误差理论与测量平差-04第四章间接

第四章间接平第一节间接平差原理第二节误差方程第三节精度评第四节间接平差算法与算第一节间接平差原V

ˆ

(4-随机模型

D2

2

nn(4- 由于误差方程个数n待求量和V前总数为n+1，而<n+t,4)在VT计算公式

下求得其一难解。下面导出间接平差一、间接平差的基础方程及其设平差问题中有n个观测值L，已知其协因数阵

必要观测数为t，选定t个数立量为参数X，其估量为Xnˆ观测值L与改正数V之和L=L+V，称为观测平差值按具体平差问题，查列出n个差值方程

（4-

nt1L1

V1 1

ˆ1XˆX

d1 1LL2

VV2

ˆ 2

dd2

ˆ ˆLn

Vn

n

dnB

12112221

t则平方值方程的矩阵形式LVˆ

（4-

0

（4-式中X

参数的

似值，于是得误差方程Vˆ

（4-按最小二乘原理，上式

VT

min要求，因为t个参数为独立量，故可按数学上求函数自由值的方法，VT

VTPB转置后

BTPV

（4-以上所得的（4-6）和（4-7）式中的待求量是n个和ˆ，而议程个数也是n+t个，有唯一解，称此两式为接平差的基础方程BTˆBTPl

（4-N BTN t

BTt上式可简

NbbˆW

（4-式中系数阵Nbb为满秩RNbbt,ˆ有唯一角，上式 ˆ

（4-ˆBTPB1BT

（4-将求出的ˆ代入误差方程（4-6），即可求得改正数从而平差结果

ˆ

LV

（4-设法方程式的纯量N11

N12ˆ

N1tˆ

W10

（4-

ˆ

Nt1

Nt2ˆ

Ntt

0当P为对角阵时，法方程系数常数项的计算式分为Nij

nnkn

k1

（4-当P为非对角阵时，法方程系数和常数项的计算式分别 Nij和

k

（4-

Pkmbki

（4-k1二、按间接平差法求平差值的计算步根据平差问题的性质，选择t个独立量作为参数解算法方程，求出参数，计算参数的平差值由误差方程计算V，求出观测量平差值第二 误差方一、确定待定参数的个网而言，如果网中有高程已知的水准点，则t就等于待定二、参数的选1，2，3等高差为参数，因为，此 X1L1,X2L2,X3L3

L1L2L30,故X1X2X3三个参数间函数相关在图4-2中A、B、C是已知坐标的三此例，必要观测数为t=2，通常选取D点 坐标为参数，这样的参数总是函数独立的。此外，也可选取个独立观测量 ~为参数，例如，选XD,YD ~

~

~X1L2

X1L2

X1L4 ~

~

~X2L3 X2L2 X2L6等，它们都是函数独立的。但不能选取 因为

X1

L2,X1

L4X1X三、误差方程的组四、误差方程非线性函数关返可对非线性平差值方程线性化，ˆ Li

（4-按台劳公工展开

i12ti12t

f

, ,, 10令

fi

2

fi

t0

fi

（4-

ii

,bi0

X

,,0

Xt0 Li

fX

0,

0,,

0L 12tiii式中L0为相应的函数的近似值，自由12tiiiL减去其近似值L0。由此（4-21）式

li为观测ii

ˆ

bitˆ

(4-返需要，线性化的误差方程是个近似式，因为它略测角网坐标平差的误差方这里讲测角网中选择待定点误差方程的线性化问题。先介绍坐标改正数与坐标方位角改正数之间的关系式。在图4-4中，j、k是两个待定点，它们的近似坐标 X0Y0X0和Y。根据这些近似坐标可以计算 jkk设这两点的近似坐标的改正数k

ˆj

ˆˆk

ˆk j

ˆ

ˆj

ˆ

ˆ

ˆkjˆjj

ˆ

ˆj

ˆ

jkkk由近似坐标改正数引起的近似坐标方位角的改正数为aj，jkkk

a0

ˆj

ˆj,ˆk

坐标方位角改正

jkji根据图4-4可以写出ji

ˆˆjk

arctg

0ˆ0

X

ˆijY0YjY0YX0X00 ˆ

arctg

k

ˆkjk角a0，对照（4-24）式可知jka

jk

jkˆ

ˆ

jk

ˆ

jk

ˆ,（4-j jk0k

j0j

Xk

0 式 Y

Y X0Y0

Y0Y

Y jk

Y0Y

j

1

jkX0Y0

jk

X 0j 0j jk jk

k0k jk

jk0X 002k 02kjk将上列结果代入（4-25）式，并顾及全式的单位

X

X

ˆ

XS S

XS S

ˆ

（4-SS SS

或写

SS

SSS S

jk

jk

jkˆk.S jkS

jk

jk（4- 若某边的两端均为待定点，则坐标改正数与坐标方角改正数间的关系式就是（4-27）式。此时 ˆ前的数的绝对值相等ˆi与ˆk前的系数的绝对值也相等若测站点j为已知点，

