线性代数期末试题

/n\01,01,Ot+01/n\01,01,Ot+011231(C)a,a,2a-3a

1212(D)a,a,2a+a

23232010线性代数期末试题及参考答案一、判断题（正确填/错误填方。每小题2分，共10分）TOC\o"1-5"\h\zA是〃阶方阵，九0尺，则有九4二4'。（）A,6是同阶方阵，且A”。，（AB）-i=B-iA-io（）如果A与6等价，则A的行向量组与B的行向量组等价。（）若4》均为〃阶方阵，则当卜＞3时，一定不相似。（）〃维向量组”1，。2。3，（\｝线性相关，则卜1以2，。3｝也线性相关。（）二、单项选择题（每小题3分，共15分）00110010010001000002001-2100(B)010(C)001(D)I。011.下列矩阵中，（）不是初等矩阵。(A)2.设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）。TOC\o"1-5"\h\z/a\ot_a,a_a,ot_ot122331.设A为几阶方阵，＞A2+A-5E=Qo则（A+2£）t=（）(D)1-(A+E)(D)1-(A+E)-(A-E)(A)A-E(B)E+A(C)3.设A为根矩阵，则有（）。（A）若巾＜〃，则4%=匕有无穷多解；（B）若加＜〃，则Ax=。有非零解，且基础解系含有〃-巾个线性无关解向量；（C）若4有〃阶子式不为零，贝l]Ax=b有唯一解；（D）若A有几阶子式不为零，则Ax=。仅有零解。.若〃阶矩阵A,B有共同的特征值,且各有n个线性无关的特征向量，则（）（A）A与5相似（B）A^B,但L4力1=0

(C)A=B（D）A与B不一定相似，但AI=IBI三、填空题（每小题4分，共20分）.nn-10(C)A=B（D）A与B不一定相似，但AI=IBI三、填空题（每小题4分，共20分）.nn-10.A为3阶矩阵，且满足川=3或产-1=A*3.无关）的，它的一个极大线性无关组是(1)a=2037是线性（填相关或.已知0口是四元方程组Ax=匕的三个解，其中A的秩R（A）=3,则方程组Ax=匕的通解为.设-3且秩(A)=2,则a=1234四、计算下列各题（每小题9分，共45分）。121A=342.已知A+B=AB,KL122」，求矩阵B。.设a=(1,-1,-1,1),P=(-1,1,1,-1)，而A=a邛，求An。x.+%c+axo=-1TOC\o"1-5"\h\z23<x1-x0+2x2=-1-L乙J2x+ax.+xaa1123有无穷多解，求a以及方程组的通解。f（x,x,x）=x2-2x2-2x2-4xx+4xx+8xx

