平面问题直角坐标解答课件

弹性力学第三章1

Chapter3Solutionofplaneproblemsinrectangularcoordinates

第三章平面问题直角坐标解答

3.1Solutionbypolynomials3.1

多项式解答弹性力学第三章1

Chapter3Solutiono弹性力学第三章2Review:Inversemethod逆解法Selectsatisfyingthecompatibilityequation

设定，并满足相容方程

4

=0(2-25)findthestresscomponentsby由下式求出应力分量

x=2/y2-fxx

y=

2/x2-fyy

xy=-2/xy

(2-24)findthesurfaceforcecomponentsby

由下式对给定坐标的物体求出面力分量

(lx+myx)s=fx(my+lxy)s=fy

(2-15)Identifytheproblemwhichtheselectedcansolve确定所设定的能解决的问题弹性力学第三章2Review:Inversemeth弹性力学第三章3A.=a+bx+cy,fx=0,fy=0Itsatisfiesthecompatibilityequation4

=0findthestresscomponentsby

x=2/y2=0y=

2/x2=0xy=-2/xy=0findthesurfaceforcecomponentsby

(lx+myx)s=fx=0(my+lxy)s=fy=0alinearstressfunctioncorrespondstothecaseofnosurfaceforcesandnostress.Thesuperpositionofalinearfunctiontothestressfunctionforanyproblemdoesnotaffectthestresses.弹性力学第三章3A.=a+bx+cy,弹性力学第三章4A.=a+bx+cy,fx=0,fy=0满足相容方程

4

=0由下式求出应力分量

x=2/y2=0y=

2/x2=0xy=-2/xy=0由下式对给定坐标的物体求出面力分量

(lx+myx)s=fx=0(my+lxy)s=fy=0确定所设定的

能解决的问题为：任意物体无体力，无面力，无应力。应力函数加或减一个线性项不影响应力。弹性力学第三章4A.=a+bx+cy,弹性力学第三章5B.=ax2,fx=0,fy=0Itsatisfiesthecompatibilityequation4

=0findthestresscomponentsby

x=2/y2=0y=

2/x2=2axy=-2/xy=0forarectangularplatewithitsedgesparalleltothecoordinateaxes,findthesurfaceforcecomponentsby

(lx+myx)s=fx(my+lxy)s=fythestressfunction=ax2cansolvetheproblemofuniformtension(a>0)oruniformcompression(a<0)ofarectangularplateinydirection.P36Fig.3.1a弹性力学第三章5B.=ax2,f弹性力学第三章6弹性力学第三章6弹性力学第三章7C.=cy2,fx=0,fy=0Itsatisfiesthecompatibilityequation4

=0findthestresscomponentsby

x=2/y2=2c

y=

2/x2=0xy=-2/xy=0forarectangularplatewithitsedgesparalleltothecoordinateaxes,findthesurfaceforcecomponentsby

(lx+myx)s=fx

(my+lxy)s=fythestressfunction=cy2cansolvetheproblemofuniformtension(c>0)oruniformcompression(c<0)ofarectangularplateinxdirection.P36Fig.3.1(c)弹性力学第三章7C.=cy2,fx=0,弹性力学第三章8C.=cy2,fx=0,fy=0满足相容方程4=0由下式求出应力分量

x=2/y2=2c

y=

2/x2=0xy=-2/xy=0对和坐标轴平行的矩形板求出面力分量知=cy2

能解决矩形板x向受均匀拉力(c>0)或均匀压力(c<0)的问题。P36Fig.3.1(c)弹性力学第三章8C.=cy2,f弹性力学第三章9D.=bxy,fx=0,fy=0Itsatisfiesthecompatibilityequation4=0findthestresscomponentsby

x=2/y2=0

y=

2/x2=0xy=-2/xy=-bforarectangularplatewithitsedgesparalleltothecoordinateaxes,findthesurfaceforcecomponentsby

