第三章-平面问题有限单元法-有限单元法与程序设计-教学课件

§5-2三角形常应变单元分析一、弹性力学问题的一般解法上次课主要内容二、变分原理与里兹法三、有限单元的概念、特点及发展状况§5-2三角形常应变单元分析一、弹性力学问题的一般解法上次1§5-2三角形常应变单元分析一、弹性力学问题的一般解法上次课主要内容弹性体中应力、应变和位移都是位置的函数，求解弹力问题也就是要求解这些函数。由于平衡方程、几何方程及定解条件（边条）都是偏微分方程，求解弹性力学问题也就是要求解偏微分方程组。所以弹力问题在数学上称为微分方程的边值问题。有三类解法：解析法、数值法和半解析法。弹力中的问题通常是：已知物体几何尺寸、弹性常数、所受体力、边界上的约束或面力，需求解物体内的应力、应变和位移。§5-2三角形常应变单元分析一、弹性力学问题的一般解法上次2§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容二、变分原理与里兹法

变分原理又称变分法，它把弹性力学基本方程的定解问题变为求泛函的极值（或驻值）问题；在求近似解时，又转变为求函数的极值（或驻值）问题，并把问题归结为求线性代数方程组问题。

里兹法是变分原理的一个具体应用，而基于变分原理的有限元法实质上是里兹法的另外一种形式。§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容二、变分原理与里3§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容二、变分原理与里兹法应变能变分等于外力功变分—位移变分方程变分原理的三种表述：—虚功方程实际的位移使总势能变分为零—最小势能原理§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容二、变分原理与里4§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容二、变分原理与里兹法里兹法：一种求解泛函极值问题的直接法，假设位移为满足位移边界条件的某种函数形式（试函数），用变分方程确定函数中的待定系数，得到位移的近似解由于里兹法的近似解对全域而言，即试函数对全域设定，因此在求解域比较复杂的情况下，选取满足边界条件的试探函数往往会产生难以克服的困难。建立于变分原理基础上的有限元法，将整个求解域离散成若干单元的集合体，在单元内定义近似函数，通过分片逼近来求得整个求解域上的近似解，因而适用范围大大扩展。§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容二、变分原理与里5§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容三、有限单元的概念单元内的近似函数由单元结点的数值及其插值函数表示，建立平衡方程计算有限个单元结点值数；有限元法是把具有无限自由度的连续求解域离散为一组由有限个单元、按一定方式组合连接在一起的的组合体；用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上的待求未知函数；其理论基础是变分原理或加权余量法§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容三、有限单元的概6§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容三、有限单元的概念由于在对连续体离散的过程中，可供选用的单元有多种形状（一维、二维、三维等），单元之间又可有不同的连接组合方式，因此可以模型化几何形状复杂的求解区域。有限元法研究的主要内容之一便是构造各种类型的单元，一方面提高已有单元的精度；另一方面开发新型单元，增强单元的模拟能力。§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容三、有限单元的概7§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元三、总体方程的集成四、已知位移条件的引入五、有限元分析中的误差及收敛性七、几种常用的平面单元六、线性方程组的解法§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移8§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法离散化是指将待分析的结构用选定的单元型式划分成有限个单元体，把单元的一些指定点设为连接相邻单元的节点，以单元的集合体代替原结构。1.连续介质离散化根据基本未知量的不同，有限元法中的单元可分为位移元、应力元和混合元。以结点位移为基本未知量的单元为位移单元。§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移9§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法有限元法中的离散化过程有两种：1.连续介质离散化自然离散－杆系结构：自然的杆件、节点逼近离散－连续体：剖分出单元、节点§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移10§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法1.连续介质离散化切割：二维——线（直线折线曲线）三维——面（平面折面曲面）由边界和切割线（面）形成有限元网格,使得连续域成为离散域结点位移：位移元的基本未知量。每一小块：单元（element）结点：场变量在该点的值为未知量。§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移11§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法1.连续介质离散化切割单元：1）形状规则、简单（便于分析、试函数可以重复使用）2）尺寸大小决定了计算结果的精度.3）界面为相邻单元共有，界面上共有结点.§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移12§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法1.连续介质离散化切割单元结点：1)结点坐标（定位）2)结点两种编号3)结点位移为位移元的基本未知量。整体编号单元内编号§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移13§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法1.连续介质离散化切割单元结点1)合理的疏密，变化剧烈的地方可密，变化不剧烈的地方可疏。2)合理的过渡网格：§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移14§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法1.连续介质离散化2.确定单元的近似位移模式假定单元中任一点的位移可用结点待定位移的坐标函数来表示，这一坐标函数称作位移模式或位移函数。位移函数常用多项式形式表达。原因有二：一是多项式的微积分运算较简单；二是从泰勒级数展开的意义上说，任意光滑函数的局部均可用多项式逼近。§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移15§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法1.连续介质离散化2.确定单元的近似位移模式3.单元特性分析－建立单刚和等效结点荷载列阵位移场几何关系应变(结点位移)本构关系应力首先，将单元内的应力场-应变场用节点位移表示：其次，利用变分原理建立刚度方程：§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移16§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法1.连续介质离散化2.确定单元的近似位移模式3.单元特性分析－建立单刚和等效结点荷载列阵4.集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程对于静力线性问题，形成线性代数方程组单元方程集成总体方程(直接刚度法、对号入座）§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移17§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法1.连续介质离散化5.引入位移强制边界条件(消除系数矩阵的奇异性)6.解线性代数方程组7.计算应力、应变由结点位移计算单元的应力、应变8.其它要求(进行其他工程上的要求计算)得到结点位移解2.确定单元的近似位移模式3.单元特性分析－建立单刚和等效结点荷载列阵4.集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移18§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元两类平面问题：区别仅在于弹性矩阵平面应力：如膜、薄板等平面应变：如水坝、挡土墙等§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法19§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元单元结点编号：1，2，3，整体结点编号：1，2，3，…，i,j,…m,n,…,编号顺序：逆时针方向，对应于右手坐标系，次序不能任意。三角形单元§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法20第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元单元结点位移:结点位移: 第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元—三结211.单元位移插值函数：第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元xyi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)uivivjujumvm(x

