三角形角的性质课件

13.2（2）三角形角的性质13.2（2）三角形角的性质1目录1.三角形内角和定理2.三角形外角性质3.三角形按角的大小分类目录2教学过程明确性质课堂小结实际运用证明引入教学过程明确性质课堂小结实际运用证明引入3教学目标1.明确三角形内角和外角的性质，以及三角形按角的大小的分类。2.实际运用三角形角的性质解决问题。3.熟悉转化，类比等思想。教学目标1.明确三角形内角和外角的性质，以及三角形按角的大4一.三角形内角和定理小学时我们如何得出三角形的三个内角的和等于180度？我们还可以通过测量来得出结论。回顾裁剪，拼接一.三角形内角和定理小学时我们如何得出三角形的三个内角的5已知△ＡＢＣ，求证：∠A+∠B+∠C=180°

但上述方法仅仅是通过实验和观察得出的结论，我们还需要通过理论上的证明，得出一般性结论。而运用我们上学期学到的知识，结合小学时拼接的方法，可以证明出这一性质。回顾CBA已知△ＡＢＣ，求证：∠A+∠B+∠C=180°但6证法1：延长BC到D，过C作CE∥BA，∴∠A=∠1

(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°21EDCBA

在这里，为了证明的需要，在原来的图形基础上另外所作的线叫做辅助线。在几何学中有极大的意义。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。证法1：延长BC到D，过C作CE∥BA，21EDCBA7证法２：过A作EF∥BA，∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)又∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°F21ECBA证法２：过A作EF∥BA，F21ECBA8能用其他添加辅助线的方法证明三角形内角和为180°吗？CBA试一试能用其他添加辅助线的方法证明三角形内角和为180°吗？CBA9CBEA证法3：过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE

(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°CBEA证法3：过A作AE∥BC，10当然，还有其他添辅助线的方法：FGEACBD（∠DAE=180°）DFBECA（∠BCE=180°）

BACOFGDEMN（∠MON=180°）

COBADEFGMNHKLP（∠MON=180°）

当然，还有其他添辅助线的方法：FGEACBD（∠DAE=111为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法。

思路为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁12由以上的证明，我们可以得到三角形三个内角之间的一个重要性质：定理：三角形的内角和等于180°。这个定理称为三角形内角和定理，它的应用十分广泛。

结论由以上的证明，我们可以得到三角形三个内角之间的一个重要性质：131.计算下列三角形中标有x的角的度数。练习x

x

xx

x

x=45°

x

=60°2

x

x┐x=30°x55°50°x

=75°1.计算下列三角形中标有x的角的度数。练习xxx143.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为()A.100°B.120°C.140°D.160°100°B代入：∠B+∠C=180°-∠A

2.在△ABC中，已知∠A:∠B:∠C=1:3:5，则最大的角为（）。3.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为(154.若三个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于（）A.30°B.45°C.60°D.55°答案：C.假如最小角不小于60度，因三个内角互不相等，所以另外两个非最小角必大于60度。此时，该三角形内角和必大于180度，这与三角形内角和定理矛盾，故假设不可能成立，即它的最小角必小于60度。）4.若三个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于（165.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向.从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是多少度?ABC北北DE50°80°40°5.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东17解：∠CAB=∠BAD-∠DAC=80°-50°=30°由AD∥BE可得∠DAB+∠EBC=180°∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°在△ABC中，由三角形内角和定理得∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°答:从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90度.解：∠CAB=∠BAD-∠DAC=80°-50°=30°18课本P81试一试我们学过三角形，类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形。这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360度。多边形内角和课本P81试一试我们学过三角形，类似地，在平面内，由一些1934423334423320(n-3)(n-2)(n-2)课本P81表格多边形内角和公式：n边形内角和等于

结论(n-3)(n-2)(n-2)课本P81表格多边形内角213.一个多边形的内角和超过640度，则此多边形边数的最小值是（）。A.5B.6C.7D.8>640°B2.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是()A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形A3.一个多边形的内角和超过640度，则此多边形边数的最小值是22二.三角形外角性质外角的概念：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角。如图，点D是△ABC的边BC延长线上的一点，则∠ACD叫做△ABC的一个外角。二.三角形外角性质外角的概念：三角形的一边与另一边的延长23练习练习24△ABC有多少个外角？

思考CBA6个△ABC有多少个外角？思考CBA6个25

探究上图中∠A=70°,∠B=60°∠ACD是△ABC的一个外角,能求出∠ACD是多少度吗？130°探究上图中∠A=70°,∠B=60°∠ACD是△A26过点C作CE∥AB。∴∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）