(lx+myx)s=fx(my+lxy)s=fythestressfunction=bxycansolvetheproblemofarectangularplateinpureshear.P36Fig.3.1(b)弹性力学第三章9D.=bxy,f弹性力学第三章10D.=bxy,fx=0,fy=0满足相容方程4=0由下式求出应力分量

x=2/y2=0y=

2/x2=0xy=-2/xy=-b对和坐标轴平行的矩形板求出面力分量知=bxy

能解决矩形板受纯剪作用。P36Fig.3.1(b)弹性力学第三章10D.=bxy,弹性力学第三章11E.=ay3,fx=0,fy=0Itsatisfiesthecompatibilityequation

满足相容方程4=0Findthestresscomponentsby由下式求出应力分量x=2/y2=6ay

y=

2/x2=0xy=-2/xy=0Forarectangularplateshowninfig.3-2,findthesurfaceforcecomponentsshowninfig.3-2对矩形板求出面力分量，如图1所示。Solvetheproblemofpurebendingofarectangularbeam.

矩形板纯弯曲问题其中:a、b、c

、d为待定系数。弹性力学第三章11E.=ay3,弹性力学第三章12x=2/y2=6aystaticallyequivalentsystems静力等效

a=2M/h3x=6ay=12My/h3=My/I

I=h3/12y=0xy=0矩形板纯弯曲问题弹性力学第三章12x=2/y2=6aystatic弹性力学第三章13讨论：可算得：xy1ll图示梁对应的边界条件：MM可见：——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。常数a与弯矩M的关系：(1)由梁端部的边界条件：(2)可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。弹性力学第三章13讨论：可算得：xy1ll图示梁对应的边界弹性力学第三章14xy1llMM说明：(1)组成梁端力偶M的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。(2)若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。(3)当l远大于h时，误差较小；反之误差较大。弹性力学第三章14xy1llMM说明：(1)组成梁端力偶弹性力学第三章153.

三次多项式（1）其中:a、b、c

、d为待定系数。检验φ(x,y)是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数)(假定：fx

=fy

=0)（3）由式（2-24）计算应力分量：结论3：三次多项式对应于线性应力分布。弹性力学第三章153.三次多项式（1）其中:a、b、弹性力学第三章164.

四次多项式（1）检验φ(x,y)是否满足双调和方程（2）代入：得弹性力学第三章164.四次多项式（1）检验φ(x,y)弹性力学第三章17可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应力函数：（3）应力分量：——应力分量为x、y的二次函数。（4）特例：（须满足：a+e=0）弹性力学第三章17可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关弹性力学第三章18总结：（多项式应力函数的性质）（1）多项式次数n

<4时，则系数可以任意选取，总可满足。多项式次数n

≥4时，则系数须满足一定条件，才能满足。多项式次数n

越高，则系数间需满足的条件越多。（2）一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。（3）（4）用多项式构造应力函数φ(x,y)的方法——逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。按应力求解平面问题，其基本未知量为：，本节说明如何由求出形变分量、位移分量？问题：弹性力学第三章18总结：（多项式应力函数的性弹性力学第三章193.2Determinationofdisplacementswhenx=My/I

y=

0xy=0

位移的确定Inthecaseofplanestress,substitutionofstressesintothephysicalequations(2-12)yields平面应力问题，将应力代入物理方程得应变

x=[x-y]/E=My/(EI)y=[y-x]/E=-My/(EI)rxy=xy/G

=0弹性力学第三章193.2Determinationof弹性力学第三章20Integrationofgeometricalequationsx=u/x

y=v/y

rxy=u/y+v/x

几何方程的积分substitutionofstrainsintothegeometricalequations(2-8)yields将应变代入几何方程

u/x=My/(EI)u=Mxy/(EI)+f1(y)v/y=-My/(EI)v=-My2/(2EI)+f2(x)u/y+v/x=0-df1(y)/dy=df2(x)/dx+Mx/(EI)弹性力学第三章20Integrationofgeome弹性力学第三章21