,y

)v(x

,y

)u(x

,y

)单元内任一点沿坐标轴的线位移可写成：（a）设u,v是坐标x、y的线性函数:待定参数,称之为广义坐标1.单元位移插值函数：第三章平面问题有限单元法二、平面22将结点坐标代入(a)，得结点位移:（b）（六个方程、六个未知量，可确定6个待定参数）第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元1.单元位移插值函数：将结点坐标代入(a)，得结点位移:（b）（六个方程、六个未知23解(b)前三个式：单元编码i,j,m应逆时针转向,可使A(三角形面积)>0。解(b)前三个式：单元编码i,j,m应逆时针转向,24如果令：（i,j,m)如果令：（i,j,m)25则:（d）（e）同理:则:（d）（e）同理:26将(d)(e)代入(a):令:形函数将(d)(e)代入(a):令:形函数27则单元位移模式可写成：（由结点位移表示的单元内位移）或：形函数矩阵则单元位移模式可写成：（由结点位移表示的单元内位移）或：形函28形函数性质1ijmNiijm1Nj1ijmNm(1)形函数Ni在i点值为1，在j、m点数值为0。Ni:在i点发生单位位移对单元内部位移的影响。第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元1.单元位移插值函数：形函数性质1ijmNiijm1Nj1ijmNm(1)形函数N29(3)三角形单元i,j,m在i,j边的形函数与第三个顶点坐标无关。(2)单元任一点三个形函数之和为1。反映单元的刚体位移利用这一性质，可以证明相邻单元在公共边上位移是连续的。xyi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)(3)三角形单元i,j,m在i,j边的形函数与第30②mxyij①n单元①②在公共边i,j上:则公共边i,j上的位移：公共边i,j上的位移只由公共边两个结点i,j的位移确定，所以相邻单元在公共边上位移是连续的。②mxyij①n单元①②在公共边i,j上:则公共边312.几何方程，由结点位移求单元内应变：将位移表达式代入，得：单元应变矩阵其中：二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元第三章平面问题有限单元法2.几何方程，由结点位移求单元内应变：将位移表达式代入，得：32又可写成：[B]中各元素为常数，则{}也为常量。

