二次函数练习题( 周末)

-PAGE19-二次函数练习题姓名二次函数的定义：注意几个特殊形式的抛物线的特点1、y=ax2,对称轴顶点坐标2、y=ax2+k，对称轴顶点坐标3、y=a(x－h)2对称轴顶点坐标4、y=a(x－h)2+k对称轴顶点坐标三、二次函数同象的平移二次函数的平移本质可看作是定点问题的平移，固然要掌握整抛物线的平移，只要关键的顶点平移即可。口诀是：四、二次函数y=ax2+bx+c的同象与字母系数之间的关系：a:开口方向向上则a0，向下则a0｜a｜越大，开口越b:对称轴位置，与a联系一起，用判断b=0时，对称轴是c:与y轴的交点：交点在y轴正半轴上，则c0负半轴上则c0，当c=0时，抛物点过点【注】在抛物线y=ax2+bx+c中，当x=1时，y=当x=－1时y=,经常根据对应的函数值判考a+b+c和a－b+c的符号【重点考点例析】例1（2012•常州）已知二次函数y=a（x－2）2+c（a＞0），当自变量x分别取、3、0时，对应的函数值分别：y1，y2，y3，，则y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y3＜y2＜y1B．y1＜y2＜y3C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2对应训练1．（2012•衢州）已知二次函数y=x2－7x+，若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是（）A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y1考点二：二次函数的图象和性质例2（2012•咸宁）对于二次函数y=x2－2mx－3，有下列说法：①它的图象与x轴有两个公共点；②如果当x≤1时y随x的增大而减小，则m=1；③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则m=－1；④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等，则当x=2012时的函数值为－3．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）考点：二次函数的性质；二次函数图象与几何变换；抛物线与x轴的交点．对应训练2．（2012•河北）如图，抛物线y1=a（x+2）2－3与y2=（x－3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a=1；③当x=0时，y2－y1=4；④2AB=3AC；其中正确结论是（）A．①②B．②③C．③④D．①④考点三：抛物线的特征与a、b、c的关系例3（2012•玉林）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为x=1，有如下结论：①c＜1；②2a+b=0；③b2＜4ac；④若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2，则x1+x2=2，则正确的结论是（）A．①②B．①③C．②④D．③④对应训练3．（2012•重庆）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=．下列结论中，正确的是（）A．abc＞0B．a+b=0C．2b+c＞0D．4a+c＜2b考点四：抛物线的平移例4（2012•桂林）如图，把抛物线y=x2沿直线y=x平移个单位后，其顶点在直线上的A处，则平移后的抛物线解析式是（）A．y=（x+1）2－1B．y=（x+1）2+1C．y=（x－1）2+1D．y=（x－1）2－1对应训练4．（2012•南京）已知下列函数①y=x2；②y=－x2；③y=（x－1）2+2．其中，图象通过平移可以得到函数y=x2+2x－3的图象的有（填写所有正确选项的序号）．【聚焦中考】1．（2012•泰安）二次函数y=a（x+m）2+n的图象如图，则一次函数y=mx+n的图象经过（）A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限D．第一、三、四象限1题1题2题3题3题2．（2012•济南）如图，二次函数的图象经过（－2，－1），（1，1）两点，则下列关于此二次函数的说法正确的是（）A．y的最大值小于0B．当x=0时，y的值大于1C．当x=－1时，y的值大于1D．当x=－3时，y的值小于03．（2012•菏泽）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=bx+c和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．5．（2012•日照）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2－4ac＞0；②2a+b＜0；③4a－2b+c=0；④a：b：c=－1：2：3．其中正确的是（）A．①②B．②③C．③④D．①④5题5题7题6题7题6题6.（2012•兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，若|ax2+bx+c|=k（k≠0）有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜－3B．k＞－3C．k＜3D．k＞37．（2012•天门）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（－1，0），（3，0）．对于下列命题：①b－2a=0；②abc＜0；③a－2b+4c＜0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个8．（2012•长春）在平面直角坐标系中，点A是抛物线y=a（x－3）2+k与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的等边三角形ABC的周长为．11题8题11题8题9．（2012•成都）有七张正面分别标有数字－3，－2，－1，0，l，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的一元二次方程x2－2（a－1）x+a（a－3）=0有两个不相等的实数根，且以x为自变量的二次函数y=x2－（a2+1）x－a+2的图象不经过点（1，0）的概率是．10．（2012•宁波）把二次函数y=（x－1）2+2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为．11．（2012•贵港）若直线y=m（m为常数）与函数y=的图象恒有三个不同的交点，则常数m的取值范围是．12．（2013浙江省义乌市，）如图,已知抛物线y1=－2x2＋2,直线y2=2x+2,当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2.若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2.例如：当x=1时，y1=0,y2=4,y1＜y2，此时M=0.下列判断：①当x＞0时，y1＞y2；②当x＜0时，x值越大，M值越小；③使得M大于2的x值不存在；④使得M=1的x值是或.其中正确的是()A.①②B.①④C.②③D.③④13．（2012•广安）如图，把抛物线y=x2平移得到抛物线m，抛物线m经过点A（－6，0）和原点O（0，0），它的顶点为P，它的对称轴与抛物线y=x2交于点Q，则图中阴影部分的面积为．14．（2013四川内江）如图5，正三角形ABC的边长为3cm，动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设运动时间为x（秒），y＝PC2，则y关于x的函数的图象大致为()ABABCP图5A． B． C． D．15．（2012•潍坊）许多家庭以燃气作为烧水做饭的燃料，节约用气是我们日常生活中非常现实的问题．某款燃气灶旋转位置从0度到90度（如图），燃气关闭时，燃气灶旋转的位置为0度，旋转角度越大，燃气流量越大，燃气开到最大时，旋转角度为90度．为测试燃气灶旋转在不同位置上的燃气用量，在相同条件下，选择燃气灶旋钮的5个不同位置上分别烧开一壶水（当旋钮角度太小时，其火力不能够将水烧开，故选择旋钮角度x度的范围是18≤x≤90），记录相关数据得到下表：旋钮角度（度）2050708090所用燃气量（升）73678397115（1）请你从所学习过的一次函数、反比例函数和二次函数中确定哪种函数能表示所用燃气量y升与旋钮角度x度的变化规律？说明确定是这种函数而不是其它函数的理由，并求出它的解析式；（2）当旋钮角度为多少时，烧开一壶水所用燃气量最少？最少是多少？（3）某家庭使用此款燃气灶，以前习惯把燃气开到最大，现采用最节省燃气的旋钮角度，每月平均能节约燃气10立方米，求该家庭以前每月的平均燃气量．16.（2013浙江省温州市）如图，经过原点的抛物线与轴的另一个交点为A。过点作直线轴于点M，交抛物线于点B。记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）。连结CB,CP。（1）当时，求点A的坐标及BC的长；（2）当时，连结CA，问为何值时？（3）过点P作且，问是否存在，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并定出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。17．已知如图抛物线l1与x轴的交点的坐标为（-1，0）和（-5，0），与y轴的交点坐标为（0，2.5）．（1）求抛物线l1的解析式；（2）抛物线l2与抛物线l1关于原点对称，现有一身高为1.5米的人撑着伞与抛物线l2的对称轴重合，伞面弧AB与抛物线l2重合，头顶最高点C与伞的下沿AB在同一条直线上（如图所示不考虑其他因素），如果雨滴下降的轨迹是沿着直线y=mx+b运动，那么不被淋到雨的m的取值范围是多少？