Separationofvariables分离变量

-df1(y)/dy=df2(x)/dx+Mx/(EI)=-df1(y)/dy=

f1(y)=-y+u0df2(x)/dx+Mx/(EI)=

f2(x)=-Mx2/(2EI)+x+v0

u=Mxy/(EI)-y+u0v=-My2/(2EI)-Mx2/(2EI)+x+v0弹性力学第三章21弹性力学第三章22（1）讨论：式中：u0、v0、ω

由位移边界条件确定。当x=x0=常数（2）位移分量xyl1hMM——u关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明：

thecrosssectionremainsplaneafterbending

。横截面保持平面——材力中“平面保持平面”的假设成立。弹性力学第三章22（1）讨论：式中：u0、v0、ω由位移弹性力学第三章23（2）将下式中的第二式对x求二阶导数：说明：allthelongitudinallineswillhavethesamecurvature——材料力学中挠曲线微分方程弹性力学第三章23（2）将下式中的第二式对x求二阶导弹性力学第三章24Review:Rigid-bodydisplacements--displacementscorrespondingtozerostrains

刚体位移--应变为零时的位移

u=-y

+u0v=

x+v0

u0--therigid-bodytranslationinthexdirectionx向刚体平动v0--therigid-bodytranslationintheydirectiony向刚体平动

--therigid-bodyrotationofthebodyaboutzaxis.绕z

轴的刚体转动弹性力学第三章24Review:Rigid-弹性力学第三章25弹性力学第三章25弹性力学第三章26Simplysupportedbeam简支梁

u=Mxy/(EI)-y+u0v=-My2/(2EI)-Mx2/(2EI)+x+v0

u(0,0)=0

u0=0v(0,0)=0

v0=0v(l,0)=0

=Ml

/(2EI)u=Mxy/(EI)-Mly/(2EI)v=-My2/(2EI)-Mx2/(2EI)+Mlx/(2EI)梁的挠曲线方程：——与材力中结果相同弹性力学第三章26Simplysupportedbea弹性力学第三章27（2）悬臂梁边界条件h/2h/2由式（f）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：（中点不动）（轴线在端部不转动）代入有可求得：弹性力学第三章27（2）悬臂梁边界条件h/2h/2由式（f弹性力学第三章28(3-4)h/2h/2挠曲线方程：与材料力学中结果相同说明：（1）求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程（b）再将应变分量代入几何方程（c）再利用位移边界条件，确定常数。弹性力学第三章28(3-4)h/2h/2挠曲线方程：与材料弹性力学第三章29（2）若为平面应变问题，则将材料常数E、μ作相应替换。（3）若取固定端边界条件为：h/2h/2（中点不动）（中点处竖向线段转角为零）得到：求得：此结果与前面情形相同。弹性力学第三章29（2）若为平面应变问题，则将材料常数E、弹性力学第三章30例：图示矩形板，长为l，高为h，体力不计，试证以下函数是应力函数，并指出能解决什么问题。式中k、q为常数。xyOlh解：(1)应力分量：边界条件：显然，上下边界无面力作用。上下边界(2)弹性力学第三章30例：图示矩形板，长为l，高为h，弹性力学第三章31xyOlh左边界k右边界kkl结论：可解决悬臂梁自由端受集中力问题。弹性力学第三章31xyOlh左边界k右边界kkl结论：可解弹性力学第三章323-2试证：下式能满足相容方程，并考察它在图3-9所示矩形板和坐标系中能解决什么问题（设矩形板的长为l，深度为h，体力不计）。xyOlh弹性力学第三章323-2试证：下式xyOlh弹性力学第三章33证明：因为

能满足相容方程弹性力学第三章33证明：因为弹性力学第三章34y=h/2:(y)y=h/2=0(y)y=-h/2=-q

(xy)y=h/2=0即上边界受均布压力为q，下边界没有面力x=0:(xy)x=0=0

左边界y向面力为0,x向面力的合力和合力矩为0xyOlh弹性力学第三章34xyOlh弹性力学第三章35x=l:

右边界y向面力为-ql,x向面力的合力为0,合力矩为-0.5ql2能解决悬臂架在上边界受均布荷载q的问题弹性力学第三章35弹性力学第三章36弹性力学第三章36弹性力学第三章373-4Bendingofasimplebeamunderuniformload简支梁在均布荷载作用下的弯曲Asimplebeam,length2l,depthh,uniformloadq.P41fig.3-5Fig.3-5弹性力学第三章373-4Bendingofasim弹性力学第三章38xyllqlql1yzh/2h/2q1.