—常应变单元又可写成：[B]中各元素为常数，则{}也为常量。33二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元3.物理方程，由结点位移求单元应力：—平面应力问题物理方程的矩阵表达式—应力矩阵令:第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元3.物理方程，由34有限元单元物理量单元结点位移：单元位移模式：单元应变应力：4.变分原理与有限元基本方程：二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元第三章平面问题有限单元法有限元单元物理量单元结点位移：单元位移模式：单元应变应力：435平面单元体总势能其中：—单元刚度矩阵应变能：4.变分原理与有限元基本方程：二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元第三章平面问题有限单元法平面单元体总势能其中：—单元刚度矩阵应变能：4.变分原36外力势能：其中：而：5.变分原理与有限元基本方程：二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元第三章平面问题有限单元法外力势能：其中：而：5.变分原理与有限元基本方程：二、平面37—单元体力的等效结点力—单元面力的等效结点力—单元内集中力的等效结点力总势能是位移的泛函单元体总势能：(a)—单元体力的等效结点力—单元面力的等效结点力—单38最小势能原理:(a)代入上式，得：由的任意性可知：—单元平衡方程最小势能原理:(a)代入上式，得：由39在中常应变单元[B]为常数，单元刚度矩阵[k]e简化为：经计算可得：在中常应变单元[B]为常数，单元刚度矩阵[k]e简化为：经计40其中：其中：41是奇异矩阵:（加约束前）单元刚阵的性质:具有对称性：是奇异矩阵:（加约束前）单元刚阵的性质:具有对称性：42非结点荷载的讨论:以静力等效的原则将单元所受的荷载移置到结点上，使得由于移置而引起的误差是局部的（圣维南原理）。静力等效原则：原荷载与结点荷载在任何虚位移上的虚功都相等。也就是在虚功方程中：使等效结点荷载形成的势能与原荷载的势能相等。非结点荷载的讨论:以静力等效的原则将单元所受43单元内集中力、体积力、面力引起的等效结点力：—集中力虚功—体积力虚功—面力虚功其中：—单元内点位移结点力虚功单元内集中力、体积力、面力44单元分析小结：单元分析小结：45§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法三、总体方程的集成包括两方面内容：（1）由各个单元的刚度矩阵集合成整个结构的整体刚度矩阵（2）将作用于各个单元的等效节点力列阵集合成总的荷载列阵总体方程集成方法：直接刚度法(利用单元结点局部编码和整体编码之间的关系，直接对号入座）§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法46§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法三、总体方程的集成局部编码i,j,m整体编码1,2,3,41.结点位移P/2P/2yx1m2mm1mIIIji43ij2以右图问题为例，说明集成过程§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法472.结点力以结点2平衡为例：2III这里：{F2}—单元Ⅰ(Ⅱ)作用在结点2上的等效力{R2}—围绕结点2各单元作用在结点2上的等效力之和对于一般情况：S结点(整体编码)其中：2.结点力以结点2平衡为例：2III这里：{F2}—483.结点位移和结点力的关系（平衡）单元平衡：结点i(单元编码)的平衡：3.结点位移和结点力的关系（平衡）单元平衡：结点i(单49整体平衡：由结点s(整体编码)的平衡得：（e个单元在s点平衡供献之和）把所有结点按整体结点编码排列：—整体结构平衡方程[K]—总刚（整体刚度矩阵）{}—结构的结点位移（按整体编码为顺序）{R}—结构的结点荷载（按整体编码为顺序）整体平衡：由结点s(整体编码)的平衡得：（e个单元在50（3）将换码后的子块放入总刚中对应的位置，若不同单元的元素在同一位置则进行叠加。总刚度集成方法：（1）计算每个单元的[k]e；（2）根据单元结点局部和整体编号之间的关系将[k]e中每个子块[kij]的ij换成对应的整体码；（3）将换码后的子块放入总刚中对应的位置，若不同单元的元素在51m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m例如：m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m例如：52m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m单元号：ⅠⅡ局部码：i,j,mi,j,m整体码：2,4,14,2,3单刚换码：单元Ⅰ单元Ⅱm1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m单元号：53形成总刚：(对号入座)Ik11

