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文档简介
高等院校非数学类本科数学课程——微积分大学数学(一)讲集合与函数脚本编写、教案制作:经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第1页!
学会思考尝试研究性的学习方法:提出问题、研究问题、解决问题.注重持续性学习:有计划地安排学习.借鉴周围同学的学习方法.学习遇到困难怎么办?经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第2页!作业:学号单号的同学单周交作业.成绩:平时:10%,期中:20%,期末:70%.每周次上课前教作业.学号双号的同学双周交作业.做作业要抄题目,并写出解题过程.作业本:五角一本,写明姓名、班级、学号.经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第3页!一、集合常量与变量二、函数概念三、函数的几种特性四、反函数§1.1函数上页下页铃结束返回首页经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第4页!几个数集所有自然数构成的集合记为N,称为自然数集.下页所有实数构成的集合记为R,称为实数集.所有有理数构成的集合记为Q,称为有理集.所有整数构成的集合记为Z,称为整数集.经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第5页!二.绝对值的性质定义1性质经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第6页!数集{x|a<x<b}称为开区间,记为(a,
b),即(a,
b)={x|a<x<b}.[a,b]={x|axb}称为闭区间.[a,b)={x|ax<b}及(a,b]={x|a<xb}称为半开区间.区间上述区间都是有限区间,其中a和b称为区间的端点.下页经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第7页!(5)区间长度有限区间的长度=右端点值-左端点值=b-a所有无限区间的长度=+∞点b与点a之间的距离为b-a经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第8页!
设>0,则称区间(a-,a+)为点a的邻域,记作U(a,),其中点a称为邻域的中心,
称为邻域的半径.去心邻域U(a,)={x|0<|x-a|<}.。U(a,)={x|a-<x<a+}={x|-<x-a<}={x||x-a|<}.下页到点的距离小于的点的集合邻域
某一点
处附近的很小的变化范围经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第9页!例1
求点2的0.1邻域.解:经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第10页!常量与变量用什么符号不是绝对的,但应尊重数学的习惯.变量在我们所研究的问题中,可以取不同数值的量叫做变量.通常用字母x,y,z等表示变量.2.常量与变量常量在我们所研究的问题中,始终只取同一数值的量叫做常量.通常用字母a,b,c等表示常量.首页经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第11页!求函数的定义域举例
解:
要使函数有意义,必须x0,且x2-4³0.解不等式得|x|³2.函数的定义域为
D={x||x|³2},或D=(-¥,-2][2,+¥).定义域的确定:
下页经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第12页!3.函数的图形在坐标系xOy内,集合
C={(x,y)|y=f(x),xD}所对应的图形称为函数y=f(x)的图形.经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第13页!此函数称为绝对值函数,其定义域为D=(-,+),其值域为W=[0,+).例3.
例2.函数y=2.这是一个常值函数,其定义域为D=(-,
+),其值域为W={2}.下页经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第14页!此函数称为符号函数,其定义域为D=(-,+),其值域为W={-1,0,1}.
例5.
函数y=[x].此函数称为取整函数,其定义域为D=(-,+),其值域为W=Z.例4.下页经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第15页!这也是分段函数,其定义域为
yOx11-12-2-1经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第16页!设函数y=f(x)在区间I上有定义,
x1及x2为区间I上任意两点,且x1<x2.如果恒有f(x1)<f(x2),则称f(x)在I上是单调增加的.1.函数的单调性如果恒有f(x1)>f(x2),则称f(x)在I上是单调减少的.单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.
