专升本-多元积分学

d

d

d

,

,

d

d

d

d

d

,

,

,

,

.

d

d

I

d

:

,

:

//

,

,

,

F

F

,

F

/

F

/

F

/

F

/

2,

2,

2,

M

2,

2,m

2,

I

,

,

,

,

,

d

.

.

.

)

.

:

:

,

,:

.

I

I

,

,

, :

,

,

,

,

:

:

:

.

,

:

I

I

,

,

,

.

I

,

,

:

:

.

:

.

.

I

,

,

,

,

.

:

,

.

,

:

.

,

:

:

.

,

,

,

,

I

,

.

,

.

:

,

,

.

.

:

:

,:

.

b

.b

.b

b

.b

.b

.

b b b b

bb

.b

.

b,:

b.bb

.b

.

bb

.b

.

b

.

b

.

b

.b

b

b

b

b

b

bb

b

.

b

b

.b

b

I

e

,:1

e

e

e

e

e

.

:

:

:

,

:

:

:

:

,

e

e

e

.

e

e

r

,r

d

r

,r

.

,

r

,r

,

r

,:

.

,:

r

,

.

r

,r

d

r

,r

. ::

r

,

.

r

,r

d

r

,r

.

d

er

.

e

e

I

I

e

e

e

d

er

d

:

r

,

.I

I

d

极

r

d

r

d

r

r

d

d

d

d

d

d

I

dI

d

r

d

r

d

r

r

d

r

d

d

d

d

:

r

,

.

d

d

r

d

r

d

r

r

d

.

d

d,:1

,

,

II

d

r

,r

d

r

,r

,:

:0

:

.

d

dI

r

.

d

d

I

I

,

I

I

d

r

,r

d

r

,r

I

,

l

:

,

l

:

,

l

:

l

:

.I

d

r

,r

I

,

r

r

r

r

.

r

.

:

.

I

I

d

r

,r

d

.

r

r

r

r

/

,

,

r/

r/

:

:

.

d

d

d

.

.

.

r

L

,

,

L

,

,...,

,...,

i

i

i

n

n

i

,i

,

i

,

L

i

M

i

i

i

i

i

iM

M

M

,

i i

i

i

i

iM

M

M

,

,

n n

i

i

i

i

i

i

in

i

,

L

LL

（。

i

（。

,

i

L

,

i

ii i i

i

i

i

,

,

L

i

i

i

i

n

,

n

L

i

i

i

i

,

L,

L

,

,

LL

L

L

L

L

L

L

LL

,

L

,

,

L

,

,

L

L

,,

L

,

L

,

L

M

,

L

,

g

,

,

g

,

.

,

,

L

L

,

,

,

,

,

,

,

/

/

,

,

L:

L

(

)

,

L

,

L: ,

.

/

/

/

d

(

(

)

d

.

L

L

L:

L:

,

.

L

/

/

/

dt

dt

L

udu

d

d

d

.

I

eL

I

e

e

e

:

,e

e

:

.

e

:

,

.

e

e

e

I

I

L

L

,

r

r

,

,

.r

r/

d

r

r/

d

,

r

,r

r

r/

d

L

d

.

L L

L

:r

.

L

:

L

:

L

,

L

,

L

dA

L

Li

,

F

,

,

,

j

i,,

,

L,F

F

W

F

.

F

,i

,i

i i i

,

,...,

,...,

。（i

i

i

i

n

n

光滑而且很短，因此可用有向小直线段

,

i

j

i i i

i

i

i

,

i

i

i

i

i

i

i

i

,

,

,

L,i

i

iiiF

i

P ,

,

,

,i

,P ,

, i

i

i

i

i

i

F

W

F

.

, .

i

,

,

ii

i

i

i

i

i

i

i

i

i

i

F

WW

,

,

n

nii

i

ii

i

i

i

iW

W

W

,

,,

ni

ii

i

i

i

in

i

i

i

i

i

i

,,

,

L

,

i

,

i

,...,i

n;

,

,

,

i

,

(i

,

i i i n i ii i i i i i i i i当各小弧段长度的最大值

时，无论对有向曲线弧

如何分割，也无论ni i i

i

i

i

i,

P,

L

,

(i

,

ni i i

i

i

i

i

,

,

,

,

,

,L

P,

,

L

L

,

i

i

i

i

b

i

i

i,,

,

L,

L

,

P,

,

P,

,

L

LL

L

LL

L

L

L

L

L

L ,

P,

,

F

,

,

,L,

F

,

,

,,,

,

L,

P,

,

LW

P,

,

L

P,

,

L

P,

P

,

P,

P

,

P

,

(因为

,L

,

L

i

i

i

i

i

i

i

i

i,

,

b

,

,

L

,

,

,

,

,

b

/

b

,

,

/

,

,

/

dL

,

,

,

,

,

,

/dL bL

,

,

,

,

dt

,

L:

/L

,

,

dt

,

,

,

,

L / /L

L:

~

L:

~

.

L:L:

.

.

dt

.

,L

L:

,:

~

.

. L

L

L

:

,,:1~

.

:

,:

.

:

,:

~

.

L

L

L

L

.

,: ,:

~

.

L

.

,: ,:

~

.

L

:

,:

,:

~

: ,:

~

.

L

,L: ,

:

~

.

L

L

.

dt

dt

.

,

,

,

,

P

L

,L:

L,

,

,

.

,

,

Pd

d

d

r

.

d

L

L

b

b

d

.

e

L

L

e

e

e

L

e

e

e

e

L

L

,

L

L

L

L

d

r

.

I

L

e

L

LI

e

e

(

I

I

.

L

I

,

,

,

.

L

L

:

,L

L

I

I

P

L

L

L

L

L

L

/

./

:

./

:

.

.

L

,,

,

,

L

,L

L

L