[K]:14321432单元Ⅰ单元Ⅱm1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m+IIIkk2222IIk33+IIIkk4444+IIIkk4242+IIIkk2424IIIIIIIIIIIIkkkkkkkk434134322321141200

形成总刚：(对号入座)Ik11[K]:14321432单54整体荷载列阵m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m整体荷载列阵m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2551）对称性 2）奇异性，需引入合适的位移约束。 3）稀疏，（存在许多零元素） 4）非零元素呈带状分布 5)主元恒正总刚的性质1）对称性总刚的性质56§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法四、已知位移条件的引入1、先处理法消除总纲的奇异性在计算结构自由度时，将零位移边条所对应的自由度舍去不计，这样在组集总方程时与这些这些自由度对应的所以项均不计入。2、后处理法（1）划行划列法－直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所对应的行和列（2）主对角元置1法－将[K]中位移为零的主对角元素kii置1，与kii在同一行同一列的其他元素置0，与kii在同一行的荷载分量也置零。§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法57§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法四、已知位移条件的引入1、先处理法2、后处理法（1）划行划列法－直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所对应的行和列（2）主对角元置1法－将[K]中位移为零的主对角元素kii置1，与kii在同一行同一列的其他元素置0，与kii在同一行的荷载分量也置零。（3）乘大数法－已知非零位移a，将[K]中对应的主对角元素kii乘上一大数(如1020），同时将与kii在同一行的荷载分量置为kii×1020×a。§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法58§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法五、有限元分析中的误差及收敛性1、产生误差的原因计算机带来的误差：包括截断误差，舍入误差算法本身的误差：有限元离散化模型与实际物体的差异；对边界荷载进行离散带来的误差；插值函数近似性带来的误差。2、提高精度的办法对前者：(1)增长字长(双精度) (2)选取有效的计算方法和合理的程序结构。对后者：(1)单元尺寸变小 (2)插值函数，完备的多项式次数提高。§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法59§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法五、有限元分析中的误差及收敛性3、收敛准则在单元形状、结点个数确定之后，单元的位移模式的选取是影响解答的关键。当位移模式满足下述准则时，解答一定是收敛的，即随着单元尺寸的缩小，解答趋于精确解。准则1：完备性要求。单元的位移模式包含刚体位移，且能反映单元的常应变状态。否则在单元结点位移为刚体位移时，单元会产生非零应变，单元尺寸趋于零时，单元的应变不趋于常数。当用完全多项式表示单元中的场函数时，如能量泛函中该变量导数的最高阶数为p，则该多项式的阶至少为p，即为p次完全多项式。§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法60§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法五、有限元分析中的误差及收敛性3、收敛准则准则1：完备性求。单元的位移模式包含刚体位移，且能反映单元的常应变状态。准则2：协调性要求。单元内部及相邻单元的边界上位移连续。即单元之间既不能存在裂缝也不能相互重叠，以免连续体用离散模型代替后由于变形而产生不连续。如能量泛函中场函数导数的最高阶数为p，则要求场函数在相邻单元的交界面上有直至p-1阶的连续导数。