Stressfunction(1)analyzing：——yieldedbybending——yieldedbyshearingstress——yieldedbyq(compression)and∵q=contant，图示坐标系和几何对称，∴不随x变化。推得：由上部单元的平衡，可以看到只与q有关。qys弹性力学第三章38xyllqlql1yzh/2h/2q1.弹性力学第三章39Semi-inversemethod:半逆解法

assume假定y=

2/x2=f(y)

Successiveintegrationwithrespecttoxyields对x连续积分二次得/x=xf(y)+f1(y)

=x2f(y)/2+xf1(y)+f2(y)substitutionofintocompatibilityequation(4/x4+24/x2y2+4/y4)=0(2-25)yields

将代入相容方程得：

弹性力学第三章39Semi-inversemethod:弹性力学第三章40

在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若有实根，只有两个满足方程，欲使其对无穷个x均成立，必须有a=0;b=0;c=0此为x的二次方程，相容方程要求它对全梁的x值均满足上式，故各项系数、自由项均为0方程的特点：弹性力学第三章40

在一元二次方程ax2+bx+c=0弹性力学第三章41

x2:f(4)(y)=0f(y)=Ay3+By2+Cy+Dx1:f1(4)(y)=0f1(y)=Ey3+Fy2+Gy省略常数项x0:f2(4)(y)+2f(2)(y)=0f2(4)(y)=-2f(2)(y)=-12Ay-4B

f2(y)=-A/10y5-B/6y4+Hy3+Ky2省略常数项和一次项=x2

f(y)/2+xf1(y)+f2(y)=x2/2(Ay3+By2+Cy+D)+x(Ey3+Fy2+Gy)+(-Ay5/10-By4/6+Hy3+Ky2)(e)式中含有9个待定常数。弹性力学第三章41

x2:f(4)(y)=弹性力学第三章42

findthestresscomponentsbyfollowingformulas由下式求应力

x=2/y2

y=

2/x2

xy=-2/xy

x=0.5x2(6Ay+2B)+x(6Ey+2F)+(-2Ay3-2By2+6Hy+2K)y=

Ay3+By2+Cy+Dxy=-x(3Ay2+2By+C)-(3Ey2+2Fy+G)弹性力学第三章42

findthestresscom弹性力学第三章43Theconditionofsymmetry-----thestressdistributionmustsymmetricwithrespecttotheyzplane(aplaneofsymmetry)

对称条件--应力对称分布

-------evenfunctionofx

x的偶函数

x

y---evenfunctionofx

x

的偶函数xy------oddfunctionofx

x的奇函数

E=F=G=0弹性力学第三章43Theconditionofsym弹性力学第三章44yields：SubstitutionintostresscomponentsBoundaryconditionsony=h/2弹性力学第三章44yields：Substitution弹性力学第三章45(i)(j)(k)Boundaryconditionsonx=l

duetosymmetry,weweareonlyrequiredtoconsidereitherofthetwoends.x=l的

边界条件，考虑对称性后只需考虑任一端弹性力学第三章45(i)(j)(k)Bound弹性力学第三章46(b)左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。）——难以满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：轴力N=0；弯矩M=0；剪力Q=－ql；弹性力学第三章46(b)左右边界（次要边界）：（由于对弹性力学第三章47satisfiedautomatically

自动满足。弹性力学第三章47satisfiedautomatica弹性力学第三章48xyllqlql1yzh/2h/2q截面上的应力分布：4.

与材料力学结果比较弹性力学第三章48xyllqlql1yzh/2h/2q截面弹性力学第三章494.

与材料力学结果比较材力中几个参数：截面宽：b=1,截面惯矩：静矩：弯矩：剪力：将其代入式(p)，有（3-6）修正项弹性力学第三章494.与材料力学结果比较材力中几个参数：弹性力学第三章50thefirsttermofxisthesameasgiveninmechanicsofmaterials.x的第一项同材料力学，为主要项。第二项为修正项。（2）Thecrushingstressyisonlyconsideredinelasticityandnotinmechanicsofmaterials.