下页三、函数的几种特性经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第17页!而函数
y
=
2
x
2+1在区间(-,0]内单调减少;在区间[0,+)内单调增加。经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第18页!奇函数
奇函数的图形关于原点对称。yxox-x经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第19页!如果函数f(x)在区间I上满足f(x)K1,则称f(x)在I上有上界,而称K1为f(x)在I上的一个上界.3.函数的有界性如果函数f(x)在区间I上满足f(x)K2,则称f(x)在I上有下界,而称K2为f(x)在I上的一个下界.如果函数f(x)在区间I上满足|f(x)|K,则称f(x)在I上有界.如果这样的K不存在,则称f(x)在I上无界.下页经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第20页!在上是无界的。如果函数f(x)在区间I上满足|f(x)|K,则称f(x)在I上有界,或称f(x)是有界函数.经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第21页!一、反函数
定义
设函数y=f(x)的定义域为D,值域为Z。如果对于每个yZ,存在唯一xD,使f(x)=y,则x是一个定义在Z上的函数,称为y=f(x)的反函数,记为x=f-1(y)。这样函数y=f(x)与函数x=f-1(y)互为反函数。将x与y互换,就得所求反函数为例1
求y=3x-1的反函数。解
由于习惯上总是把自变量记为x,因变量记为y,故习惯上常常将x与y互换,记函数y=f
(x),xD的反函数为:y
=f
-1(x),x
Z
.
经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第22页!思考:
什么样的函数存在反函数?提示:
单调函数下页一、反函数
定义
设函数y=f(x)的定义域为D,值域为Z。如果对于每个yZ,存在唯一xD,使f(x)=y,则x是一个定义在Z上的函数,称为y=f(x)的反函数,记为y=f-1(x)。经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第23页!反函数的性质:下页穿衣服,脱衣服。经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第24页!作业P138.(1)9.请预习第二章第一、二节作业P208.经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第25页!一、幂函数二、指数函数与对数函数三、三角函数与反三角函数四、复合函数初等函数§1.2初等函数上页下页铃结束返回首页经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第26页!二、指数函数与对数函数常用的指数函数为y=ex.1.指数函数函数y=ax(a是常数,且a>0,a1)叫做指数函数.指数函数的定义域:D=(-,+).
单调性:若a>1,则指数函数单调增加;若0<a<1,则指数函数单调减少.下页经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第27页!-11-p2pp-11-p2pp三、三角函数与反三角函数1.三角函数正弦函数:
y=sinx余弦函数:
y=cosxy=sinxy=cosx常用的三角函数下页经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第28页!正割函数经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第29页!三、三角函数与反三角函数余切函数:
y=cotx正切函数:
y=tanx余弦函数:
y=cosx1.三角函数常用的三角函数正弦函数:
y=sinx正割函数:余割函数:下页经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第30页!经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第31页!经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第32页!xy定义域为,值域经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第33页!经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第34页!如:可看作由复合而成。注:不是任何函数都可以复合成一个函数。设y=f(u)=arcsinu,u=g(x)=2+x2,不能复合。二、复合函数经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第35页!
反过来,利用复合函数的概念,可以将—个较复杂的函数,看成两个或两个以上简单函数的复合结果.并将此过程称为复合函数的分解.其中u、v
都是中间变量.复合而成反之,给出函数,可以分解为其中u、v
都是中间变量.装机器拆机器经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第36页!分解它分解为以下几个函数:例14解复合函数分解到什么时候为止?最后分解到基本初等函数或基本初等函数的四则运算为止.每一步相关函数都是基本初等函数.
以上过程称为对复合函数的分解经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第37页!例1是初等函数吗?利用对数恒等式解是初等函数。一般地,幂指函数也是初等函数:经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第38页!例8解所以于是则经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第39页!实例经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第40页!综上所述例1解经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第41页!五、简单函数关系的建立
在用数学方法解决实际问题时,首先需要建立这个问题的数学模型,就是将问题中变量之间的依赖关系用数学公式表达出来,也就是建立变量间的函数关系.然后应用有关的数学知识或其他相关知识分析、综合,以达到解决问题的目的.经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第42页!例8某企业对某产品制定了如下的销售策略:购买不超过20公斤,每公斤10元;购买不超过200公斤,其中超过20公斤的部分,每公斤7元;购买超过200公斤的部分,每公斤5元。试写出购买量为x公斤的费用函数C(x).
解经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第43页!