当p=1时称C0级连续，p=2时称C1级连续等§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法61§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法五、有限元分析中的误差及收敛性3、收敛准则例：考察平面问题常应变三角形单元的收敛性单元位移函数:平面问题中势能泛函关于位移的导数最高是1阶，因此是C0连续问题。满足完备性和协调性要求，故收敛§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法62§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法五、有限元分析中的误差及收敛性4、协调元和非协调元满足收敛准则的单元称为协调单元不满足协调性要求，但能通过分片试验，解也可收敛，这类单元称为非协调单元广义协调元§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法63§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法五、有限元分析中的误差及收敛性5、协调位移元解的下限性采用位移元离散原结构时，将无限自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，既位移函数对单元的变形进行了约束和限制，使模型刚度较原结构增大，因此求得的位移总体上小于精确解。单元的细分相当于逐步解除约束，因而刚度减小，位移增大，从小于精确解一侧趋于精确解。§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法64§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法根据刚度矩阵在计算机中的存储方式的不同，每类解法又可派生出不同的求解方法：如等带宽存储的高斯消去法、一维变带宽存储的LDLT分解法、分块解法、波前法等六、线性方程组的解法线性方程组的两类解法：直接法：以高斯消去法为基础，求解效率高，但当方程组阶数过高时，计算舍入误差影响较大。迭代法：雅克比迭代可利用刚度矩阵具有的大型、对称、稀疏、带状分布以及正定的特点提高求解效率。要求掌握基于一维变带宽存储的LDLT分解法§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法65§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法六、线性方程组的解法LDLT分解法过程[L]为单位下三角矩阵，[D]为对角线矩阵令：将[K]分解成：则：则：求解步骤为：先分解[K]，求得[L][D]，然后求出{Y}，最后回带求[△]。在分解[K]时，不需同时处理荷载向量{R}，所以适用于多工况计算。§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法66作业：1、图示3节点三角形单元，厚度为t，弹性模量E，泊松比v=0。试求：形函数矩阵N，应变矩阵B，应力矩阵S，单元刚度矩阵Ke2、证明常应变三角形单元是完备协调元。3、试说明有限元分析产生误差的原因，为什么协调的位移有限元有下限性。作业：1、图示3节点三角形单元，厚度为t，弹性模量E，泊松比67作业：4、利用第1题的计算结果，计算下图所示结构的总刚度矩阵并求总荷载列阵。作业：4、利用第1题的计算结果，计算下图所示结构的总刚度矩阵68§5-2三角形常应变单元分析一、弹性力学问题的一般解法上次课主要内容二、变分原理与里兹法三、有限单元的概念、特点及发展状况§5-2三角形常应变单元分析一、弹性力学问题的一般解法上次69§5-2三角形常应变单元分析一、弹性力学问题的一般解法上次课主要内容弹性体中应力、应变和位移都是位置的函数，求解弹力问题也就是要求解这些函数。由于平衡方程、几何方程及定解条件（边条）都是偏微分方程，求解弹性力学问题也就是要求解偏微分方程组。所以弹力问题在数学上称为微分方程的边值问题。有三类解法：解析法、数值法和半解析法。弹力中的问题通常是：已知物体几何尺寸、弹性常数、所受体力、边界上的约束或面力，需求解物体内的应力、应变和位移。§5-2三角形常应变单元分析一、弹性力学问题的一般解法上次70§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容二、变分原理与里兹法