挤压应力y材料力学中不考虑（3）当h/l<<1，该项误差很小，可略；当h/l较大时，须修正。跨度2l=2h时，修正项为主要项的1／15，跨度2l=4h时，修正项为主要项的1/60；isthesameasgiveninmechanicsofmaterials（1）按式（3-6），梁的左右边界存在水平面力：说明式（3-6）在两端不适用。Notes:Solutionofstresses应力的解答弹性力学第三章50thefirsttermofx弹性力学第三章51

solutionofplanestressboundaryproblemintermsofstressfunctioninthecaseofconstantbodyforces常体力应力边界问题按应力函数求解的公式4

=0(2-25)x=2/y2-fxxy=

2/x2-fyy

xy=-2/xy(2-24)(lx+myx)s=fx(my+lxy)s=fy(2-15)nodisplacementboundarycondition无位移边界条件theconditionofsingle-valueddisplacementsformultiplyconnectedbody

多连体的位移单值条件弹性力学第三章51solutionofplanes弹性力学第三章52解题步骤小结：（1）（2）（3）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（）的变化形式。由与应力函数的关系式（2-24），求得应力函数的具体形式（具有待定函数）。（4）（5）将具有待定函数的应力函数代入相容方程：确定中的待定函数形式。由与应力函数的关系式（2-24），求得应力分量。由边界条件确定中的待定常数。用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：弹性力学第三章52解题步骤小结：（1）（2）（3）根据问题弹性力学第三章53确定应力中常数的方法：有对称条件，可用对称条件确定部分常数，也可不考虑对称条件.先考虑大边界，后考虑小边界。大边界只能用精确边界条件。小边界可先用精确边界条件，如不能满足，改用近似边界条件。也可直接用近似边界条件。所有边均满足边条后，最后的小边界自动满足，作为校合。弹性力学第三章53确定应力中常数的方法：弹性力学第三章543.5Triangulargravitywall

三角形重力墙P46Fig.3-7弹性力学第三章543.5Triangulargravi弹性力学第三章55Dimensionanalysis

因次分析Thedimensionofstressis[force][length]-21g----2g----[force][length]-3x-----[length]y-----[length]-----dimensionlessThestressesmustbecombinationsofexpressionsintheformofA1gx,B1gy,C2gx,D2gy.mustbeapolynomialofthethirddegreeandwemayassume

=ax3+bx2y+cxy2+ey34=0Itissatisfied.弹性力学第三章55Dimensionanalysis因弹性力学第三章56Dimensionanalysis

因次分析应力的因次是

[力][长度]-22g---1g----[力][长度]-3x-----[长度]y-----[长度]影响应力所有因素-----无因次应力必须是A1gx,B1gy,C2gx,D2gy的组合.必须是纯三次多项式。故假定：

=ax3+bx2y+cxy2+ey3

4

=0满足弹性力学第三章56Dimensionanalysis因弹性力学第三章57ThestresscomponentsgivenbyEqs.(2-24)willbe

由式(2-24)从应力函数求应力x=2/y2-fxx=2cx+6dy

y=

2/x2-fyy=6ax+2by-1gy(a)xy=-2/xy=-2bx-2cy

=ax3+bx2y+cxy2+dy3弹性力学第三章57Thestresscomponent弹性力学第三章58x=2cx+6dy

y=6ax+2by-1gy

xy=-2bx-2cyx=0:x=-2gy

d=-2g/6xy=0

c=0x=ytan:lx+myx=0my+lxy=0inwhichl=cosm=-sinsolution:P48

Boundaryconditions:

边界条件:

弹性力学第三章58x=2cx+6dyy=6ax弹性力学第三章59(b)(2)

