数字信号处理-330十

连续周期信号--级数连续非周期信号--变换离散非周期信号--序列的变换离散周期信号--离散级数连续时间信号的变

(

3、在一个周期内绝对可积

k

x(t)

k

x(t)e-jk x(t)e-jk0t -

第KX(k0)

X(j)

x(t)e

x(t)

1

X(j)e2Xj)是的连续函数，称为信号x(t)的频谱（密度函数e

周期x(t

Xk

X

j)

2k

X

0

周期信号——级数 连续非周期信号——变换3、级数与变换的关时频域对应关系不都有变换条件要

物理意义不

FTXj频谱密

FSX(k0k

0)(

0T x(t)e-jk0tdt，T0T01 -100

X

)

2X(k0

x(t)ejt

X

0 0

由上式及前两图可看Parseval定

X(k0)1

1XTT

22周期信号功率：Px

x(t)T-T2

k-

X(k0能量信号能量

x(t)2dt

X(j)2P92-3.1.15式的推导过程证3.1.16周期信号x(t)

k

(k0

1

k

e0

(k0

: n

nT)

0(k

k0离散时间信号的变换DTFTX(ej)

x(n)en离散时间序列 反变换定义为x(n)

1

以是(02x(n)

X(ej

X

j

X(ej)x(n)enH(ej)

h(n)ejnnej(2

e

X

j(2))

X

jX(ej是关于的连续函数单位圆上的ZT：X(ej

X(z)

ze例：设序列x(n)的波形如下图所示，求其离散时间变解：由定义式可5 5X(ej) R(n)ejn

e1ej ej

j31e

j

j1j5

1

(e 2

习题2|x(n)|DTFTP97-图时频形DTFT的性线X则

(ej)

X

(ej

(n)]

aX1

j

2

j时移

FT[x(n)]

X(ejFT[x(nn0

e

X(ej证明

X(ej)

DTFT[x(nn)]x(n

)e x(n

)e

n

ne

x(n)ejneX(ej频移

DTFT[x(n)]

X(ej

j0nx(n)]

X

j(0)证明

DTFT[ej0nx(n)]

ej0nx(n)ejnnx(n)ej(0)nnX(ej(0)序列的反

X(ejFT[x(n)]X(ej由ZT[x(n

X(1)z

线性性

X(ej

dX(ej 由Znx

)]znn

X()

可看指数性DTFT[x(n)]

X(ejDTFT[anx(n)]

X(a

ej由ZT[anx(nX(a1z)可共轭性设则

X(ejFT[x(n)]

X(ejFT[x*(n)]

X*

j由ZT[x*(n)]X*(z*)可 变换为X(ej求序列Re[x(n

1

n-

ene

n-

x(n)

n1X

(ej)

X*(ej时域卷积定

X(ej

FT[y(n)]

Y

j(n)

x(n)

W(ej

FT[x(n)

y(n)]

频域卷积定

X(ej)[y(n)]

Y

j(n)

x(n)

则W

j)

1X

j

Y

j

X(e

j()注意：系数证明W

j)

x(n)

y(n)enDTFT反变换x(n)

1

1

X(e

y(n)en2 X交换求和顺序得 X

y(n)

j()n

(e

n

X(e

j() 变换为X(ej)，

g(n)

x(2)

2

G(ej)

g(n)e

g(n)

x(2)

nn g(n)en

n

n为偶 令n2n'

n'

2n'2

)ejx(n')ejn'X(e2j

DTFT[x(n)]

X(ej)

x(n)e

x(2n)n 抽DTFT[x(2n)]

x(2n)en

x(4)ej2

x(n n2x(n')2

x(n'

e1

1x(n' 21

x(n' 2n'1 x(n')e2n'

2

2n'1 x(n')e2n'

j()n'2

e1X(ej2)

X

j( )

1X(ej2)

jX(e2习题Y(ej)

y(n)ejnx(2n1)ejnm2n1

j2

[x(n)-(1)nx(n)]

jn- 1

2

(1)n

22 21ej2 j

j2j

-1ej2 j

(e

j)nj(

j2 e2

2 2

2 12

j2X

j2)-X

j() j j j 2

2X

2)-X

2Y(ej)

x(2n1)ejnnx(3)ej(2)

x(1)ej

x(3)ej(1)

[x(n)-(1)nx(n)]

x(3)e

0

x(1)ej

0

0

x(3)ej(1)时域相关定若y(n)是x(n)和h(n)的相关函即y(m)

n-

则Y(ej

X*(ej

)H(ejx其DTFT为E(ejxx则E(ejx

X*(e

)X(ej)

X(ej)能量信号x(n)的自相关函数DTFT是x(n)DTFT的幅平方证明Y

j)

y(m)em

x(n)h(n

m)emn

jm交换求和顺序

x(n)h(n

m) n

m DTFT时移性x(ne

H(ejnH(ej)

x(n)enX*(ej)H(ej10．巴塞伐（Parseval）定 周期信号功率：x

T-T2

dt

k-

X(k0

2dt

X

22巴塞伐（Parseval）定2

n-

x(n)