变分原理又称变分法，它把弹性力学基本方程的定解问题变为求泛函的极值（或驻值）问题；在求近似解时，又转变为求函数的极值（或驻值）问题，并把问题归结为求线性代数方程组问题。

里兹法是变分原理的一个具体应用，而基于变分原理的有限元法实质上是里兹法的另外一种形式。§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容二、变分原理与里71§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容二、变分原理与里兹法应变能变分等于外力功变分—位移变分方程变分原理的三种表述：—虚功方程实际的位移使总势能变分为零—最小势能原理§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容二、变分原理与里72§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容二、变分原理与里兹法里兹法：一种求解泛函极值问题的直接法，假设位移为满足位移边界条件的某种函数形式（试函数），用变分方程确定函数中的待定系数，得到位移的近似解由于里兹法的近似解对全域而言，即试函数对全域设定，因此在求解域比较复杂的情况下，选取满足边界条件的试探函数往往会产生难以克服的困难。建立于变分原理基础上的有限元法，将整个求解域离散成若干单元的集合体，在单元内定义近似函数，通过分片逼近来求得整个求解域上的近似解，因而适用范围大大扩展。§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容二、变分原理与里73§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容三、有限单元的概念单元内的近似函数由单元结点的数值及其插值函数表示，建立平衡方程计算有限个单元结点值数；有限元法是把具有无限自由度的连续求解域离散为一组由有限个单元、按一定方式组合连接在一起的的组合体；用在每一个单元内假设的近似函数来分片地表示全求解域上的待求未知函数；其理论基础是变分原理或加权余量法§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容三、有限单元的概74§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容三、有限单元的概念由于在对连续体离散的过程中，可供选用的单元有多种形状（一维、二维、三维等），单元之间又可有不同的连接组合方式，因此可以模型化几何形状复杂的求解区域。有限元法研究的主要内容之一便是构造各种类型的单元，一方面提高已有单元的精度；另一方面开发新型单元，增强单元的模拟能力。§5-2三角形常应变单元分析上次课主要内容三、有限单元的概75§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元三、总体方程的集成四、已知位移条件的引入五、有限元分析中的误差及收敛性七、几种常用的平面单元六、线性方程组的解法§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移76§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法离散化是指将待分析的结构用选定的单元型式划分成有限个单元体，把单元的一些指定点设为连接相邻单元的节点，以单元的集合体代替原结构。1.连续介质离散化根据基本未知量的不同，有限元法中的单元可分为位移元、应力元和混合元。以结点位移为基本未知量的单元为位移单元。§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移77§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法有限元法中的离散化过程有两种：1.连续介质离散化自然离散－杆系结构：自然的杆件、节点逼近离散－连续体：剖分出单元、节点§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移78§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法1.连续介质离散化切割：二维——线（直线折线曲线）三维——面（平面折面曲面）由边界和切割线（面）形成有限元网格,使得连续域成为离散域结点位移：位移元的基本未知量。每一小块：单元（element）结点：场变量在该点的值为未知量。§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移79§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法1.连续介质离散化切割单元：1）形状规则、简单（便于分析、试函数可以重复使用）2）尺寸大小决定了计算结果的精度.3）界面为相邻单元共有，界面上共有结点.§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移80§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法1.连续介质离散化切割单元结点：1)结点坐标（定位）2)结点两种编号3)结点位移为位移元的基本未知量。整体编号单元内编号§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移81§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法1.连续介质离散化切割单元结点1)合理的疏密，变化剧烈的地方可密，变化不剧烈的地方可疏。2)合理的过渡网格：§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移82§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法1.连续介质离散化2.确定单元的近似位移模式假定单元中任一点的位移可用结点待定位移的坐标函数来表示，这一坐标函数称作位移模式或位移函数。位移函数常用多项式形式表达。原因有二：一是多项式的微积分运算较简单；二是从泰勒级数展开的意义上说，任意光滑函数的局部均可用多项式逼近。§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移83§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法1.连续介质离散化2.确定单元的近似位移模式3.单元特性分析－建立单刚和等效结点荷载列阵位移场几何关系应变(结点位移)本构关系应力首先，将单元内的应力场-应变场用节点位移表示：其次，利用变分原理建立刚度方程：§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移84§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法1.连续介质离散化2.确定单元的近似位移模式3.单元特性分析－建立单刚和等效结点荷载列阵4.集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程对于静力线性问题，形成线性代数方程组单元方程集成总体方程(直接刚度法、对号入座）§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移85§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移元)第三章平面问题有限单元法1.连续介质离散化5.引入位移强制边界条件(消除系数矩阵的奇异性)6.解线性代数方程组7.计算应力、应变由结点位移计算单元的应力、应变8.其它要求(进行其他工程上的要求计算)得到结点位移解2.确定单元的近似位移模式3.单元特性分析－建立单刚和等效结点荷载列阵4.集成所有单元的特性，建立整个结构的节点平衡方程§5-2三角形常应变单元分析一、有限元分析的主要步骤(位移86§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元两类平面问题：区别仅在于弹性矩阵平面应力：如膜、薄板等平面应变：如水坝、挡土墙等§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法87§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元单元结点编号：1，2，3，整体结点编号：1，2，3，…，i,j,…m,n,…,编号顺序：逆时针方向，对应于右手坐标系，次序不能任意。三角形单元§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法88第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元单元结点位移:结点位移: 第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元—三结891.单元位移插值函数：第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元xyi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)uivivjujumvm(x