（应力边界）：其中：将(b)代入，有弹性力学第三章59(b)(2)弹性力学第三章60(3-7)——李维（Levy）解答与材力结果比较：——沿水平方向不变，在材力中无法求得。——沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压公式算得结果相同。——沿水平方向线性分布，材力中为抛物线分布。代入式（b），有：弹性力学第三章60(3-7)——李维（Levy）解答与材弹性力学第三章61(3-7)——李维（Levy）解答xyO沿水平方向的应力分布结果的适用性：（1）当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果误差较大。（2）假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，底部与基础相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。（3）实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。——三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法求解。工程应用：——求使坝稳定时的角度，称为安息角。弹性力学第三章61(3-7)——李维（Levy）解答xy弹性力学第三章62Chapterthree

Exercise弹性力学第三章62Chapterthree弹性力学第三章63例1

设有矩形截面竖柱，密度为ρ

，在一边侧面上受均布剪力q，试求应力分量弹性力学第三章63例1设有矩形截面竖柱，密度为ρ，在一弹性力学第三章64

解：由题假设：σx=0=2φ/y2积分得：φ/y=f1(x)再积分得：φ=yf1(x)+f2(x)将上式代入相容方程4φ/x4+24φ/y2x2+4φ/y4=0因为：4φ/x4=yd4f1(x)/dx4+d4f2(x)/dx4

4φ/y4=04φ/y2x2=0∴yd4f1(x)/dx4+d4f2(x)/dx4=0∴y1:d4f1(x)/dx4=0f1(x)=Ax3+Bx2+Cx

y0:d4f2(x)/dx4=0f2(x)=Dx3+Ex2弹性力学第三章64解：由题假设：σx=0=弹性力学第三章65Φ=y(Ax3+Bx2+Cx)+Dx3+Ex2σx=2φ/y2–fxx

=0σy=2φ/x2–fyy

=y(6Ax+2B)+6Dx+2E-ρgy

τxy=-2φ/y

x

=-(3Ax2+2Bx+C)考虑边界条件

x=0:σx/x

=0=0自动满足

τxy/x

=0=0C=0x=h:σx/x

=h=0自动满足

τxy/x

=h=q-(3Ah2+2Bh)=q(1)弹性力学第三章65Φ=y(Ax3+Bx2+Cx)+Dx3弹性力学第三章66y=0的小边界:方法1:不能精确满足时用圣维南原理(1)y方向:σy/y

=0=06Dx+2E=0即D=E=0

精确满足

(2)x方向:τxy/y=0=03Ax2+2Bx=0A=B=0和式（1）矛盾，不能精确满足，使用圣维南原理

∫0hτxy/y=0dx=0即∫0h-(3Ax

2+2Bx+C)dx=0∴Ah+B=0(2)弹性力学第三章66y=0的小边界:方法1:不能精确满足时弹性力学第三章67y=0的小边界:方法2:直接用圣维南原理(1)y方向:∫0hσy/y

=0dx=0∫0h(6Dx+2E)dx=03Dh+2E=0(a)∫0hσy/y

=0xdx=0∫0h(6Dx2+2Ex)dx=02Dh+E=0(b)

解(a)(b)得D=E=0(2)x方向:

∫0hτxy/y=0dx=0

即∫0h-(3Ax2+2Bx+C)dx=0∴Ah+B=0(2)弹性力学第三章67y=0的小边界:弹性力学第三章68由(1)(2)得A=-q/h2B=

q/h

将A=-q/h2B=

q/hC=D=E=0代入应力表达式

σx=0σy=y(-6q/h2+2q/h-ρg)τxy=x23q/h2–2xq/h弹性力学第三章68由(1)(2)得A=-q/h2弹性力学第三章69P503-8设图中的三角形只受重力作用，而梁的密度为ρ

，试用三次式的应力函数求解

弹性力学第三章69P503-8设图中的三角形只受重力作用弹性力学第三章70解：由题知,设Φ为纯三次式设Φ=ax3+bx2y+cxy2+dy3∴

σx=

2φ/y2-Xx

=2cx+6dyσy=

2φ/x2-Yy

=6ax+2by-ρgyτxy=-2φ/xy=-2bx-2cy考虑边界条件顶面y=0：(σy)y=0=6ax=0→a=0

(τyx)y=0=2bx=0→b=0斜面y=xtanαl=-sinαm=cosα[l(σx)+m(τxy)]y=xtanα=0[m(σy)+l(τxy)]y=xtanα=0

