数学分析简明教程答案

第十二章级12.1x2（1）fn(x) ，x(x2xfn(x)sinnⅰ）x(l,l) ⅱ）x(,)1fn(x)1nx,x(0,1)1fn(x)1nxⅰ）x[a,) a0，ⅱ）x(0,)n2xfn(x)1n3x3ⅰ）x[a,) a0，ⅱ）x(0,)

(x)

，xnxn

x[0,fn(x)1xnⅰ）x[0,b]

b0，ⅱ）x[0,1]，ⅲ）x[a,)

a0nf(x)xnx2n，x[0,nnf(x)xnxn1，x[0,n

(x)xlnx，x(0,1) f

(x)1ln1enx，x(,)nnf(x)e(xn)2nⅰ）x[ll，ⅱ）x．解（1）x，x20x2

fn(x)x2x2

x

f(x)x2n2fn(x)fx2n2

x

1n1n2 x21 x21x2n21

N11nNx

fn(x)f(x)x2因此fn(x) 在x(,)一致收敛于f(x)x2（2）x(,)，

f(x)limsinx0

f(x)nⅰ）0n

fn(x)f(x)

xnxl xnxlln

，故Nl1，当nN

fn(xf(x)，因此

(x)sinn在(llf(x)0 ⅱ）020NnN11,xn2 fn(xn)f(xn)sin2120

(x)sinx在(n

f(x)0（3）x(0,1)1

fn(x)

xx

11

f(x)(n)020NnN1Nxnn(01fn

)f(xn)

11

111111

(x)

1

在(01)不一致收敛到fx

x(0,)，fn(x)1nx0

f(x)(n)1ⅰ）01

fn(x)f(x)1nx1nana只须n1

N11nN1

fn(xf(x)

x[a,fn(x)1nx在[a,)(a0f(x)0 1ⅱ）020,NnN1Nxnn0,1fn(xn)f(xn)

1nn

20

(x)

1

在(0,f(x)0x n2x

x(0,)，fn(x)1n3

1

0

f(x)(n)ⅰ）0n2x2 fn(x)f(x)n3

只须n1

N11nN

fn(xf(x)

x[a,n2xfn(x)1n31

在[a,)(a0f(x)010ⅱ）020,NnN1Nxnn0,0f

)f(x)

n2

1n2x

1n3 fn(x)1n3

在(0,f(x)0 （6）fn(x)xn11n

x

f(x)（n

x[0,1]01n1nfn(x)f(x)N21nN

x 1n fn(x)f(x)x[01fn(x)xn1在[01]f(x)x

iix

iiixa,,axnxfn(x)1

0,0x121,x1 2

f(x)(n)ⅰ）0

x1xn fn(x)f(x)1xn

b,x[0,b](b1)Nlogb1n

fn(xf(x)x[0bb1)xnfn(x)1

在[0bb1f(x)0ⅱ）

10,N，nN1N，x1n1n1

[01]f(x)f

)210 0

1 2

(x)

xn1

0,0x11,x在[011,xⅲ）0fn(x)f(x)

1 xn1xn1xn1xn

1,x[a,](a1)anNloga1nN时，

fn(x)f(x)

，所以fn(x)

xn在1xn[a,a1f(x)0

f(x)lim(xnx2n)01n1n

f(x)，x[0,1]

10,N，nN1N，x

[01]fn

)f(xn)

11 112nf(x)xnx2n在[01]f(x)012n

f(x)lim(xnxn1)0

f(x)，x[0,1]nf(x)f(x)xnxn1n

g(x)xn1nn

g(x)0x

，且0x

g(x)0

x1g(x)0x

n

达到[01]上的最大值，于是x[01nn

n n g(x) 1

n1

n n

n

n 0N11，则当nN

fn(xf(x)对[01xnf(x)xnxn1在[01]f(x)0n（10）x(0,1)，

(x)xlnx0

f(x)(n) 0，当0x1时，由于limx 0，故0，使当0

xnn xnxnx N11，则当nxn

时，有0x1x

x01

xlnx在(01f(x)0 x0

(x)1ln1enx0(n)nx0

(0) ln20(n)1n1x0时，由于x1lnenx1ln1enx1lnenxenx1ln2x，而 1nln2xx(n)fn(x)x(n

(x1ln1enx在(fx0x0 x,x00

f(xf(x)1ln21，取N11nN时，

fn(xf(x)xf

(x)1ln1enx在(nf(x

f(x)lim

0

f(x)2nⅰ）0x[ll时，f(xf(x)e(xn)nnl后，由于e

exl)2，故当nl

f(xf(x)e(xl)2nnf(x)f(x)nn

，只须n

lN

lnl1，则当n

f(xf(x)x[llf(x)e(xn)2在[llf(x)0

0,N121

nN1N

n

fn

)f

)11 nf(x)e(xn)2在(f(x)0nfn(x)(n1,2在[ab上有界，并且fn(x)在[abfn(x在[a,b证 由于fn(x)(n1,2,)在[a,b]上有界，故nN,Mn0，使x[a,b]，有

