2019年高考数学专题-立体几何中的截面问题

【精品】2019年高考数学专题--立体几何中的截面问题过三个点的截面与正方体的六个面的交线（作图步骤）：情形一：有两点共面C情形一：有两点共面C找共面的两点P、R,作直线PR；②延长B②延长B】Ai,直线B】Ai与直线PR交于点M,则M在面A1B1CQ1上；连结MQ，直线MQ与A】D1交于点N；连结NP；在面ABCD上作直线RF//NQ，RF交BC于点F；（两个平行平面同时与第三个平面相交，它们的交线平线.）延长，直线B】B与直线PR交于点G，则G在面BBH上;连结GF，直线GF与CC1交于点H，连结QH.CC

CC任两点不共面H①作直线PQ,则PQ为底面ABCD任两点不共面H①作直线PQ,则PQ为底面ABCD的斜线;情形二：C过点Q做QQi垂直CD于点Qi,则点Q在面ABCD上的射影为点Qi,易知点P在面ABCD上的射影为点A；连结QiA,直线QiA与直线QP交于点M,则M为截面PQR上的

一点。由观察可得，M、Q和R三点中有M、R共面，后面的步骤归结为情形一（连结MR,）.注意：斜线在平面上的射影的确定方法有:连结斜足和垂足，如图一；连结两个垂足,/图一连捷备点即可图二.迄两个要做平行践3这个要狀出平面与底面的交线，先做蚯在底曲的射彭E卩,然后延长找到交线上的另一点卩,连漲找到％后面的就简单了

/图一连捷备点即可图二.迄两个要做平行践3这个要狀出平面与底面的交线，先做蚯在底曲的射彭E卩,然后延长找到交线上的另一点卩,连漲找到％后面的就简单了立体几何中的截面问题-＞就面的定义屍作法用一个平面去截几何体.此平面与几何体的交集，叫做这牛几何体的載面.此平面与几河体表血的交集（交线j叫做截线•此平面匂几何体的棱的爻恿咬点）叫做武点•K方法（交线法）.该作图关键在于确定噩点，育了位于多面体同一表面上的两个截点即可连结成截线.从而求得截働+沢低限线与战点餉主鉴痕据有*口）确定平面的箫件.（刃如果两个不直合的平鹵有一个公其点，罪么它们和空于过毗点的—条霍线”（3）如果一条山魏上的两点在一个罕面内.那么这条直线上所有的点都在这个平面内.⑷如果一条豐给F行于一个屮淋经过这条直线的riffle这个甲面相交.那么这条直线就和交线平彳亍■（引如果两个平面平行,第三个平而和密们相交，那么两条交线M亍一类型"截血经过的三个已知点分别在参面体的梭上，且其中有两点在同一个而的按上.洌1；如图’正方体且舀「D—掛场〔；站中，E.F.G分则左且乩目匚。口上，求作过EF.G三点的栽面-作法』（D在底而片。内，过風T作直线朋分别与励、兀的延长线交于乙M.⑵在侧而珂"内.谨结上拧交则［于K⑶在恻面坷Q內.连结掘交的于丘（4）连结宓阻则五边形醐磁即为所求的載面.QCE2.-P、认F三点分别在直四楼柱的棱现兌j和码上，试画出过只Q、卅三点的戡面QCE作法：⑴连接W硼井延长，分别交師的的延长线于尽F.⑵连接爾交佔于八交却于汐・「（3）连接斤£TK则多边形旳翻即为所求截SL

例3：己知AQ斤分别是四棱柱肋4如巧彳巧的梭金沏1和血1上的点，且站与血不平行，求悴过这三点的戴面.作法：⑴连接妒井延怏交加延长线于点人（刃在平面馭4内连接刃交血于魚也（引连接炉磁则四边形尸昭r即为所求。II•古例套如五棱毎P—側屋中#三条侧棱上各有一已知点F、G、H,求作过只G、甘的截面.II•古作法’⑴将侧面削風PSC.磁伸展得到三棱锥i於匚⑵在侧面P虧内,逢结并延长症.交於于兀（为在側面膚r内,连结并延长胡交刃于匚⑷怪侧面出『内.连结皿分别交PE亍乐M⑸连结感曲则五边形阳醐聞为所求的截面类型Z載面经过的三于已知点至少有一点在多面体的瓶上，其余点在援上例3：如图，正方体朋4地约匂竝中，类型Z載面经过的三于已知点至少有一点在多面体的瓶上，其余点在援上f在底面』1勺内，求过EF、&的戡而,作法；⑴过区产作辅助面’在面血内・过尸柞f在底面』1勺内，求过EF、&的戡而,作法；⑴过区产作辅助面’在面血内・过尸柞叭#叫S勺q于点尸1”则面們勺为所柞的辅助面.（小连结逝并延长与駆延长线交于Q连接如交肋于夙⑸连结出限则五边形颐膚为所求的截面.