弹性力学第三章70解：由题知,设Φ为纯三次式弹性力学第三章71∴-sinα(2cx+6dy)+cosα(-2cy)=0cosα(-ρgy)+(-sinα)(-2cy)=0解得c=(ρgctgα)/2d=-(ρgctg2α)/3∴σx=ρgxctgα-2ρgyctg2α

σy=-ρgy

τxy=-ρgyctgα弹性力学第三章71弹性力学第三章72例：挡水墙的密度为ρ1，厚度为b，如图所示，水的密度为ρ2，试求应力分量。解：1、采用半逆解法，设（水压力与x成正比）由注意y方向体力分量fy=0，有故（1）弹性力学第三章72例：挡水墙的密度为ρ1，厚度为b，如图所弹性力学第三章73x

取任意值时上式都成立，因而有：得：由第三式得把（1）代入相容方程（2－25）弹性力学第三章73x取任意值时上式都成立，因而有：得：由弹性力学第三章74所以有（2）式（2）代入（2－24）：(2-24)得应力分量：（3）弹性力学第三章74所以有（2）式（2）代入（2－24）：(弹性力学第三章75利用边界条件，确定其中的常数(2-15)(1)左边y=h/2，l=0，m=1（4）（5）（6）弹性力学第三章75利用边界条件，确定其中的常数(2-15)弹性力学第三章76(2右边y=-h/2，l=0，m=-1（7）（8）（9）由（4）－（9）得：弹性力学第三章76(2右边y=-h/2，l=0，m=-1弹性力学第三章77由上端边界条件确定E、F、G、I由有得不能精确满足，运用圣维南原理：即（10）联立左右边界的条件，可得：弹性力学第三章77由上端边界条件确定E、F、G、I由有得不弹性力学第三章78代入常数项，得应力分量为：弹性力学第三章78代入常数项，得应力分量为：弹性力学第三章79(1)图示矩形板，长为l，高为h

，体力不计，试证以下函数可作为应力函数，并指出能解决什么问题。式中q为常数。xyOlh作业弹性力学第三章79(1)图示矩形板，长为l，高为h弹性力学第三章80

Chapter3Solutionofplaneproblemsinrectangularcoordinates

第三章平面问题直角坐标解答

3.1Solutionbypolynomials3.1

多项式解答弹性力学第三章1

Chapter3Solutiono弹性力学第三章81Review:Inversemethod逆解法Selectsatisfyingthecompatibilityequation

设定，并满足相容方程

4

=0(2-25)findthestresscomponentsby由下式求出应力分量

x=2/y2-fxx

y=

2/x2-fyy

xy=-2/xy

(2-24)findthesurfaceforcecomponentsby

由下式对给定坐标的物体求出面力分量

(lx+myx)s=fx(my+lxy)s=fy

(2-15)Identifytheproblemwhichtheselectedcansolve确定所设定的能解决的问题弹性力学第三章2Review:Inversemeth弹性力学第三章82A.=a+bx+cy,fx=0,fy=0Itsatisfiesthecompatibilityequation4

=0findthestresscomponentsby

x=2/y2=0y=

2/x2=0xy=-2/xy=0findthesurfaceforcecomponentsby

(lx+myx)s=fx=0(my+lxy)s=fy=0alinearstressfunctioncorrespondstothecaseofnosurfaceforcesandnostress.Thesuperpositionofalinearfunctiontothestressfunctionforanyproblemdoesnotaffectthestresses.弹性力学第三章3A.=a+bx+cy,弹性力学第三章83A.=a+bx+cy,fx=0,fy=0满足相容方程