fn(x)Mnfn(x在[abf(x10NnN

fn(xf(x)1

fN1(xf(x)1f(x)

fN1(x)1MN11，从而fn(x)f(x)1MN12对一切nN成立MmaxM1,M2,MN,MN120，则xa,bnfn(x)Mfn(x在[abf(x定义于(abfn(x)

n

(n1,2,)fn(x在(abf(x证明由于nf(x1nf(x)nf(xf(x)1n

fn(x)

nf(x)n

f因此limf(x)f(xxab0，由于1

(xf(x)0n 1N11，nN

fn(x)f(x)nfn(xf(x)对(abxfn

(x在(a,f(xf(x在(abf(xf(x)n[f(x1)f(x)] 求证：在闭区间[,abfn(xf(xf(x1)f证

(x)n[f(x1)f(x)] n

f(x)(n)0f(x在(abf(x在[,ab致连续，故0x,x,

x

f(xf(x)．f(x)f(x)n[f(x1)f(x)]fx

f(x1)f(x)，0n

，即n ，就有

(xf(x)N11，则当nN时

fnxfxx[,abfn(xf(xf1(x在[abRiemannxfn1(x)xfn(x在[ab

fn

(n1,2,)证明f1x在[abRiemann可积，故必有界，即M0,x[abxf1x)Mxxf2(x)x

f1

f1(t)dtM(xa)f(x) f(t)dt

xf(t)dt M(ta)dt M(xa)2xx x

(x)1M(xa)n,n1,2,故x[a,b] (x)1M(xa)n1M(ba)n0(n) fn1(x)0(n．即n

fn(x)0

f(x)，x[a,nN

(x01M(ba)n0(n，故0NnN时

fn1(x0fn(x在[ab问参数

f(x)nxenx

n1,2,nn在闭区间[0,1]收敛？在闭区间[0,1]一致收敛？使 f(x)dx可在积分号下取极限解，当x0时fn(x0,n12，当0x1时fn(x)

xenx

enx

0(n)，故不论参数fn(x)nxenx在闭区间[01f(x)0nf(x)n[enxenx(n)nenx(1nx)n

(xx1

(1)n

ne

1e1nx[0,1]，f(x)n1e1nn故当1时，因为n1e10(nf(x在[01f(x)0n当1

e10，N，nN1n，

[011nn1nfn

)f

)nn

ne

1e1e110fn(x在[01不一致收敛．100fn

(x)dx

1nxenxdxn1

1xd(enx)n1[en0

0n1[en1en1]n2en(n1)n2 2lim0fn(x)dx02lim0fn(x)dx12时， lim0fn(x)dx

f(x)dx0，因此当0

lim0fn(x)dxn7．f(x)nxenx2(n1,2在闭区间[01n

1 f f n证明当0x1f(x)nxenx20n)x0f(x)0n1n1

f 0

fn(x)dx00dx01 1f(x)dx nxenxdx

1enx2d(nx2)1(1en)

0

lim1fn(x)dxlim1(1en)101

fn(x)dxn

n

08.

fn(x)(n1,2在(fn(x在(f(xf(x在(证明fn(x在(f(x，故0N，当nNfn(xf(x)3xfN1(x在(0，0，x1,x2(x1

fN1(x1)fN1(x2)3从而x1x2(，只要x1x2，就f(x1)f(x2)f(x1)fN1(x1)fN1(x1)fN1(x2)fN1(x2)f(x2 f(x1)fN1(x1)

fN1(x1)fN1(x2)

fN1(x2)f(x2)333f(x在(9fn(x)[ab上的连续函数序列，且fn(x)一致收敛于f(x)；又xn[a,bn1,2)，满足limxnx0，求证

fn(xn)

f(x0) 证明f(x是[ab上的连续函数，因而00x[abx

f(x)f(x0)2又limxnx0xn[ab]，故对上述0N1nN1xn而当nN1

f(xn)f(x0)2而fn(x)在[abf(x，故对上述0N2，当nN2x[a,b]