∴∠ACD=∠1+∠2=∠B+∠AE进一步说明∠ACD与∠A，∠B有什么关系。12过点C作CE∥AB。E进一步说明∠ACD与∠A，∠B27∠ACD=∠B+∠A1.∠ACD=∠B+∠A2.∠ACD>∠A∠ACD>∠B（在这里，度数大于0）∠ACD=∠B+∠A1.∠ACD=∠B+∠A28由以上的证明，我们可以得到三角形外角性质：（１）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（２）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。结论由以上的证明，我们可以得到三角形外角性质：结论29练习1.练习1.30三角形角的性质课件312.下列语句中，正确的是（）A.三角形的外角大于任何一个内角B.三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和C.三角形的外角中，至少有两个钝角D.三角形的外角中，至少有一个钝角C与它不相邻的与它不相邻的两2.下列语句中，正确的是（）C与它不相邻的与它不32P82例3注意写法P82例3333.P86.63.P86.634如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC=70°.求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数.50°20°4.如图，D是△ABC的BC边上一点，50°20°4.354.我们知道三角形的内角和是180°，那么三角形的外角和是多少？注意：我们讲三角形的外角和时，在三角形的每一个顶点处只取一个外角。如图，已知∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，求∠1+∠2+∠3的和。ABC1234.我们知道三角形的内角和是180°，那么三角形的外角和是多36解：∵∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，∴∠1=∠4+∠5，∠2=∠4+∠6∠3=∠5+∠6∴∠1+∠2+∠3=∠4+∠5+∠4+∠6+∠5+∠6=2(∠4+∠5+∠6)∵∠4+∠5+∠6=180°∴2(∠4+∠5+∠6)=360°ABC123456解：∵∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，ABC12345637由此，我们得出：三角形三个外角的和等于360°注意：目前我们在做解答题时，不能直接用以上结果。由此，我们得出：注意：目前我们在做解答题时，不能直接用以上结38∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝

.4.360°∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝.4.360°39解:∵∠A＋∠C=∠AGP∠B＋∠E=∠BHP∠F＋∠D=∠HPG(三角形外角性质1）又∵∠AGP

+∠BHP+∠HPG=360°∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°三角形角的性质课件40思考三角形三个外角的和等于360°，那多边形呢？试求五边形和六边形的外角和。思考三角形三个外角的和等于360°，那多边形呢？试求五边形和415边形外角和=360°=5个平角-5边形内角和=5×180°-(5-2)×180°6边形外角和=360°=6个平角-6边形内角和=6×180°-(6-2)×180°5边形外角和=360°=5个平角-5边形内角42n边形外角和=n个平角-n边形内角和=360°=n×180°-(n-2)×180°=（n–n+2）×180°=2×180°与边数n无关有什么规律？n边形外角和=n个平角-n边形内角和=36043三角形角的性质课件44任意凸多边形的外角和等于360°.因此，我们得出：

结论注意：1.凸多边形的外角和为一个定值，与边数无关。2.凹多边形的外角和不一定为360°。任意凸多边形的外角和等于360°.因此，我们得出：结论注意451.如果一个多边形的每一个外角都是锐角，那么这个多边形的边数一定不小于（）A.3B.4C.5D.6Cn·90°>360°1.如果一个多边形的每一个外角都是锐角，那么这个多边形的边数462.工人师傅要将一个四边形的桌面用锯子锯成一个多边形，且这个多边形的内角和等于它外角和的3倍，请问要锯成几边形？(n-2)·180°=3×360°解得n=8因此要锯成八边形.解：设多边形的边数为n，由题意得2.工人师傅要将一个四边形的桌面用锯子锯成一个多边形，且这个47三.三角形按角的分类思考1.三角形的内角中最多能有几个直角？2.三角形的内角中最多能有几个钝角？三.三角形按角的分类思考1.三角形的内角中最多能有几个直48三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形。这样，三角形按角的大小可以分成：三个角都是锐角的三角形叫做锐角三角形。这样，三角形按角的大小491.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是()A.锐角三角形B.钝角三角形;C.直角三角形D.钝角或直角三角形A2.在△ABC中,∠A=∠B=∠C,则此三角形是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形B练习参数法1.如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是(503.如果一个三角形的两个外角之和为270度，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定B∠A＋∠B＋2∠C=270°∵∠A＋∠B=360°-270°∴∠C=90°3.如果一个三角形的两个外角之和为270度，那么这51总结这节课学到了什么？总结这节课学到了什么？52三角形内角和定理：三角形的内角和等180°。多边形内角和公式：三角形外角性质：（１）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（２）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。任意凸多边形的外角和等于360°.1.2.3.三角形内角和定理：三角形的内角和等180°。1.2.3.53谢谢!谢谢!5413.2（2）三角形角的性质13.2（2）三角形角的性质55目录1.三角形内角和定理2.三角形外角性质3.三角形按角的大小分类目录56教学过程明确性质课堂小结实际运用证明引入教学过程明确性质课堂小结实际运用证明引入57教学目标1.明确三角形内角和外角的性质，以及三角形按角的大小的分类。2.实际运用三角形角的性质解决问题。3.熟悉转化，类比等思想。教学目标1.明确三角形内角和外角的性质，以及三角形按角的大58一.三角形内角和定理小学时我们如何得出三角形的三个内角的和等于180度？我们还可以通过测量来得出结论。回顾裁剪，拼接一.三角形内角和定理小学时我们如何得出三角形的三个内角的59已知△ＡＢＣ，求证：∠A+∠B+∠C=180°