,y

)v(x

,y

)u(x

,y

)单元内任一点沿坐标轴的线位移可写成：（a）设u,v是坐标x、y的线性函数:待定参数,称之为广义坐标1.单元位移插值函数：第三章平面问题有限单元法二、平面90将结点坐标代入(a)，得结点位移:（b）（六个方程、六个未知量，可确定6个待定参数）第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元1.单元位移插值函数：将结点坐标代入(a)，得结点位移:（b）（六个方程、六个未知91解(b)前三个式：单元编码i,j,m应逆时针转向,可使A(三角形面积)>0。解(b)前三个式：单元编码i,j,m应逆时针转向,92如果令：（i,j,m)如果令：（i,j,m)93则:（d）（e）同理:则:（d）（e）同理:94将(d)(e)代入(a):令:形函数将(d)(e)代入(a):令:形函数95则单元位移模式可写成：（由结点位移表示的单元内位移）或：形函数矩阵则单元位移模式可写成：（由结点位移表示的单元内位移）或：形函96形函数性质1ijmNiijm1Nj1ijmNm(1)形函数Ni在i点值为1，在j、m点数值为0。Ni:在i点发生单位位移对单元内部位移的影响。第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元1.单元位移插值函数：形函数性质1ijmNiijm1Nj1ijmNm(1)形函数N97(3)三角形单元i,j,m在i,j边的形函数与第三个顶点坐标无关。(2)单元任一点三个形函数之和为1。反映单元的刚体位移利用这一性质，可以证明相邻单元在公共边上位移是连续的。xyi(xi,yi)j(xj,yj)m(xm,ym)(3)三角形单元i,j,m在i,j边的形函数与第98②mxyij①n单元①②在公共边i,j上:则公共边i,j上的位移：公共边i,j上的位移只由公共边两个结点i,j的位移确定，所以相邻单元在公共边上位移是连续的。②mxyij①n单元①②在公共边i,j上:则公共边992.几何方程，由结点位移求单元内应变：将位移表达式代入，得：单元应变矩阵其中：二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元第三章平面问题有限单元法2.几何方程，由结点位移求单元内应变：将位移表达式代入，得：100又可写成：[B]中各元素为常数，则{}也为常量。