请同学们预习下一章、二节经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第44页!集合与集合的元素集合是指具有某种特定性质的事物的总体.集合可用大写的字母A,B,C,D等标识.组成集合的事物称为集合的元素.集合的元素可用小写的字母a,b,c,d等标识.
a是集合M的元素记为aM,读作a属于M.
a不是集合M的元素记为aM,读作a不属于M.集合的表示A={a,b,c,
d,
e,
f,
g}是用列举法表示的.是用描述法表示的.一、集合常量与变量下页例:经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第45页!二.绝对值与不等式从数轴上看:a的绝对值就是a到原点的距离。
实数a的绝对值定义为:经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第46页!解绝对值不等式最后归结为以下两种情形:,当,其解集为空集,,当,其解集为全体实数,当,解集为:,解集为:当经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第47页!无穷区间经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第48页!区间[1,4]的区间长度为4(1)=5经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第49页!经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第50页!作业P42.(1)(3)(4)(5)(6)1.两大题均未要求画图经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第51页!1.函数的定义当自变量取遍定义域A中所有的数值时,相应得到的所有的函数值所组成的数集被称为是函数的值域.存在
Exist任意
Arbitrary经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第52页!因此,函数的定义域为求函数的定义域举例:经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第53页!如果自变量在定义域内任取一个数值时,对应的函数值问题只有一个,这种函数叫做单值函数,否则叫做多值函数.以后凡是没有特别说明时,函数都是指单值函数.4.函数举例
例1.
在直角坐标系中,由方程x2+y2=r2确定了一个函数.对于任意x(-r,r),对应的函数值有两个:下页经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第54页!
在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.分段函数经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第55页!例6.这是一个分段函数,其定义域为
D=[0,1](1,+)=[0,+).
f(3)=1+3=4.首页经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第56页!o有理数点无理数点•1xy3)狄利克雷函数(Dirichlet)经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第57页!例如,函数y=x
3在(-,+)内单调增加。经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第58页!二、奇偶性偶函数偶函数的图形关于y轴对称。yxox-x经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第59页!试用定义说明函数例解是否具有奇偶性.任意取故该函数是奇函数。定义!经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第60页!f(x)=sinx在(-,+)上是有界的:函数的有界性举例下页-11-p2ppy=sinx|sinx|1.如果函数f(x)在区间I上满足|f(x)|K,则称f(x)在I上有界,或称f(x)是有界函数.经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第61页!4.函数的周期性设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个不为零的数l,使得对于任一xD有(xl)D,且f(x+l)=f(x),则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.周期函数的图形特点:首页通常周期函数的周期是指其最小正周期.经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第62页!
直接函数与反函数的图形关于直线对称.经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第63页!x-x
y翻转
在(-,+)内,y=x2不是一一对应的函数关系,所以它没有反函数。在(0,+)内y=x2有反函数
在(-,0)内,y=x2有反函数
经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第64页!设求(96年数学二)
解由当时,得到,由当时,得到,
由当,得到因此所以反函数为
时,经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第65页!高等院校非数学类本科数学课程——一元微积分学大学数学(一)第二讲初等函数复合函数脚本编写、教案制作:经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第66页!一、幂函数函数y=xm(m是常数)叫做幂函数.幂函数的定义域:与常数m有关,但函数在(0,
+)内总有定义.常见的幂函数:
y=x,
y=x2,
y=x3,
y=x-1,
.首页经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第67页!2.对数函数指数函数y=ax的反函数叫做对数函数,记为y=logax(a>0,a1).对数函数的定义域是区间(0,+).自然对数函数:y=lnx=logex.首页对数恒等式a>10<a<1y=logax经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第68页!余切函数:
y=cotx正切函数:
y=tanx-ppp-p余弦函数:
y=cosx三、三角函数与反三角函数1.三角函数常用的三角函数正弦函数:
y=sinx下页经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第69页!余割函数经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第70页!2.反三角函数概念经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第71页!定义域为[1,1],值域经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第72页!定义域为[1,1],值域经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第73页!反余切函数xy定义域为,值域经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第74页!取最值函数yxoyxo经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第75页!注意复合次序:
复合可以多次进行。例3例4的复合。经管类微积分章函数共85页,您现在浏览的是第76页!都是初等函数.例如,函数2
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