随机样本及抽样分布课件

第6.1—6.2节数理统计学中的基本概念

数理统计的任务:

观察现象,收集资料,创建方法,分析推断。

统计推断:

伴随着一定概率的推测。其特点是:由“部分”推断“整体”。

总体:研究对象的全体(整体)。个体:每一个研究对象。实际上是对总体的一次观察。有限总体无限总体第六章随机样本及抽样分布第6.1—6.2节数理统计学中的基本概念数理统计的随机样本及抽样分布课件

样本:

由部分个体构成的集合。经常说,来自(或取自)某总体的样本。样本具有二重性:在抽样前,它是随机向量,在抽样后,它是数值向量(随机向量的取值)。样本选择方式:(1)有放回抽样.(2)无放回抽样特别,样本容量<<总体数量时,无放回抽样可近似看作有放回抽样.简单随机样本(s.r.s):

具有两个特点的样本:代表性(组成样本的每个个体与总体同分布),独立性(组成样本的个体间相互独立)。

样本容量:

样本中所含个体的个数。样本:由部分个体构成的集合。经常说,来自(或取自)如,检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则总体:这批灯泡(有限总体)个体:这批灯泡中的每一只样本:抽取的100只灯泡(简单随机样本)样本容量:100样本观测值:

x1,x2,…,x100定义:设X为一随机变量,其分布函数为F(x),X1,X2,…,Xn是一组独立且与X同分布的随机变量,称X为总体;(X1,X2,…,Xn)为来自总体X(或分布函数F(x))的简单随机样本;n为样本容量在依次观测中,样本的具体观测值x1,x2,…,xn称为样本值XX1,X2,…,X100100样本值注意:样本是一组独立同总体分布相同的随机变量.如,检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则总体:这批灯泡(总体选择个体样本观测样本样本观察值(数据)数据处理样本有关结论统计的一般步骤:推断总体性质

统计量为了集中简单随机样本所带来的总体信息,考虑样本的函数,且不含任何未知参数,这样的“不含未知参数的样本的函数”称为统计量。总体选择个体样本观测样本样本观察值(数据)数据处理样本有关结

是来自总体例6.2.1

设

未知,则()不是统计量。的s.r.s,其中已知,

统计量

定义:设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量的函数,若g中除样本的函数外不含任何未知参数,则称g(X1,X2,…,Xn)为统计量.统计量的分布称为抽样分布.是来自总体例6.2.1设①样本均值

常用统计量:②样本方差③样本标准差④样本k阶原点矩⑤样本k阶中心矩①样本均值常用统计量:②样本方差③样本标准差④(6)顺序统计量与样本分布函数设X1,X2,…,Xn的观察值为x1,x2,…,xn,从小到大排序得到:x(1),x(2),…,x(n),定义X(k)=x(k),由此得到的(X(1),X(2),…,X(n))或它们的函数都称为顺序统计量.显然X(1)X(2)

…X(n)且有X(1)=min(X(1),X(2),…,X(n)),X(n)=max(X(1),X(2),…,X(n))1)样本中位数2)样本极差R=X(n)-X(1)(6)顺序统计量与样本分布函数设X1,X2,…,Xn的观察样本分布函数(经验分布函数)格里汶科定理:设总体X的分布是F(x),则下式成立样本分布函数(经验分布函数)格里汶科定理:设总体X的分布是F第6.3节抽样分布一、样本均值的分布定理：设X1，X2,…Xn是来自总体N(,2)的样本，是样本均值，则有注：在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有第6.3节抽样分布一、样本均值的分布定理：设X1，X二、顺序统计量的分布1、（X（1），X（2）…X(n)）的概率密度函数为2、样本中位数的概率密度函数为3、样本极差的概率密度函数为其中二、顺序统计量的分布1、（X（1），X（2）…X(n)）的概z1-α例6.3.1设X~N(0,1),分别为0.95,0.975,0.75,求X关于的100%分位数.Xφ(x)