f(x)f(x) NmaxN1N2，则当nN fn(xn)f(xn)2 f(xn)f(x0)2所以，当nNfn(xn)f(x0)

fn(xn)f(xn)f(xn)f(x0 因此

fn(xn)

f(x0)

fn(xn)f(xn)

f(xn)f(x0)22设fn(x)是在(abf(xx0ab

fn(x)an(n1,2,)liman

f(x

n

fn(x)limxx0

fn(x)证明由于fn(x)是在(abf(x，故由函数列Cauchy0N，当n,mNfn(x)fm

(x)2

fn(x)an(n1,2xx0

2

Cauchy收敛准则，知limnn

a，故0N1，当nN1ana3又fn(x)是在(abf(x，故对上述0N2，当nN2xab

f(x)f(x) NmaxN1N2fN

(x)f(x)3

aN

a3

fN1(x)aN1，故0xabx

xabx

fN1(x)aN13f(x)a

f(x)f (x)f(x)

(x)

Nf(x)a，即limn

Nfn(x)limxx0

Nfn(x)

N

fn(x)(n1,2)在[abRiemann可积，且fn(x)在[ab一致收敛于f(xf(x在[abRiemann证明由于fn(x)在[abf(x，故0N，当nNf(x)f(x) x[a,b]f

N

(x)f(x) 4(bx[a,b]fN

4(b

f(x)

fN

(x) 4(bx[a,b]ifN1(x在[abRiemann0,0，对一切分划，当分划的小区间的最大长度时，就有inn

(N1)

i2i其中N1)MN1)mN1)

(x)

(x)(i1,2,,n)

xi1

N

NMi

xi1x

f(xmi

f(xiMimiMM(N1) ，m

m(N1) ， 4(b 4(b

(N1)

i1,2,,n 故当

2(bnnxnn

((N1)

x

2(b

nn

2(b

22(b

(ba)f(x在[abRiemann§12.2 xn1（1） 21 n （2）n

12x(1)n1x（3）2n （4）

11xn1 ．n1a2nxn解（1）x1xn1xxxn1xx

xn xn而

当x1时收敛，故 2n在x1时绝对收敛11x1

xn1xx11xxn1xx1

1x1

xn n1x

x1时收敛，故11

x1

xx

时，级数的一般项分别为

11的绝对收敛区域为(

1，得1x1或1x1，因而当1x1 n

x2x x2xx

n n12x x1x3时，由于2x

绝对收敛 单调上升且有界，由n

n1 n

判别法知n12x1

收敛，即

n1n

绝对收敛．所以绝对收敛域为(,1)1111

,)31，得x11x0，因而x11x0时，1x (1)n1x ， (n)，故级数发散1x 2n11xx0时，级数为2n111 111x0

1，因而级数(1)n 绝对收敛，

1x

2n(1)n1x减有界，由Abel判别法，这时级数2n 绝对收敛(1)n1x

11x所以级数2n

绝对收敛域(0)，条件收敛域x0，收敛域[0,)

11x

1

1a1

a2，由于级数 a2n1a2nxnxn1a2nxnxnxx0收敛，故

1 x0x0时，级数为1nn发nn发

1a2nxn

当a1时由于

xn1a2nx2 n(1x2n

因而

1 x发散．n1a2nxnna1R0a1时，收敛域为（1）(1x)xn，x[0,(1)n1x（2）(1x2

，x(,)

(x) (1x)xkk0

1xns(x)0

0x1x1

（n)3n41020，N，nN1N，xn3n41

[01] 3 sn(xn)s(xn)1 4

1420所以(1x)xn在[01]

n 21

2 n(1)k1x

2n

1x 1

（2）sn(x)(1x2

1x2

1 k n1 x (1)n1 x

1

1x22x21(1x2)ns(x)2x

(n) x 由于sn(xs(x)2x2x(x2n1 n21)(x2n1 n2

f(xf(x)

(2x2)2(1x2n21n求得f(x)的稳定点x0，x ，可判定x0n21nn21nf(x0fn21n

f nf n21n1)n21nn21n(n21n2)n21nn21nn21n

2n2n21n3

（当n1时0(n)

(4n

sn(x)s(x)

f(x)

f

2n1n1)2

2

（n1 故0N1nNsn(xs(x)x

(1)n1xsn(x)在(一致收敛于s(x)

(1x2

在(x敛于和函数s(x) 2x（1）

sinnx，x(,)33n4x（2）1n4x2，x(,)

(1)n(1enxn2x

，x[0,)；sinnx，x(2,)n1x2n 1n5x

，x(,)