ˆ

ˆ ，

jkjk

jk jk

（4-jkjk jkjk

若照准点k为已知点

ˆ

ˆ

0，

jkjk

jk jk

（4-jk jk

jk若某边的两个端点均为已知点，jkˆ

ˆ

ˆ

ˆ ajka

ˆ

对照（5-2-10）式，顾

X

Y0X0得a

kj对于角度观测值Li（图4-5）来说，其观测值方程Liiˆ

ˆ

（4-将

a0

a代入，并i0liLii00

L0（4-可i

ajk

ajh

（4-、k而灵活运用（47）式，并以其代入（3）式，即得线性化后的误差方程。例如，j、h、和点都是待定时，（4-32）式为Y

X

Y

Xi

jk

jk

jk

jkjhYjh

X

Y

X S S

jh

jh

ˆS S

SS SS 合并同类项最后可

jh S0

S0

jk

jh

（4-l jk

jk

jh上式即为线性化后的误差方按（4-33）、（4-31）式列出误差方程2．测边网坐标差的误差先讨论一般情况。在图4-6中，测得待定点间的边长k设待定点的坐标平差值ˆj,ˆjˆk和ˆ为参数，kˆ ˆ,ˆ ˆ jj jj X0ˆ, Y0ˆ 由图4-6可写出的ˆi平差值方程2ˆ Lii 2k2kjj

ˆj

（4-S0S0L

S

X

Yjk

ˆS0 S0

jk

（4-返式 X

X

X0,Y

Y

Y S S 再

jX0j

jkkk

jY0jlLS

（4- 则由（4-35）式可得测边的误差方程i

jh S

jh S

jh S

S

（4-式中右边前4项之和是由坐标改正数引起的边长改正数若某边的两端均为待定点，则（4-37）式就该观的边的误差方程。式中ˆ ˆ的系数的绝值相等ˆj与ˆ的系数的绝对值也相等。常数项等若j为已知点，

ˆ

ˆ ， S

ˆk

S

（4-jk若k为已知点

ˆ

jkˆj ， S

ˆj

S

（4- jk若j、（不观测第三 精度评一、单位权中误二、协因数三、参数函数的中误一、单位权中误间接平差与条件平差虽采用了不同的函数模型，但们是在相同的最小二乘原理下进行的，所以两法的平差果总是相同的，这是因为在满足VT

条件下V是一确定的，故平差值

LV不因方法不同而异0单位权方差2的估值，计算式仍是ˆ00

VT除以其自由度，2

VT

VT

，（4-

n中误差

VT

n

（4-计算VTPV，可将误差方程代入后计算，VT

ˆ

BT

l

顾及（4-7）式VT

lT

l

lT

lT考虑lTPB

BT ，

（4- PVlPl

lTPlWT返 返回本当P为对角阵时，VTPV的计算公式n2VTPVP2

（4-k或 VTPVPl2W

（4- k

k当P为非对角阵时，VTPV的实用计算公式VT

NNk

tt

（4- VT

PWlkˆ

（4-k1

k返 返回本二、协因数在间接平差中，基本向量为Ll

ˆˆQLL=Q。由

LFX0

LL0,

FX0

是由近值计算的函数值，故F

对于讨论精度将不产生影响此外，按定义

X

ˆ，

ˆ，因此下面在ˆˆ下面推求各基本向量的自协因数阵和两两向量间的协因数阵

，则Z的协因数阵

Lˆ

ˆˆ

ˆˆ Vˆ ˆˆ

Vˆˆˆ返 返回本现分别推求如下。上述各量的关系式已知L

（4-ˆ

N1BT

（4-Vˆ （4-ˆ

L

（4-由前 ，按协因 律很容易得出Qˆˆ

N1BTPQPBN1 bbN bbbb bbN bbbb

QLˆQbbbbˆLbbbb

Q

B BTˆˆT

Q

BN

BN

0

QˆVBBBTˆˆBBBT

ˆ

QLˆ

bb

bb

bbQ

bbB返 返回本B再计算与（4-50）式有关的协因阵， bbˆL bb

TLT bb bbbb

bbQPBNbb

0 1

QQˆV

VV0

BT

VL bb将以上导得全部协因数阵列于表4-8，以备查返 返回本表4-8间接平差的协因数公LVLQBNbbBN1BTbbN1BTbbNbb0N1bbVBN1BT0QBN1BT0bbBNbb0由表4-8可知，平差值ˆ,与改正数V的互协因数阵为零说明ˆVˆ与V统计不相关，这是一个很重要的结果返 返回本三、参数函数的中误的高程为HA。若平差时选定AP1、AP2、AP3、等三条线高差的平差值作为参数ˆ1,ˆ2,ˆ3 在平差后，不但得了参数，即AP、AP2、P3P而且可以根据它们求出其它各观测高差或待定点高程的平差值。例如P3P路线高差的平差值为ˆ5Xˆ1

ˆ

ˆ3P3点的高程平差值PA PA3

ˆ

ˆ又如在图4-2中，求得D点坐标平差值

D和

后，D可计算任何一边的边长或坐标方位角的平差值D返 返回本如AD间边长平差值ˆAD

(

ˆ)2坐标方位角的平差值

arctg D

ˆ假定间接平差问题中有t个参数，设参数的函数

ˆ2

ˆt

（4-将

0

代入上式后，按台劳台公展开，取至一次项，

0,

0,,

0

11

22

,

t返 返回本t式中

0,

是参数函数近似值，当近似值121经取定，它是一个已知的常数，对计算函数ˆ的精度没1212影响，令2

X

； 是函数对 j0j偏导数，以ˆ的近似值x代入后即可计算其结果，在平j中，它们是已 的系数，

由此，上式可以写

fj

tt j0tt或

f0

f11

f2ˆ

（4-

f11

f2ˆ

ftˆt.（4-对于评定函数的精度而言，给出是一样的通常把（4-53）式称为数函数的权函数式，简称 FTf,f,,f，则（4-53）式

FT

（4-返 返回本由表4-8查得

1

的协因数

FT

ˆ

FTN

（4-一般，设有函数向

的权函数式m

FT

（4-

即用来计算m