但上述方法仅仅是通过实验和观察得出的结论，我们还需要通过理论上的证明，得出一般性结论。而运用我们上学期学到的知识，结合小学时拼接的方法，可以证明出这一性质。回顾CBA已知△ＡＢＣ，求证：∠A+∠B+∠C=180°但60证法1：延长BC到D，过C作CE∥BA，∴∠A=∠1

(两直线平行，内错角相等)∠B=∠2(两直线平行，同位角相等)又∵∠1+∠2+∠ACB=180°∴∠A+∠B+∠ACB=180°21EDCBA

在这里，为了证明的需要，在原来的图形基础上另外所作的线叫做辅助线。在几何学中有极大的意义。在平面几何里，辅助线通常画成虚线。证法1：延长BC到D，过C作CE∥BA，21EDCBA61证法２：过A作EF∥BA，∴∠B=∠2(两直线平行,内错角相等)∠C=∠1(两直线平行,内错角相等)又∵∠2+∠1+∠BAC=180°∴∠B+∠C+∠BAC=180°F21ECBA证法２：过A作EF∥BA，F21ECBA62能用其他添加辅助线的方法证明三角形内角和为180°吗？CBA试一试能用其他添加辅助线的方法证明三角形内角和为180°吗？CBA63CBEA证法3：过A作AE∥BC，∴∠B=∠BAE

(两直线平行,内错角相等)∠EAB+∠BAC+∠C=180°(两直线平行,同旁内角互补)∴∠B+∠C+∠BAC=180°CBEA证法3：过A作AE∥BC，64当然，还有其他添辅助线的方法：FGEACBD（∠DAE=180°）DFBECA（∠BCE=180°）

BACOFGDEMN（∠MON=180°）

COBADEFGMNHKLP（∠MON=180°）

当然，还有其他添辅助线的方法：FGEACBD（∠DAE=165为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补,这种转化思想是数学中的常用方法。

思路为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁66由以上的证明，我们可以得到三角形三个内角之间的一个重要性质：定理：三角形的内角和等于180°。这个定理称为三角形内角和定理，它的应用十分广泛。

结论由以上的证明，我们可以得到三角形三个内角之间的一个重要性质：671.计算下列三角形中标有x的角的度数。练习x

x

xx

x

x=45°

x

=60°2

x

x┐x=30°x55°50°x

=75°1.计算下列三角形中标有x的角的度数。练习xxx683.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为()A.100°B.120°C.140°D.160°100°B代入：∠B+∠C=180°-∠A

2.在△ABC中，已知∠A:∠B:∠C=1:3:5，则最大的角为（）。3.已知△ABC中,∠A=2(∠B+∠C),则∠A的度数为(694.若三个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于（）A.30°B.45°C.60°D.55°答案：C.假如最小角不小于60度，因三个内角互不相等，所以另外两个非最小角必大于60度。此时，该三角形内角和必大于180度，这与三角形内角和定理矛盾，故假设不可能成立，即它的最小角必小于60度。）4.若三个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于（705.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东80°方向,C岛在B岛的北偏西40°方向.从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是多少度?ABC北北DE50°80°40°5.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向,B岛在A岛的北偏东71解：∠CAB=∠BAD-∠DAC=80°-50°=30°由AD∥BE可得∠DAB+∠EBC=180°∴∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60°在△ABC中，由三角形内角和定理得∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB=180°-60°-30°=90°答:从C岛看A,B两岛的视角∠ACB是90度.解：∠CAB=∠BAD-∠DAC=80°-50°=30°72课本P81试一试我们学过三角形，类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫多边形。画出任意一个四边形的一条对角线，都能将这个四边形分为两个三角形。这样，任意一个四边形的内角和，都等于两个三角形的内角和，即360度。多边形内角和课本P81试一试我们学过三角形，类似地，在平面内，由一些7334423334423374(n-3)(n-2)(n-2)课本P81表格多边形内角和公式：n边形内角和等于