（3）将伞的下沿AB沿着抛物线l2对称轴上升10厘米至A1B1，A1B1比AB长8厘米，抛物线l2除顶点M不动外仍经过弧A1B1（其余条件不变），那么被雨淋到的几率是扩大了还是缩小了，说明理由。18.（2013•奉贤区二模）如图，已知二次函数y=-x2+2mx的图象经过点B（1，2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M．（1）求二次函数的解析式；（2）在直线BM上有点，连结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边形为直角梯形？若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）当m=3时，y=－x2+6x令y=0，得－x2+6x=0，

∴

∴A(6,0)

当x=1时，y=5，

∴B（1,5）

又∵抛物线的对称轴为直线x=3，

又∵B、C关于对称轴对称，

∴BC=4

（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图①）由已知得∠ACP=∠BCH=90°

∴∠ACH=∠PCB

又∵∠AHC=∠PBC=90°，

∴△ACH∽△PCB

∵抛物线的对称轴为直线x=m，其中，

又∵B，C关于对称轴对称，

∴BC=2(m－1)

∵B(1,2m－1),P(1,m),

∴BP=m－1，

又∵A(2m,0),C(2m－1,2m－1),

∴H(2m－1,0)

∴AH=1,CH=2m－1

∴

（3）∵B，C不重合，∴m≠1，

(Ⅰ)当m＞1时，BC=2(m－1)PM=m,BP=

m－1.