1231231213235.A,B为4阶方阵，AB+2B=0,矩阵B的秩为2且|E+A|=|2E-A|=0。（1）求矩阵A的特征值；（2）A是否可相似对角化？为什么？；（3）求|A+3E|。五．证明题（每题5分，共10分）。.若A是对称矩阵，B是反对称矩阵，AB-BA是否为对称矩阵？证明你的结论。.设A为m义n矩阵，且的秩R（A）为n,判断ATA是否为正定阵？证明你的结论。2.(T)口00、9oo'A=010B=0103.（F）o如反例：、000,«°b（T）（相似矩阵行列式值相同）（F）、.选B。初等矩阵一定是可逆的。.选B。A中的三个向量之和为零，显然A线性相关；B中的向量组与\,等价，其秩为3,B向量组线性无关；C、D中第三个向量为前两个向量的线性组合，C、D中的向量组线性相关。.选C。由A2+A—5£=0nA2+A-2石=3石n（A+2石）（A-石）=3石，n（A+2E）i」（A-石）3）。.选D。A错误，因为加＜〃，不能保证A（A）=R（A⑸；B错误，Ax=。的基础解系含有"氏3个解向量；C错误，因为有可能A⑷=⑸=〃+1,4%=匕无解；D正确，因为氏（4）二〃。.选AoA正确，因为它们可对角化，存在可逆矩阵尸，。，使得PAP-=dia”入上”QBQ-,因此48都相似于同一个对角矩阵。三、1.Q6+1加（按第一列展开）111,3；35（34*=3342）.山（因为向量个数大于向量维数）。％叱巴。因为03=2。1+%,A=1aaalw024。G234>+k(A=1aaalw024。G234>+k(20-2-4>。因为Ra)=3，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为n2+n3-2n1，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一个特解之和即得。a=6(R3=2n[A|=0)四、1,解法一：A+B=ABJA-E)B=A=B=(A一E)-1A。将A-E与A组成一个矩阵(A-E1A),用初等行变换求(E|(A-E)-1A)。(1(A-ElA)r-3r,r-rr-2r32-3-22J-(r-r)1-2r-r23-2-5Jr-r23解法二：A+B=ABn(A-E解法二：A+B=ABn(A-E)B=AnB=(A-E)-1A(0(A-E)-1-3-6J因此B=(A-E)-1A=-5J(-111-1、-1-11-1-112.解:I-111-1J,A2=-4A,An=(印t)(aPt)(ocPr)=ol(Ptol)(Ptol)(Ptol)Pt=(-4X1印t=(-4>-1A3.解法一：由方程组有无穷多解，得R(AXR(A1b)<3，因此其系数行列式11。川川IA1=1-12=0-101。即〃=-1或a=4。当a=-1时，该方程组的增广矩阵(11-1(AIb)=1-12111卜一1(11-1(AIb)=1-12111卜一1一11-110-300于是R(A)=R(A1b)=2<3，方程组有无穷多解。分别求出其导出组的一个2311T基础解系〔与2J，原方程组的一个特解(-1000r，故a=-1时，方程组有无穷多解，其通解为、T1)，(114(AIb)=1-12当a=4时增广矩阵I-141一j0-216)[004T1-20015,R(A)=2<R(A1b)=3，此时方程组无解。解法二：首先利用初等行变换将其增广矩阵化为阶梯形。(11a(AIb)=1-12(一1a1-1、(11a-1-0-22-aa2J(0a+11+a-1、11a0-0-22-aa2—1,001(1+a)(4-a)(2、-11.八(1+a)(4—a)=a2-1=0由于该方程组有无穷多解，得R(A)=R(A1b)<3。因此£八)，由于该方程组有无穷多解，即4=-1。求通解的方法与解法一相同。.解：首先写出二次型的矩阵并求其特征值。二次型的矩阵T-22）1-X-22A=-2-24IA-XE1=-2-2-X4=一（九—2）2（、+7）、24—2）,24-2-X因此得到其特征值为，=九2二2,九3二一7。再求特征值的特征向量。解方程组（A—2£）x=0,得对应于特征值为，=%=2的两个线性无关的特征向量丫（一21。＞」=（20l＞o解方程组（A+7石）x=°得对应于特征值为入3二-7的一个特征向量ri=(-210>11》正交化为p=(-210>1最后将1=(-210〉,%（1【三(1一2＞单位化后组成的矩阵即为所求的正交变换矩阵15_4柩15~~T3-2,其标准形为/=2y2+2y2—7y2123°.解：(1)由E+A=2E~A=°知-1,2为A的特征值。AB+2B=0n(A+2//=°,故一2为A的特征值，又B的秩为2,即特征值-2有两个线性无关的特征向量，故4的特征值为-1,2,-2,-2。（2）能相似对角化。因为对应于特征值-1,2各有一个特征向量，对应于特征值-2有两个线性无关的特征向量，所以A有四个线性无关的特征向量，故A可相似对角化。(3)A+36的特征值为2,5,1,1。故H+3石=10。五、1.AB-BA为对称矩阵。证明：(AB-BA>=(AB>-(BA>=BtAt_AtBt=-BA-AQB)=AB_BA,所以AB-BA为对称矩阵。AtA为正定矩阵。证明：由^atA)=AtA知AtA为对称矩阵。对任意的n维向量。。。,由R)=n得Aaw0,aT^atAh=|1A。|2牛。，由定义知AtA是正定矩阵。《线性代数(经管类)》(课程代码04184)第一大题：单项选择题口1瓦1、设行列式的坛=1,=2,则=(D)2、设A为3阶方阵，且已知|-2八|=2,则|A|=(B)B.3、设矩阵A,B,C为同阶方阵，则=__B__B.4、设A为2阶可逆矩阵，且已知=，则A=(D)D.5、设A为mXn矩阵，则齐次线性方程组=0仅有零解的充分必要条件是(A)的列向量组线性无关6、已知，是非齐次线性方程组=b的两个不同的解，，是其导出组=0的一个基础解系，，为任意常数，则方程组=b的通解可以表为(A)A.