4

=0由下式求出应力分量

x=2/y2=0y=

2/x2=0xy=-2/xy=0由下式对给定坐标的物体求出面力分量

(lx+myx)s=fx=0(my+lxy)s=fy=0确定所设定的

能解决的问题为：任意物体无体力，无面力，无应力。应力函数加或减一个线性项不影响应力。弹性力学第三章4A.=a+bx+cy,弹性力学第三章84B.=ax2,fx=0,fy=0Itsatisfiesthecompatibilityequation4

=0findthestresscomponentsby

x=2/y2=0y=

2/x2=2axy=-2/xy=0forarectangularplatewithitsedgesparalleltothecoordinateaxes,findthesurfaceforcecomponentsby

(lx+myx)s=fx(my+lxy)s=fythestressfunction=ax2cansolvetheproblemofuniformtension(a>0)oruniformcompression(a<0)ofarectangularplateinydirection.P36Fig.3.1a弹性力学第三章5B.=ax2,f弹性力学第三章85弹性力学第三章6弹性力学第三章86C.=cy2,fx=0,fy=0Itsatisfiesthecompatibilityequation4

=0findthestresscomponentsby

x=2/y2=2c

y=

2/x2=0xy=-2/xy=0forarectangularplatewithitsedgesparalleltothecoordinateaxes,findthesurfaceforcecomponentsby

(lx+myx)s=fx

(my+lxy)s=fythestressfunction=cy2cansolvetheproblemofuniformtension(c>0)oruniformcompression(c<0)ofarectangularplateinxdirection.P36Fig.3.1(c)弹性力学第三章7C.=cy2,fx=0,弹性力学第三章87C.=cy2,fx=0,fy=0满足相容方程4=0由下式求出应力分量

x=2/y2=2c

y=

2/x2=0xy=-2/xy=0对和坐标轴平行的矩形板求出面力分量知=cy2

能解决矩形板x向受均匀拉力(c>0)或均匀压力(c<0)的问题。P36Fig.3.1(c)弹性力学第三章8C.=cy2,f弹性力学第三章88D.=bxy,fx=0,fy=0Itsatisfiesthecompatibilityequation4=0findthestresscomponentsby

x=2/y2=0

y=

2/x2=0xy=-2/xy=-bforarectangularplatewithitsedgesparalleltothecoordinateaxes,findthesurfaceforcecomponentsby

(lx+myx)s=fx(my+lxy)s=fythestressfunction=bxycansolvetheproblemofarectangularplateinpureshear.P36Fig.3.1(b)弹性力学第三章9D.=bxy,f弹性力学第三章89D.=bxy,fx=0,fy=0满足相容方程4=0由下式求出应力分量

x=2/y2=0y=

2/x2=0xy=-2/xy=-b对和坐标轴平行的矩形板求出面力分量知=bxy

能解决矩形板受纯剪作用。P36Fig.3.1(b)弹性力学第三章10D.=bxy,弹性力学第三章90E.=ay3,fx=0,fy=0Itsatisfiesthecompatibilityequation

满足相容方程4=0Findthestresscomponentsby由下式求出应力分量x=2/y2=6ay

y=

2/x2=0xy=-2/xy=0Forarectangularplateshowninfig.3-2,findthesurfaceforcecomponentsshowninfig.3-2对矩形板求出面力分量，如图1所示。Solvetheproblemofpurebendingofarectangularbeam.

矩形板纯弯曲问题其中:a、b、c

、d为待定系数。弹性力学第三章11E.=ay3,弹性力学第三章91x=2/y2=6aystaticallyequivalentsystems静力等效

a=2M/h3x=6ay=12My/h3=My/I

I=h3/12y=0xy=0矩形板纯弯曲问题弹性力学第三章12x=2/y2=6aystatic弹性力学第三章92讨论：可算得：xy1ll图示梁对应的边界条件：MM可见：——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。常数a与弯矩M的关系：(1)由梁端部的边界条件：(2)可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。弹性力学第三章13讨论：可算得：xy1ll图示梁对应的边界弹性力学第三章93xy1llMM说明：(1)组成梁端力偶M的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。(2)若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。(3)当l远大于h时，误差较小；反之误差较大。弹性力学第三章14xy1llMM说明：(1)组成梁端力偶弹性力学