三、标准正态分布及其100%分位数定义:设X~N(0,1),对任意0<<1,若P{X<λ}=,则称λ为标准正态分布的100%分位数,记为解:=0.95时,反查表得:z0.95=1.64类似可得:z0.975=1.96,z0.75=0.69－zz1-α例6.3.1设X~N(0,1),分别分布及其性质1.定义:

称n个相互独立同标准正态分布的随机变量的平方和X的分布为自由度为n的分布,记作(2)X1,X2,…Xk独立,Xi~(ni),(i=1,2,…,k),则

2.性质:

(1)X1,X2,…Xn独立,Xi~N(0,1),(i=1,2,…,n),则(3)X1,X2,…Xn为来自总体N(,2)的简单随机样本,则四、（4）分布及其性质1.定义:称n个相互独立同标准

例6.3.2设是来自总体的s.r.s,则服从()分布。

例6.3.3设是取自总体N(0,4)的s.r.s,当a=

,b=

时,解(1)服从(2)由题意得a=1/20b=1/100例6.3.2设是来3.的密度曲线Xf(x)n=1n=4n=10随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.3.的密度曲线Xf(x)n=1n=4n=14.分布的100

%分位数定义:设,对于给定的(0<<1),若P{X<λ}=,则称λ为自由度为n的分布的100%分位数,记为Xf(x)查表求100%分位数:(1)若P{X<λ}=,则(2)若P{X>λ}=,则例6.3.4.设X~(10),P{X>λ1}=0.025,P{X<λ2}=0.05,求λ1,λ2.解:查表得:查表得:4.分布的100%分位数定义:设五、t分布及其性质1.定义

设随机变量,随机变量Y且它们互相独立,则称随机变量

的分布为自由度是n的t分布,记作可以证明t分布的概率密度函数为五、t分布及其性质1.定义设随机变量

特点:

关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线.2.t分布的密度曲线:Xf(x)特点:关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐3、t分布的性质（1）

（2）

（3）h(t)的图形关于Y轴对称3、t分布的性质（1）（2）（3）h(t)的图形关4.t分布的100α%分位数:Xf(x)对于给定α(0<α<1),若P{t(n)<λ}=α,则称λ为t分布的100α%分位数,记为:1-α例6.3.5.设t~t(15),求(1)α=0.995(2)α=0.005的100α%分位数;解:(1)λ=t0.995(15),查表得λ=2.9467(2)λ=t0.005(15),查表得λ=-2.9467注:

4.t分布的100α%分位数:Xf(x)对于给

例6.3.6(974)设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布,而和分别是来自总体X和Y的s.r.s,则统计量服从()分布,参数为().t9解:故与独立,所以例6.3.6(974)设随机变量X和Y相六、F分布及其性质1.定义

设随机变量随机变量且它们相互独立,则称随机变量的分布为自由度是的F分布。记作可以证明，的概率密度函数为六、F分布及其性质1.定义设随机变量2.F分布的概率密度曲线3.性质:2.F分布的概率密度曲线3.性质:4.F分布的100α%分位数Xf(x)设F~,对于给定α(0<α<1),若P{F<λ}=α,则称λ为F分布的100α%分位数,记为:5.100α%分位数的计算(1)若P{F<λ}=α,则(2)若P{F<λ}=α(α比较小),则P{1/F<1/λ}=1-α,故4.F分布的100α%分位数Xf(x)设F~例6.3.7设F～F(24,15),分别求满足解(1)λ=F0.975(24,15)=2.29(2)λ=F0.95(24,15)=2.70(3)α比较小,P{1/F<1/λ}=0.975所以λ=0.41例6.3.7设F～F(24,15),分别求满足解(1)λ