7、设3阶矩阵A与B相似，且已知人的特征值为2,2,3则TOC\o"1-5"\h\z周一」=（A）A.8、设A为3阶矩阵，且已知13八+2£|=0，则A必有一个特征值为（A）A.9、二次型的矩阵为（C）C.10、设A为三阶方阵且|A|=-2，则（D）11、如果方程组有非零解，则k=（B）B.-112、设A、B为同阶方阵，下列等式中恒正确的是（D）D.13、设A为四阶矩阵，且|A|=2则（C）14、设可由向量=（1,0，0）=（0，0，1）线性表示，则下列向量中只能是（B）B.（—3，0，2）15、向量组的秩不为S（）的充分必要条件是（C）中至少有一个向量可以由其它向量线性表出16、设A为矩阵，方程=0仅有零解的充分必要条件是（C）的列向量组线性无关17、设A与B是两个相似n阶矩阵，则下列说法错误的是（D）D.E-A=E-B18、与矩阵A=相似的是（A）A.19、设有二次型则（C）C.不定20、设行列式口==3,D1=20、设行列式口==3,D1=则D1的值为（C）「厘十b4'21、设矩阵I口中=，则（C）C.a=3,b=-1,c=0,d=322、设3阶方阵A的秩为2,则与A等价的矩阵为（B）B.23、设A为n阶方阵，n>2,则|-5A|=（A）A.24、设八=，则=（B）25、向量组，（S>2）线性无关的充分必要条件是（D）D.中任意一个向量均不能由其余s-1个向量线性表示26、27、设3阶方阵A的特征值为1,-1,2，则下列矩阵中为可逆矩阵的是（D）28、设=2是可逆矩阵A的一个特征值，则矩阵必有一个特征值等于（A）A.29、二次型的秩为（C）30、设3阶方阵A=[,,]，其中（=1,2,3）为A的列向量，且|A|=2,则|B|=|[+,]1=（C）31、若方程组有非零解，则k=（A）32、设A，B为同阶可逆方阵，则下列等式中错误的是（C）C.（A+B）-1=A-1+B-133、设人为三阶矩阵，且|A|二2，则|（A*）-1|=（A）A.34、已知向量组A：中线性相关，那么（B）B.线性相关35、向量组区1'⑶人一一"^的秩为r,且r<s,则（c）。中任意r+1个向量线性相关36、若A与B相似，则（D）D.|A|二|B|37、设，是=b的解，n是对应齐次方程=0的解，则（B）38、下列向量中与=（1,1,-1）正交的向量是（D）D.39、设八=，则二次型f（x1,*2）=*1八*是（B）B.负定40、3阶行列式=中元素的代数余了式=（C）A.D.43、设3阶矩阵A=，则的秩为（B）44、设，，，是一个4维向量组，若已知可以表为，，的线性组合，且表示法惟一，则向量组，，，的秩为（C）45、设向量组线性相关，则向量组中（A）A.必有一个向量可以表为其余向量的线性组合46、设是齐次线性方程组=0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（B）B.

Ip0'、47、若2阶矩阵A相似于矩阵B=”一书，e为2阶单位矩阵，则与矩阵E-A相似的矩阵是C.48、D.49、若3阶实对称矩阵A=（）是正定矩阵，则A的正惯性指数为（D）50、设A,B,C为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立的是（C）C.51、已知=3，那么=（B）52、若矩阵A可逆，则下列等式成立的是（C）C.D.A.55、若四阶方阵的秩为3,则（B55、若四阶方阵的秩为3,则（B）匚B.齐次方程组Ax=0有非零解TOC\o"1-5"\h\z56、设A为mXn矩阵，则n元齐次线性方程且#=0存在非零解的充要条件是(B)的列向量组线性相关57、下列矩阵是正交矩阵的是(A)A.58、二次型D的特征值全部大于059、设矩阵A=正定，则(C)C.k>1第二大题：填空题1、设A为mXn矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r,则矩阵B=AC的秩为r_.2、设向量，，，则由线性表出的表示为_P=a1+0a2-a3__3、已知3元齐次线性方程组有非零解，则=_2____4、设A为n阶可逆矩阵，已知A有一全特征为2,则必有一个特征值为145、二次型的秩为2____6、若则K=__2分之一7、设A为矩阵，且方程组=0的基础解系含有两个解向量，则秩(A)=__1__8、已知A有一个特征值-2,则B=+2E必有一个征值__69、向量组=(1,0,0)=(1,1,0)=(-5,2,0)的秩是_210、设三阶方阵A的特征值分别为-2,1,1,且B与A相似，则|2B|=-1611、行列式=0「122]34512、设矩阵A='，,若齐次线性方程组=0有非零解，则数t=____2____13、已知向量组=,=,=的秩为2,则数t=___-2—14、已知向量=,与的内积为2，则数K=___315、设向量为单位向量，则数b=___0___16、已知=0为矩阵A=的2重特征