结论(n-3)(n-2)(n-2)课本P81表格多边形内角753.一个多边形的内角和超过640度，则此多边形边数的最小值是（）。A.5B.6C.7D.8>640°B2.若从一个多边形的一个顶点出发,最多可以引10条对角线,则它是()A.十三边形B.十二边形C.十一边形D.十边形A3.一个多边形的内角和超过640度，则此多边形边数的最小值是76二.三角形外角性质外角的概念：三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫做三角形的外角。如图，点D是△ABC的边BC延长线上的一点，则∠ACD叫做△ABC的一个外角。二.三角形外角性质外角的概念：三角形的一边与另一边的延长77练习练习78△ABC有多少个外角？

思考CBA6个△ABC有多少个外角？思考CBA6个79

探究上图中∠A=70°,∠B=60°∠ACD是△ABC的一个外角,能求出∠ACD是多少度吗？130°探究上图中∠A=70°,∠B=60°∠ACD是△A80过点C作CE∥AB。∴∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）

∴∠ACD=∠1+∠2=∠B+∠AE进一步说明∠ACD与∠A，∠B有什么关系。12过点C作CE∥AB。E进一步说明∠ACD与∠A，∠B81∠ACD=∠B+∠A1.∠ACD=∠B+∠A2.∠ACD>∠A∠ACD>∠B（在这里，度数大于0）∠ACD=∠B+∠A1.∠ACD=∠B+∠A82由以上的证明，我们可以得到三角形外角性质：（１）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；（２）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。结论由以上的证明，我们可以得到三角形外角性质：结论83练习1.练习1.84三角形角的性质课件852.下列语句中，正确的是（）A.三角形的外角大于任何一个内角B.三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和C.三角形的外角中，至少有两个钝角D.三角形的外角中，至少有一个钝角C与它不相邻的与它不相邻的两2.下列语句中，正确的是（）C与它不相邻的与它不86P82例3注意写法P82例3873.P86.63.P86.688如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°，∠BAC=70°.求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数.50°20°4.如图，D是△ABC的BC边上一点，50°20°4.894.我们知道三角形的内角和是180°，那么三角形的外角和是多少？注意：我们讲三角形的外角和时，在三角形的每一个顶点处只取一个外角。如图，已知∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，求∠1+∠2+∠3的和。ABC1234.我们知道三角形的内角和是180°，那么三角形的外角和是多90解：∵∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，∴∠1=∠4+∠5，∠2=∠4+∠6∠3=∠5+∠6∴∠1+∠2+∠3=∠4+∠5+∠4+∠6+∠5+∠6=2(∠4+∠5+∠6)∵∠4+∠5+∠6=180°∴2(∠4+∠5+∠6)=360°ABC123456解：∵∠1，∠2，∠3是△ABC的外角，ABC12345691由此，我们得出：三角形三个外角的和等于360°注意：目前我们在做解答题时，不能直接用以上结果。由此，我们得出：注意：目前我们在做解答题时，不能直接用以上结92∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝

.4.360°∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝.4.360°93解:∵∠A＋∠C=∠AGP∠B＋∠E=∠BHP∠F＋∠D=∠HPG(三角形外角性质1）又∵∠AGP

+∠BHP+∠HPG=360°∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°三角形角的性质课件94思考三角形三个外角的和等于360°，那多边形呢？试求五边形和六边形的外角和。思考三角形三个外角的和等于360°，那多边形呢？试求五边形和955边形外角和=360°=5个平角-5边形内角和=5×180°-(5-2)×180°6边形外角和=360°=6个平角-6边形内角和=6×180°-(6-2)×180°5边形外角和=360°=5个平角-5边形内角96n边形外角和=n个平角-n边形内角和=360°=n×180°-(n-2)×180°=（n–n+2）×180°=2×180°与边数n无关有什么规律？