例6：己知直四棱柱/烷，严在面込些l内，。在面百严i内.f在棱函上,画出过只Q、丘三点的武面。件法：⑴过尸作田丄伽于点已过Q作。◎丄肋于C⑵在底面朋如内连接朋*BQ,井交于菽⑶由平行城肱作平面的册连接〜兄⑷在平面购就内过舟作册工面MGZ交纱于礼⑸由平行线厅•曲i作平WPfAAv则用必落在茴护血］内⑹在面PPAAy内，连接加井延长空曲1于払⑺在面心曲久内「连接昭并延扶交例于G⑻在面DXDCCX内『连接朋并延长交旳予几3)连接刃；甌则塞边形溯丁即为所求"类型浜就瞬絵过的三个已知点中・有两个点在同一擾上.第三点在笋面怦内例「试作出过正三棱柱磁一月1勺q的底边淹及两底中心连贱阳1中点的戟血匸作法’(D过角』和码柞平面/叫g交处于風愛方苗1于现，则a坷分别为bc.约q的中点°⑵征平面如肠内，作亚纯砒交上底面勺坷q于点&⑶在平面辆q内.过Q作辭7坷q交珂巧于庄交于尺(4连接血⑦则麥边形册辽为审求+.5.5例氏程侧棱和高的夹角为口的正四棱锥中，求作一个过底面顶点且与这点所对侧棱垂直的裁面(a<4V).作法：(D在乎面朋C中》作AELSG于点丘⑵崔底而屈席内过占作必砂。站)延长绻创分别交乂于点MM(4)谨接啟EN、分别交期、眾?于点G氐馬)连接』A姙则寥边形卫画即为所求B类型吐截谢经H的三个己知点两两不在何一面内的棱上.M例鮎aa怡三点分别在直四棱柱眄的様轲、坷坷和曲上，试画出过只a怡三点作法：⑴先m两点作備助平面-过点云作旳加码交如坷于罚，则面俪作法：⑴先m两点作備助平面-过点云作旳加码交如坷于罚，则面俪g为所懈I连接円？丼址长交AD前延长绞于」q-【同样.求岀P0誇r-[fil'ABCD吟確点M：,连接隔一迅得制就銭连接盒0-加得到所求截IfliPQKHR若A/阿不叮底rfdABCD的內部松交，而是交丁它的延谨血匕ffil可延长DC■交％见FA/3+连接掘/得剥泄线&厂连接『6&M得別所求泄曲户。77?AA划订：如阿EF分别¥l掖圧先厨直」：・G左平面内.柞过E或一&的醐］解；隹碍到M,N两点后，只能去作出恂］4「卜価儼线亦0琴易从图三看出英氽步愿从而得到所求截mEFLKH我们耙己期三点中有阙牛点分别臣正方障的两亍共向的陵卜一的作截面厲叫做睪本題釵・有明品的规律性例⑵L.F.G分别在两两异画的三条棱1:・画出过£・F、G1点E槽.L解：作GP丄DC.谨接吗G秤且F•连接GE井廻长辺只』的站长线丁MT连i^MF交AB与H*连接£77,任平阳ABCD内悴GK//EH交CCt丁K，连接KF世平闻AD、内ftERfJKF楚昌Q于R•连孩RG・则所求戲Ihi为人边形EHFKGR［;i）通过石P丄DU得到一-伞辅助平而耳GRrt・它把正方体分割出一个直四撞柱卫GTLz!'ifBJW=图8这就回到基本题型•主芻是构建辅助平而使所给的三点中的两点分別在峯的其面的两箫棱上而£.G两点分别在这个直赳楼Eit師的两条棱\.・JVJV则作截面的步骤.仍是先作一个适当的辅助平面，归结为星本题型左圏中的辅助V面为则作截面的步骤.仍是先作一个适当的辅助平面，归结为星本题型左圏中的辅助V面为A.QPA■相应的直陵柱为4^1一且丹【注】如果G在平面g内时.任平面*内作GP//B}C^辅助平iftlPOCB分割出直四棱柱-44甬一0010乂回创皋本题世.崔求得MN两点后’易得截ifiiERFKH若E在棱E4上，F.G分別祀不经过.陵九％的两个丽（共棱的两个面或H1对的•两个窗》内.则件截而的步骤，仍是先作一个适当的辅助平山n归结为峯本题空若E在棱卫耳上・F.G分别在不经过陵圮£的两个而（共棱的两个【佰或柑对的两个面）内.右闇中的辅助半面为A.OR.A・机应的口磧柱为卫QGBfERCBEFG三点分别在正方体的［个面内,三个面分共顶点的和不共顶点两种情况

例烁E崔平面43内・F崔平面耳C内.。崔平而爲耳內,求过EFG的载而Gtf.il:方体的内部.求过EF.G的社而Gtf.il:方体的内部.求过EF.G的社而得到直五楼柱A.RQC.D,-ATPCD,连接EF井延长變PQ附运长线子M，按培本题瞰方法作出aiffiKHLS咧1:,EF分别枇正方体的梭枫C&DlG骼：过G作GHLHnAC.并碰长交平而角G于広・作辅助TifiiB.PQB・连接EG井延设交PQTR.DlG连&EF,在平面内过7?作：73"廿\连接花和FS.则所求盤丽为ZiFS例怎EG分别在正方i^ABCD-^Cfy的内部和外粘F程棱怒上才咸过E、FG三点的正方体的戲血解；过£G两点分删乍£尸和GD'垂直平丽AC•垂足为RD•作辅圖长方^A'BC'D-A^乌a©作辅助平［S'APQR交平潮BC1f5F・程接FE舟延検交SF于K,SIRS的延长粽于连接肘G交>H・理接冉人井延栓交£［；于2\交5B.TL,在屮而占匚内”柞TN/fHG.1S4«NF+则两求取廊为四边聊FI7N【总结】；①若已知两点在同一平面内」只要连接这两点，就可以得到截面与多面体的一个面的截践B若面上只有一个己知