(xxn2n2

)，1x22x2enx,x[0,)；

xnlnnx

，x[0,x2x2nx21(n n2

，x(,)x（10）n，xr1x（11）

，x[a,),an4n4x

4x成立，而

4知级数

n3n4x3n4xx2xn4x2xn4x

n1n （２）由 1n4x

2n2x成立，而2n2 故级数1n4x2在((1)n(1enxn2(1)n(1enxn2x（３）[0

2x[0,成立，故nn

n2x（４）

xx

2n

(n2)x2,而级数

1

sinnx在(2,n1

n1x2nnn

对x(,)一致地成立所以 1n5x

2n2 2n

n11n5x(nn2

(xn

xn)

n(x

xn)

n2

1x22且由于

(n(n1)2 n2(n

2(n

n2nn2n

n2

因而

(xxn2n2

在x2121（７）当x0时，enx1nx1n2x21n2x2，所以enx ，故x0时 n2x2x x0显然也成立，故由

2 2 2 2

x2enx在[0

n1n2

（８）f(x)xlnxf(x)lnx1x1x1e1limxlnx0f(1)0f(xx[01

（f(0)0．因而x[01f(x1e|xnlnnx (xln 所

ennenn由D′AlembertM

xnlnnx

x2x2nx21(n（９）因为 n2

( 1)(

1x2n2x21(x2n2x21(nx21 x2n21(n

n1 1n

n1 1n n(n

(n

，x(,)而 收敛，故原级数在(,)一致收敛．n2(nnnn n

n11

xn

x

n

n

n r n

n1r

x因而nxr1x(11)

1nxlimln1

0

1nx x x[a,

(a1N

nN时n

1，从而当nNln(1nx) xn

1an

a而a

收敛，因而

在[a,

(a1cosn2n2x2

，x(,)；（2）

sinxsinnn

，x[0,2]；x（3） ，x(1,x （4）nsinx，x(,)2nsin1

x(0,) 3n3n2e3n2ex

(1)xn

，xann

，x[1,0]

，x[1,1]2n解（1）由于级数cos2n ncos2k k2

3

2sin

3n2x有 ，因而在(,)一致有界，对每一固定的x(,3n2x n2xn2x

一致趋向于0，因而有判别法,知

cosn2x2 在(n2x2由于级数sinxsinnxnsinxsinkx

x 2n1 x 2n1k

k

2222 2222nx有界2，因而在[0,2]一致有界，对每个固定的x[0,2nx

n在[02]

n nx

sinxsinnn 级数(1n的部分和序列(1k有界1，因而在(1,

k

列xnx1,单调递减且一致趋向于0，故xn在(1,

bn(x)

nn，n

(x) ，则显然n1bxnsin x

(x) k2

1，而an(x)

nsin

对每个x

x)，有1n1nsinn

0，因此

(x)

nsin

在(0 判别法，知nsinx在(13n 12 12 13n2n

2n ，而级数 收敛，故2n 3n

x3

n1x3

3nx0,)绝对收敛，从而收敛．但由于010NnN1N1 22xn3n01 2213nn13nn

1 因而级数的一般项2 在x(0,)不一致趋于0因而2nsin1在 1

3n

3n3n2ex取bn(x)(1) ，an3n2ex bk(x)(1)

(n)k k3n2ex3n2ex

x:xa1an(x)1

0(n)

3n2e3n2ex3a(x) x

(1)3n23n2ex

一致趋于0，因此，函数项级数 3n3n2exxax(1xn)1xx(1xn)1xnkk取an(x) ，bn(x)x，则n，有bk(x)nkk

2 xnnn而an(x) 单调下降且趋于0，因此在[1,0]一致趋于零，所以nn

在[10取

(x)(1)nx2n1

(x)

2n

，则

(x)单调下降且在[1,1]一致nnn

nnk

nn(x)(1)kx2k1k

x3(1(x3(1(x2)n

2Dirichlet

在[112n证明级数

(1)n x在(x并非绝对nx x收敛；而级敛(1x2n虽在(证明

n1

，则

b(x)

1bn

(

an

n

nk n

kan(x)

n

对每个x单调递减，且由于

a(x)10n)