—常应变单元又可写成：[B]中各元素为常数，则{}也为常量。101二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元3.物理方程，由结点位移求单元应力：—平面应力问题物理方程的矩阵表达式—应力矩阵令:第三章平面问题有限单元法二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元3.物理方程，由102有限元单元物理量单元结点位移：单元位移模式：单元应变应力：4.变分原理与有限元基本方程：二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元第三章平面问题有限单元法有限元单元物理量单元结点位移：单元位移模式：单元应变应力：4103平面单元体总势能其中：—单元刚度矩阵应变能：4.变分原理与有限元基本方程：二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元第三章平面问题有限单元法平面单元体总势能其中：—单元刚度矩阵应变能：4.变分原104外力势能：其中：而：5.变分原理与有限元基本方程：二、平面问题的常应变单元—三结点三角形单元第三章平面问题有限单元法外力势能：其中：而：5.变分原理与有限元基本方程：二、平面105—单元体力的等效结点力—单元面力的等效结点力—单元内集中力的等效结点力总势能是位移的泛函单元体总势能：(a)—单元体力的等效结点力—单元面力的等效结点力—单106最小势能原理:(a)代入上式，得：由的任意性可知：—单元平衡方程最小势能原理:(a)代入上式，得：由107在中常应变单元[B]为常数，单元刚度矩阵[k]e简化为：经计算可得：在中常应变单元[B]为常数，单元刚度矩阵[k]e简化为：经计108其中：其中：109是奇异矩阵:（加约束前）单元刚阵的性质:具有对称性：是奇异矩阵:（加约束前）单元刚阵的性质:具有对称性：110非结点荷载的讨论:以静力等效的原则将单元所受的荷载移置到结点上，使得由于移置而引起的误差是局部的（圣维南原理）。静力等效原则：原荷载与结点荷载在任何虚位移上的虚功都相等。也就是在虚功方程中：使等效结点荷载形成的势能与原荷载的势能相等。非结点荷载的讨论:以静力等效的原则将单元所受111单元内集中力、体积力、面力引起的等效结点力：—集中力虚功—体积力虚功—面力虚功其中：—单元内点位移结点力虚功单元内集中力、体积力、面力112单元分析小结：单元分析小结：113§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法三、总体方程的集成包括两方面内容：（1）由各个单元的刚度矩阵集合成整个结构的整体刚度矩阵（2）将作用于各个单元的等效节点力列阵集合成总的荷载列阵总体方程集成方法：直接刚度法(利用单元结点局部编码和整体编码之间的关系，直接对号入座）§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法114§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法三、总体方程的集成局部编码i,j,m整体编码1,2,3,41.结点位移P/2P/2yx1m2mm1mIIIji43ij2以右图问题为例，说明集成过程§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法1152.结点力以结点2平衡为例：2III这里：{F2}—单元Ⅰ(Ⅱ)作用在结点2上的等效力{R2}—围绕结点2各单元作用在结点2上的等效力之和对于一般情况：S结点(整体编码)其中：2.结点力以结点2平衡为例：2III这里：{F2}—1163.结点位移和结点力的关系（平衡）单元平衡：结点i(单元编码)的平衡：3.结点位移和结点力的关系（平衡）单元平衡：结点i(单117整体平衡：由结点s(整体编码)的平衡得：（e个单元在s点平衡供献之和）把所有结点按整体结点编码排列：—整体结构平衡方程[K]—总刚（整体刚度矩阵）{}—结构的结点位移（按整体编码为顺序）{R}—结构的结点荷载（按整体编码为顺序）整体平衡：由结点s(整体编码)的平衡得：（e个单元在118（3）将换码后的子块放入总刚中对应的位置，若不同单元的元素在同一位置则进行叠加。总刚度集成方法：（1）计算每个单元的[k]e；（2）根据单元结点局部和整体编号之间的关系将[k]e中每个子块[kij]的ij换成对应的整体码；（3）将换码后的子块放入总刚中对应的位置，若不同单元的元素在119m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m例如：m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m例如：120m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m单元号：ⅠⅡ局部码：i,j,mi,j,m整体码：2,4,14,2,3单刚换码：单元Ⅰ单元Ⅱm1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m单元号：121形成总刚：(对号入座)Ik11

[K]:14321432单元Ⅰ单元Ⅱm1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m+IIIkk2222IIk33+IIIkk4444+IIIkk4242+IIIkk2424IIIIIIIIIIIIkkkkkkkk434134322321141200

形成总刚：(对号入座)Ik11[K]:14321432单122整体荷载列阵m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m2m整体荷载列阵m1mIIIji43ij2P/2P/2yx1m21231）对称性 2）奇异性，需引入合适的位移约束。 3）稀疏，（存在许多零元素） 4）非零元素呈带状分布 5)主元恒正总刚的性质1）对称性总刚的性质124§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法四、已知位移条件的引入1、先处理法消除总纲的奇异性在计算结构自由度时，将零位移边条所对应的自由度舍去不计，这样在组集总方程时与这些这些自由度对应的所以项均不计入。2、后处理法（1）划行划列法－直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所对应的行和列（2）主对角元置1法－将[K]中位移为零的主对角元素kii置1，与kii在同一行同一列的其他元素置0，与kii在同一行的荷载分量也置零。§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法125§5-2三角形常应变单元分析第三章平面问题有限单元法四、已知位移条件的引入1、先处理法2、后处理法（1）划行划列法－直接划去刚度矩阵中已知零位移自由度所对应的行和列（2）主对角元置1法－将[K]中位移为零的主对角元素kii置1，与kii在同一行同一列的其他元素置0，与kii在同一行的荷载分量也置零。（3）乘大数法－已知非零位移a，将[K]中对应的主对角元素kii乘上一大数(如1020），同