(ⅰ)若点E在x轴上（如图②），

∵∠CPE=90°，

∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°

∴∠MEP=∠BPC

又∵∠PME=∠CBP=90°，PC=EP

∴△BPC≌△MEP

∴BC=PM，

∴2(m－1)=m

∴m=2

此时点E的坐标是（2,0）

(ⅱ)若点E在y轴上（如图③）过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，

∴m－1=1，

∴m=2，

此时点E的坐标是（0,4）

(Ⅱ)当0＜m＜1时，BC=2(m－1)，PM=m

BP=m－1.

(ⅰ)若点E在x轴上（如图④），易证△PBC≌△MEP，

∴BC=PM，2(m－1)=m

∴m=

∴此时点E的坐标是（，0）

(ⅱ)若点E在y轴上（如图⑤）过点P作PN⊥y轴于点N，

易证△BPC≌△NPE，

∴BP=NP=OM=1，

∴1－m=1，∴m=0，（∵m>0,舍去）

综上所述，当m=2时，点E的坐标是（2,0）或（0,4）；

当m时m=，

点E的坐标是

①

②

③

④

⑤求二次函数的解析式：

最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：

（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；

（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；

（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；

（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。

二次函数的应用：

（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路：

理解题意；

建立数学模型；

解决题目提出的问题。

（2）应用二次函数求实际问题中的最值：

即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。

求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。二次函数的三种表达形式：

①一般式：

y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[,]

把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。②顶点式：

y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。

有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。

例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。

解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。

注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。

具体可分为下面几种情况：

当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；

当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象。③交点式：

y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)[仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b2-4ac≥0].

已知抛物线与x轴即y=0有交点A（x1，0）和B（x2，0）,我们可设y=a(x-x1)(x-x2),然后把第三点代入x、y中便可求出a。

由一般式变为交点式的步骤：

二次函数

∵x1+x2=-b/a，x1?x2=c/a(由韦达定理得),

∴y=ax2+bx+c

=a(x2+b/ax+c/a)

=a[x2-(x1+x2)x+x1?x2]

=a(x-x1)(x-x2).

重要概念：

a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向。a>0时，开口方向向上；

a<0时，开口方向向下。a的绝对值可以决定开口大小。

a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。

能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式；

能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用；

能熟练地运用二次函数解决实际问题。二次函数的其他表达形式：

①牛顿插值公式:

f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出交点式的系数a=y/(x·x)(y为截距)

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

双根式

y=a(x-x1)*(x-x2)

若ax2+bx+c=0有两个实根x1,x2，则y=a(x-x1)(x-x2)此抛物线的对称轴为直线x=(x1+x2)/2。

③三点式

已知二次函数上三个点，（x1,f(x1)）（x2,f(x2)）（x3,f(x3)）

则f(x)=f(x3)(x-x1)(x-x2)/(x3-x1)(x3-x2)+f(x2)(x-x1)*(x-x3)/(x2-x1)(x2-x3)+f(x1)(x-x2)(x-x3)/(x1-x2)(x1-x3)

与X轴交点的情况

当△=b2-4ac>0时，函数图像与x轴有两个交点。(x1,0),(x2,0);

当△=b2-4ac=0时，函数图像与x轴只有一个交点。(-b/2a，0)。

Δ=b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。

X的取值是虚数（x=-b±√b2－4ac的值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a）二次函数解释式的求法：

就一般式y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c为常数，且a≠0）而言，其中含有三个待定的系数a，b，c．求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a，b，c的方程，联立求解，再把求出的a，b，c的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式。1.巧取交点式法：

知识归纳：二次函数交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)（a≠0）x1，x2分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标。

已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便。

①典型例题一：告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式。

例：已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1，且通过点（2，8），求二次函数的解析式。

点拨：

解设函数的解析式为y＝a(x+2)(x-1)，

∵过点（2，8），

∴8＝a(2+2)(2-1)。

解得a=2，

∴抛物线的解析式为：

y＝2(x+2)(x-1)，

即y＝2x2+2x-4。

②典型例题二：告诉抛物线与x轴的两个交点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解。

例：已知二次函数的顶点坐标为（3，-2），并且图象与x轴两交点间的距离为4，求二次函数的解析式。

点拨：

在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决．由顶点坐标为（3，-2）的条件，易知其对称轴为x＝3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为（1，0）和（5，0）。此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式。2.巧用顶点式：

顶点式y=a(x－h)2+k（a≠0），其中（h，k）是抛物线的顶点。当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a。在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题。在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便．

①典型例题一：告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数顶点式。

例：已知抛物线的顶点坐标为（-1，-2），且通过点（1，10），求此二次函数的解析式。

点拨：

解∵顶点坐标为（-1，-2）