人教版高中数学选修2 练习3-2-3 求空间角、空间距离问题 2

一、选择题

已知三棱锥

—

中，，，

上一点

P

到三个面

，，

的距离分别为

，，

，则的长度为 A.

C.

B.

解析：由题意可分别以

，，

为

轴，

轴，

轴建立空间直角坐标系，则点

的坐标为，点P

的坐标为

，，

，由两点之间的距离公式可得＝

＋＋＝答案：

陕西高考如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱

－，＝＝，则直线

与直线

夹角的余弦值为 A.

B.

C.

解析：不妨设

＝

，，，．→ →∴＝，－，＝－．·

＋－

·

＋－

→ →〈，〉＝

→ →

＝

＝

，故选

A.答案：A

陕西省高新一中期末考试方体

－，＝，＝，＝

到直线

的距离为 A.

B.

C.

解析：本题主要考查空间点到直线的距离，过点

作

BE

垂直，垂足为

E，设点

E

的坐标为，，，则

，，→ → →，＝，－，E＝，，－，BE＝－，，．

→

→E∥，因

为 所

以→

BE·

→→

＝＝－，

－－＋－＝，

解

得＝，

＝，＝，

＝，

→

→所以BE＝－，

，，所以点

到直线

的距离BE

＝

，故选

B.答案：B

如图，在空间直角坐标系

中，四棱柱

－为长方体，＝＝，点

E、F

分别为

、

的中点，则二面角

－－E

的余弦值为 A.

－

C.

B.

－

解析：识．设

＝，则

，，因为

E、F

分别为

、→ →的中点，所以E，F，所以E＝－，＝，－

→，设

m＝，，

→，设

m＝，，是平面

BE

的法向量，则

→

·

m＝

－＋＝， ＝ 所以 所以 取

＝，则

＝＝，所以平 －＝， ＝ →面

BE

的一个法向量为

m＝

⊥平面

＝→是平面

〈m，

→m·

→

＝

m＝

，又二面角

－－E

为锐二面角，所以二面角

－－E的余弦值为

，故选

C.答案：．已知在长方体－中，＝＝，＝，E是侧棱

的中点．则直线

与平面

ED所成角的大小为 A．．

B．．以上都不正确解析：结合图形，以点

为原点，、、分别为

轴、

轴、

轴，建立空间直角坐标系，如下图．→由题意知，、E、，E＝，→ →－，E＝，－，＝，－，－．设平面

ED的一个法向量为

＝，，， →· →·

E＝，＋－＝·

→E＝

－＝，－·

令

＝，得

＝－·

→→所以

＝，〈，〉＝ →＝

＝－

→，〉＝所以直线

与平面

ED所成的角为

答案：B．P

是二面角

α－－β

棱上的一点，分别在

α、β

半平面上引射线

、，如果∠＝∠＝，∠＝，那么二面角的大小为 A． B．． ．解析：不妨设

＝，＝b，作

⊥

于点

E，⊥

于点

F，如下图所示．∵∠＝∠＝， b∴PE＝ ，PF＝ ， →

→ → → → →∴·

＝－PE)·(－PF→

→ →

→ →

→ →

→＝·

－·

PF－PE·

＋PE·

PFb b＝－· － ·

b＋ · ＝

－

－

＋

＝→ →∴⊥.∵、

分别是

α、β

内与棱

垂直的直线，∴

与

之间的夹角就是所求二面角，即

α－－β

的大小为

答案：二、填空题．空间四点

，，，，则点

到平面

的距离是________．解析：

本题主要考查空间向量的坐标运算以及空间点到平面的→ →距离的求法．由已知得＝，－，＝，设平面

的→·

＝，→法向量

＝，，，则→·

＝，→

－＋＝，，即

，令＋＝，→＝，则

＝，＝－，所以

＝，－，＝，－，－，→·

所以点

到平面

的距离＝ ＝

答案：

辽宁大连一模长方体

－中，＝＝，＝，E

为

的中点，则异面直线与

所成角的余弦值为________．E 解析：

，

，

，E

·

·

＝－，＝－，→

→→ →〈，〉＝

→

→

＝

.所以异面直线

与

所成角的余弦值为

.答案：

四棱锥

P－

中，⊥底面

，

是正方形，且＝＝，

为△

的重心，则

与底面

所成的角

θ的正弦值为________．

·

以

，，

为

，，

P，→，，，则重心

，，，因而＝，→

→→ → →＝－，－，，那么θ＝〈，〉＝

→ →

＝

.

答案：

三、解答题．已知正四棱锥

－

的底面边长为

，高为

，点

P

是高的中点，点

是侧面

的重心．求：异面直线

与

所成的角的余弦值；直线

与底面

所成的角的余弦值．解：以正四棱锥的底面中心

平行于

的直线为

平行于

的直线为

轴，

为

轴建立空间直角坐标系，如右图所示．则

，，－，因为P

是

的中点，

是△

的重心，所以

P，，，．→ →＝，，－，＝－，－，→

→

－

→

→

－

所以〈，〉＝ ＝

，所以异面直线×2

与

所成角的余弦值为

.因为

⊥底面

，所以RE

在底面的射影为

，因为∈RE

在底面上的射影在

在底面上的射影为直线

所在的直线与

的夹角为

与底面

→ → →所成的角，因为E，所以＝，所以

〈，〉＝ ＝，所以直线

与底面

所成的角的余弦值是3×．

福建高考在平面四边形

中，＝＝＝，⊥，⊥.将△

沿

⊥平面

，如图．求证：⊥；若

M

为

中点，求直线

与平面

所成角的正弦值．解：∵平面

⊥平面

，平面

∩平面

＝，⊂平面

，⊥，∴⊥平面

.又

⊂平面

，∴⊥.

→过点

在平面

内作

BE⊥，如图．

→由知

⊥平面

，BE⊂平面

，⊂平面

⊥BE，⊥.→ → →以

为坐标原点，分别以BE，，的方向为

轴，

轴，轴的正方向建立空间直角坐标系． 依题意，得，，，，M，，，→ →则＝，＝，，，＝，－．设平面

的法向量

＝，，，→·

＝，→则→·

＝，→

＋＝，即

＋＝，取

＝，得平面

的一个法向量

＝，－．，设直线

与平面

所成角为

θ，→＝则

θ

〈，〉＝＝

→·

→

＝

，即直线

与平面

所成角的正弦值为

.

天津高考

如图，在四棱锥

P－

中，

⊥底面，⊥，∥，＝＝＝，＝，点

E

为棱PC

的中点．证明：BE⊥；求直线

BE

与平面

所成角的正弦值；若

F

为棱

PC

上一点，满足BF⊥，求二面角F－－P

的余弦值． P解：依题意，以点

为原点建立空间直角坐标系 P，，，．由

E

为棱

PC

E．→ → →

→向量BE＝，＝，故BE·

＝所以，BE⊥.→ →向量＝－，＝，－．设

＝，，为平面

的法向量．→·

＝，→则→·

＝，→

－＋＝，即

不妨令＝，可得＝－＝·

BE

·

BE

→→〈，BE〉＝ →

＝

6×

＝

.BE所以，直线

BE

与平面

所成角的正弦值为

.→ → → →

向量

＝

，

CP

＝

－

，－

，

＝

，

＝

·

BF＝，

→ ，．设

·

BF＝，

→ ，．设

＝，，为平面

的法向量，则

－＋＋＝ 不妨令

＝，可得＝，－为平面

·

〈，〉＝ ＝ ＝－