(1)n x在(一nx致收敛．但xN，当nN时，有nx2，所以，当nN

1nxn1nx

11

(1)n 发散，即

(1)n x并非绝对收敛．n1

nx

nx x而对级数(1x2nx0x0

x x(1x x(1x2 (1x2)n

1 x所以级数(1x2nx x

x

1s(x)n1(1x2

1x21

1x

sn(x)s(x)1(1x2)n1(1x2)n lim1

1nn

e3，故N1n

1

1nn

3．0

10，N11nnmaxN1,N1N，xn1n

sn(xn)s(xn)11

1

30n1 n x因此(1x2n在(设每一项n(x)都是[a,b]上的单调函数，如果n(x)在[a,b]的端点为绝敛，那么这级数在[ab证明由于n

都是[ab上的单调函数，不妨设为单调增函数，则x[ab]， (a)(x)(b)，因此x[ab(x)max(a),( n

在[ab

,

收敛，由判nn法，知级数n(x)在[a,b]一致收敛 若un(xun(x)cn(xxX，并且cn(x)X 证明un(xX证明由于cn(xXCauchy原理，0xNn n只要nN，p，x[ab

ck(x)ck(x)，因此当nN时，pk kx[ab

nuk(x)k

nuk(x)k

nck(x，同样由Cauchykun(xX上一致收敛；又由于xXun(x)cn

，而cn(x)un(x§12.3（1）xn

1x1；n xnn1

1x1；xnn（3）2n

x1（4）(xn)(xn1)

0x （5）1n2x2

x0（6）

n，nn

x （7）1n4x2

x0 x（8）(1x2)n

x解（1）x011

1

r1xrs(xxnxr连续，由和函数的连续性知s(xxrx0x011的任意性知级数所表示的函数在(1,1（2）

[1,

r0

r

，则在[11

(x)xn

b(x)

xk

a(x)1an

，则n， n

n1 n

nnkn

k 因而在[1,

nn1n

xns(x)n

在[1,rs(x在[1,rs(xx0[1,rx0[11)xnnxnxnnxn

xn

n n

nn

判别法知nnx在区间[11n2x1

在[1,1]连续，因 nn1n

（4）

x0,)，有

1

收敛，因此(xn)(xn

n(n

n1n2 (xn)(xn1在(0,(xn)(xn1在(0, 续，由连续性定理，级数(xn)(xn1所表示的函数在(0,（5）x0：

00

xx ，因为22收敛，故 21n2x2 1n2 n2 n 1n

x x

xxx

0

1n2x x0

0的任意性，知级数1n2x2x0nn

在(

1n，级数1

nnnn

()一致收敛，因而级数

n33nn

n1n3所表示的函数在3(x0x000，使0

x0x1n4x

nn3nnn3

1 而n3收敛，故1n4x2x一致收敛，又级数的每一项1n4x2x 续，故级数1n4x2xx0x0

0 任意性知级数1n4x2x0s(x)

x 1x21

1x0x0s(0)01x xs(xx0x0间断，且为可去间断点，即级数(1x2n在(00,x0f(x)

sinnx在(由于级数的每一项sinnx在(内连续，且x1 而1收敛，使用判别法，知级数sin 而在 n1 f(x)

sinnx在( 2又2

ncosnx n2

cosnx对每一个n在(1cosnx

f(x)

1cosn2

， n2

f(x

n1n2

enx1设f(x) 21f(xx0f(xx0证明（1）x0时，nx1，故nenx1

1

1由1收敛及由

enx

在[0)一致收敛，级数的每一项

都在n1n2

n11n2

1 enx1[0,)连续，因此f(x) 2在[0,)1enx

(2)x00,)r0rx0，而1n2

1

，由于n，当x[r,

ne1n

ne1n

1

e2e

(n(n nenr 1n

enx 故 enr收敛，由判别法知

在[r,n11n

n11n2

1n2

[r,

x(0, f

1

)连续特别在0连续由

x0(k

(1)knkenx若设

(x)

1

x0存在，即

f(x)x

k次可微，则(1)knkenx

(1)k1nkx00，同样00rx0，而

1n2

1[r,连续，且由nx[r,((1)k1nk1e1n

nk1n2

nr及(n(n1)k1 nke1(n 1n

1， nk

(1)k1nk1知级数 1

M

1n2

在[r,因此有f(kx)

f(k1)(x)

(1)k1nk1

存在且连续于[r,)，特别地在点x00f(xk1x00f(xk1f(xx0证明nenx在(0,0证 x0，0，使x0，在x[,)时级数的项nenx连续，且0 nenxnennenMnenx在[ 0所以nenx在[连续，特别地在0

,)连续，由

0的任意性，知nenx在(0,设un(x在(a,b

un(x)（n1,2）在[abun(x在[a,bs(x)un(x在[ab证明（1）0un(x在(ab内一致收敛，Nx无关，nN，pxab

un1(x)un2(x)unp(x)2由于un(x（n1,2）在[abxaxbun1(a)