七、抽样分布基本定理1、设是来自总体的s.r.s,表示样本均值，则

七、抽样分布基本定理1、设2、设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),X,Y相互独立,从中分别抽取容量为n1,n2的样本,样本均值分别记为2、设X~N(μ1,σ12),Y~N(μ2,σ22),X,3、定理6.3.3设X1，X2,…,Xn是来自总体的样本，分别是样本均值和样本方差，则有注：由可得3、定理6.3.3设X1，X2,…,Xn是来自总体的样本，分4、定理6.3.4设X1，X2,…,Xn是来自总体的样本，分别是样本均值和样本方差，则有例6.3.8(993)设是来自正态总体X的s.r.s,证明:统计量Z~t(2)4、定理6.3.4设X1，X2,…,Xn是来自总体的样本，分例6.3.9(994)设是来自总体的s.r.s,是样本均值,记则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是()1例6.3.9(994)设5、定理6.3.5设与分别是来自总体X,Y的样本且这两个样本是独立的,记则有5、定理6.3.5设与分别是来自总体X,Y的样本且这两个样注:若记则有注:若记则有第6.1—6.2节数理统计学中的基本概念

数理统计的任务:

观察现象,收集资料,创建方法,分析推断。

统计推断:

伴随着一定概率的推测。其特点是:由“部分”推断“整体”。

总体:研究对象的全体(整体)。个体:每一个研究对象。实际上是对总体的一次观察。有限总体无限总体第六章随机样本及抽样分布第6.1—6.2节数理统计学中的基本概念数理统计的随机样本及抽样分布课件

样本:

由部分个体构成的集合。经常说,来自(或取自)某总体的样本。样本具有二重性:在抽样前,它是随机向量,在抽样后,它是数值向量(随机向量的取值)。样本选择方式:(1)有放回抽样.(2)无放回抽样特别,样本容量<<总体数量时,无放回抽样可近似看作有放回抽样.简单随机样本(s.r.s):

具有两个特点的样本:代表性(组成样本的每个个体与总体同分布),独立性(组成样本的个体间相互独立)。

样本容量:

样本中所含个体的个数。样本:由部分个体构成的集合。经常说,来自(或取自)如,检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则总体:这批灯泡(有限总体)个体:这批灯泡中的每一只样本:抽取的100只灯泡(简单随机样本)样本容量:100样本观测值:

x1,x2,…,x100定义:设X为一随机变量,其分布函数为F(x),X1,X2,…,Xn是一组独立且与X同分布的随机变量,称X为总体;(X1,X2,…,Xn)为来自总体X(或分布函数F(x))的简单随机样本;n为样本容量在依次观测中,样本的具体观测值x1,x2,…,xn称为样本值XX1,X2,…,X100100样本值注意:样本是一组独立同总体分布相同的随机变量.如,检验一批灯泡的质量,从中选择100只,则总体:这批灯泡(总体选择个体样本观测样本样本观察值(数据)数据处理样本有关结论统计的一般步骤:推断总体性质

统计量为了集中简单随机样本所带来的总体信息,考虑样本的函数,且不含任何未知参数,这样的“不含未知参数的样本的函数”称为统计量。总体选择个体样本观测样本样本观察值(数据)数据处理样本有关结

是来自总体例6.2.1

设

未知,则()不是统计量。的s.r.s,其中已知,

统计量

定义:设X1,X2,…,Xn是来自总体X的一个样本,g(X1,X2,…,Xn)是n维随机变量的函数,若g中除样本的函数外不含任何未知参数,则称g(X1,X2,…,Xn)为统计量.统计量的分布称为抽样分布.是来自总体例6.2.1设①样本均值

常用统计量:②样本方差③样本标准差④样本k阶原点矩⑤样本k阶中心矩①样本均值常用统计量:②样本方差③样本标准差④(6)顺序统计量与样本分布函数设X1,X2,…,Xn的观察值为x1,x2,…,xn,从小到大排序得到:x(1),x(2),…,x(n),定义X(k)=x(k),由此得到的(X(1),X(2),…,X(n))或它们的函数都称为顺序统计量.显然X(1)X(2)