X

j)表明：信号时域总能量2n-2

2等其频域总能量

X

j)X(ejX(ej

222证明信号能量n-

x(n)

n-

xDTFT反变换x(n)

)n-)

x(n)

X(ej)e交换求和顺序

X(e

x

jn21221

n- X(ej)X*(ej

X(ej)

能量谱X(ej时域能量

2能量谱X(ej2

习题X2(ej)X2(ej)

(m)

N

2N1

其中

(ej是

(n)

|n|

2 2

0|nN1x功率信号x(n)的总功率Px0|nN1x

P(ej证明功率信号的自相关 其DTFT为

rx(m)

N2N

n

x(n)x(nr(m)e

lim

1x(n)x(n1

m) m)m

mN2N1n NN

|n|

x(n)x(n

定义x2N(n)

|n|

mn

x2

N(n自相关的

2N1N

2N1|

j)

2 N

2N1|

j)

2

存在,N

2N1X2(ej)功率信号X2(ej)

j

(m)

N

2N1

(ej即：功率信号x(n)的自相关函数rxx与其功率谱Px )是一对DTFT变换x1功率信号x(n)的总功率Px1

P(ej

能量谱

(ejx能量谱E(ejx

X(ej)能量为1

X )d

x(n)

n-X2(ejX2(ej)

(ej

(ej)

N

2N1

Nx(n)

N

n-1能量谱、功率谱始终为的实函数，失去了相位信1DTFT的奇偶虚实对称对于实序列

n，

(e)(e

XR

e

jX

ejXe

(ej)RIX(ej)RIX(ej)X(ej)

(ejRIX(ejRIX(ejX(ej

幅频响应

()

相频响应Ix(n)实偶时，X(ejIRx(n)实奇时 (ej)R X(ej

x(n)cos(n)II

jx(n)XR

(ej)

x(n)n

X(ej)

x(n)nR可 (ej)R

(ej

X(ej

X(ejRIIX(ej)RII

X(ej)

jX(ejRIX(ejRI

X(ej)RR (ej)RRX*(ej

jX(ejIIjX(ejIIX2(ej)X2(ej)X2(ejRI

X(ej幅频响应

X(ej

IIR (ejRX(ej X(ej()

arctan

RXRR

j

(ej

x(n)实偶

X(ej

x(n)sin(n)nIRIR

x(n)实奇

(ej

x(n)cos(n)n3.2.4一些典型信号的(nX(ej1所有幅频响，相频响(nm)

X(ej)

(nm)ejnn

ejm所有幅频响X(ej arctan[

] XR

e

X(ej)

2k

2k),k

j证明：x(n)

2(k

2k

d

(0

d sin(0n)

j[(

2k)(

2k)],k

[(k

u(n)

2k

k1e

ke

X(ej)

2k

圆周频率为0的离散复正弦序列以及n)33 1-1 n X(ej)

x(n)eX(ej0)

n3x(n)ej0n3

x(n)n

n

n1

x(n)

1

X(ej

2x(0)

根据Parvesal

n-

x(n)

X

X(ej)

d2|x(n)

n3.2.5信号截短对DTFT矩形窗函数d

n0,1,,N1 xN(n)

x(n)d(n自然

j

N

jn

1e1e

ejN/ej/

ejN/ej/

ejN/ej/sin(N/

ej(N1)/

sin(N/设

(ej)

gg

ej(N1)/

D(ejN

ej(N1)/

sin(N/

)n0设

(ej)

sin(N/2)sin(/2)

/N2

k

N k

543210 6420 50 0 50 g0时，D(ejgN2

k

0)时，D(ej

2kggNsin(sin(N2/sin(/0NN,

(n)

x(n),D(ej

(xN(n)

x(n)dN (ej)N

X(ej)*D(ej

X(ej)D(ej()g其中X(ejg

DTFT[d(n)]

D(ej)

ej(N1)/

D(ejN (ejN降低频谱分辨 主瓣平频

边频谱中两个靠得很近的谱峰保持分开的能力

cos(4则X(ej

2l2l l

xN(n)

x(n)dN (ej)N

X(ej)*D(ej

X(ej)D(ej()DDg)N (ej)X(ej)*D(ejN降低频谱分辨力

频谱------边 4N4N

N

2fs 2

0000 N,N

当然数据也不能太长，否则会增加运算量和量P268连续时间信号xa

x(n)a a

Xa

Xs

?

X(ejXs

j)

Xa

j)*

Xs

j)

Xa

j)*

Xak

j

jks

Tsk

TXa(Ts

s1

X(j

ksaTsk as

sTs

其频谱的最高频率为fc以采样频率fs对x(t)采样时，设采样信号为xs(tffs2fc频谱分频谱分 …

xs(t)…0…0…stP(P(sXs(2s 2ss c 2sP( s2s0 Xs(s0sX( c X( c

0 s

Xs

X( c s

c0 s2

2s fcs:奈频fs

xs(t)

xa(t)

y(t) 频域：Y

Xs(j)H

时域：y(t)

xs(t)*h(t)

F1T[H

j)]

Sa(st2y

h tt xa nxa

)Sa(s

2n n

f1

f2现以fs80Hz对这两个信号