一x(k)；k=0,1,2,x(k+1)=3—2x(k+1)一2x(k+1)I3120-22B=D-i(L+U)=-10-1-2-20Jacobi迭代法收敛人］=气=气=0,P(B)=0v1,Gauss-Seidel迭代法的迭代矩阵为TOC\o"1-5"\h\z0-22\o"CurrentDocument"G=(D-L)-iU=02-3002」/，Gauss-Seidel迭代法发散人］=0,气=气=2,p(B)=2>1取步长h=0.2，分别用Euler预报一校38、(10分)对于一阶微分方程初值问题〔y(0)=1正法和经典的四阶龙格一库塔法求y(0Jacobi迭代法收敛Gauss-Seidel迭代法发散取步长h=0.2，分别用Euler预报一校解：Euler预报一校正法y(0)=y+0.2(2x一y)=0.4x+0.8yTOC\o"1-5"\h\z1n+1nnnnny=y+0.1(2x一y+2x一y(0))=0.16x+0.2x+0.82yn+1nnnn+1n+1nn+1ny(0.2)«y=0.2x0.2+0.82x1=0.86经典的四阶1龙格一库塔法f0.2y=y+---(k+2k+2k+k)n+1n61234k1=2xn-yn1k=2(x+0.1)-(y+0.1k)2nn1k=2(x+0.1)-(y+0.1k)3nn2、k=2(x+0.2)-(y+0.2k)y(0.2)«y=0.856-"(气=1.50*1;k=1.5537;k=1.5487;k=1.5943)y=y+h[af(x,y)+Pf(x,y)]39、(10分)用二步法n+1n2nnn-1n-1求解一阶常微分方程初值问题fy'=f(x,y)1〔y(x0)=y0，问：如何选择参数a，P的值，才使该方法的阶数尽可能地高？写出此时的局部截断误差主项，并说明该方法是几阶的。解：局部截断误差为T=y(x)-y(x)-h[af(x,y(x))+Pf(x,y(x))]n+1