…X(n)且有X(1)=min(X(1),X(2),…,X(n)),X(n)=max(X(1),X(2),…,X(n))1)样本中位数2)样本极差R=X(n)-X(1)(6)顺序统计量与样本分布函数设X1,X2,…,Xn的观察样本分布函数(经验分布函数)格里汶科定理:设总体X的分布是F(x),则下式成立样本分布函数(经验分布函数)格里汶科定理:设总体X的分布是F第6.3节抽样分布一、样本均值的分布定理：设X1，X2,…Xn是来自总体N(,2)的样本，是样本均值，则有注：在大样本情况下，无论总体服从何种分布均有第6.3节抽样分布一、样本均值的分布定理：设X1，X二、顺序统计量的分布1、（X（1），X（2）…X(n)）的概率密度函数为2、样本中位数的概率密度函数为3、样本极差的概率密度函数为其中二、顺序统计量的分布1、（X（1），X（2）…X(n)）的概z1-α例6.3.1设X~N(0,1),分别为0.95,0.975,0.75,求X关于的100%分位数.Xφ(x)

三、标准正态分布及其100%分位数定义:设X~N(0,1),对任意0<<1,若P{X<λ}=,则称λ为标准正态分布的100%分位数,记为解:=0.95时,反查表得:z0.95=1.64类似可得:z0.975=1.96,z0.75=0.69－zz1-α例6.3.1设X~N(0,1),分别分布及其性质1.定义:

称n个相互独立同标准正态分布的随机变量的平方和X的分布为自由度为n的分布,记作(2)X1,X2,…Xk独立,Xi~(ni),(i=1,2,…,k),则

2.性质:

(1)X1,X2,…Xn独立,Xi~N(0,1),(i=1,2,…,n),则(3)X1,X2,…Xn为来自总体N(,2)的简单随机样本,则四、（4）分布及其性质1.定义:称n个相互独立同标准

例6.3.2设是来自总体的s.r.s,则服从()分布。

例6.3.3设是取自总体N(0,4)的s.r.s,当a=

,b=

时,解(1)服从(2)由题意得a=1/20b=1/100例6.3.2设是来3.的密度曲线Xf(x)n=1n=4n=10随着n的增大,密度曲线逐渐趋于平缓,对称.3.的密度曲线Xf(x)n=1n=4n=14.分布的100

%分位数定义:设,对于给定的(0<<1),若P{X<λ}=,则称λ为自由度为n的分布的100%分位数,记为Xf(x)查表求100%分位数:(1)若P{X<λ}=,则(2)若P{X>λ}=,则例6.3.4.设X~(10),P{X>λ1}=0.025,P{X<λ2}=0.05,求λ1,λ2.解:查表得:查表得:4.分布的100%分位数定义:设五、t分布及其性质1.定义

设随机变量,随机变量Y且它们互相独立,则称随机变量

的分布为自由度是n的t分布,记作可以证明t分布的概率密度函数为五、t分布及其性质1.定义设随机变量

特点:

关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐接近于标准正态密度曲线.2.t分布的密度曲线:Xf(x)特点:关于y轴对称;随着自由度的逐渐增大,密度曲线逐渐3、t分布的性质（1）

（2）

（3）h(t)的图形关于Y轴对称3、t分布的性质（1）（2）（3）h(t)的图形关4.t分布的100α%分位数:Xf(x)对于给定α(0<α<1),若P{t(n)<λ}=α,则称λ为t分布的100α%分位数,记为:1-α例6.3.5.设t~t(15),求(1)α=0.995(2)α=0.005的100α%分位数;解:(1)λ=t0.995(15),查表得λ=2.9467(2)λ=t0.005(15),查表得λ=-2.9467注:

4.t分布的100α%分位数:Xf(x)对于给

例6.3.6(974)设随机变量X和Y相互独立且都服从正态分布,而和分别是来自总体X和Y的s.r.s,则统计量服从()分布,参数为().t9解:故与独立,所以例6.3.6(974)设随机变量X和Y相六、F分布及其性质1.定义

设随机变量随机变量且它们相互独立,则称随机变量的分布为自由度是的F分布。记作可以证明，的概率密度函数为六、F分布及其性质1.定义设随机变量2.F分布的概率密度曲线3.性质:2.F分布的概率密度曲线3.性质:4.F分布的100α%分位数Xf(x)设F~,对于给定α(0<α<1),若P{F<λ}=α,则称λ为F分布的100α%分位数,记为:5.100α%分位数的计算(1)若P{F<λ}=α,则(2)若P{F<λ}=α(α比较小),则P{1/F<1/λ}=1-α,故4.F分布的10