文科数学-第4篇讲

第4 知识梳理证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线定理

证明垂直问题，常用数量积的运算性a⊥b⇔

(a，b均为非零向量求夹角问题，利用夹角公 (θab的夹角

cos

向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利辨析感悟．向量与其他数学知识的交已知△ABC中，BC边最长→＝a＝b，且则△ABC的形状为钝角三角形 (×在四边形ABCD

，且

＝0ABCD是矩形 (× 调研改编)在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足＝4，则点P的轨迹方程是 ( 2．平面向量在物理中的应作用于同一点的两个力F

2的夹角

3，且|F2|＝5，则F1＋F2大小为 已知一物体在共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg的作用下产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功为 向量兼具代数的抽象与严谨和几何的直观与形象，向量要注意变换思维方式，能从不同角度看问题，要应考点一向量在平面几何中的应【例1】(1)(2013·2，E为CD的中点，则→→ ＝60°E→＝1(1)法一：把向量→与分别用基底→ 立平面直角坐标系⇒求向量→，→的坐标 (2)把向量与分别用基底→表示⇒利用→→＝1

的一元二次方程⇒ 析

二以A为原点建立平面直角坐标系(如∴→ 从而(2)由题意可知，＝→

1→＋

因为→→＝

→ 1 → 即→ 1→→1→AD＋2AB·AD－2AB

→→1

2答案 2规律方法用平面向量解决平面几何问题时，有两种方法：基向量法和坐标系法，建立平面直角坐标系时一般利用已知的垂直关系，或使较多的点落在坐标轴上，这样便于迅速解训BAD＝60°，E3＋ 3.3

2424(2)在△ABCP，满足→＋→＝→，则 32 32 解析(1)建立如图平面直角坐标系则A－

2B0，－ ∴

4∴ →

4∴→

AC·AE＝

4由已知可得＝→， ∴PAC的三等分点(

答案 【例2 设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cos(cosβ，－4sin若tanαtanβ＝16解因为a与b－2c垂直，所以a·(b－2c)＝4cosαsin8cosαcosβ＋4sinαcosβ＋8sinαsin因此b＋c＝(sinβ＋cosβ，4cosβ－4sinβ)sinβ＋cossinβ＋cosβ2＋4cosβ－4sin＝17－15sin 4所以|b＋c|的最大值为4 4证明由tanαtan 4cosα＝sin

sin 4cos规律方法(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三

λ的最小值是－2(1)a·b＝cos

x－sin

x＝cos

2

2·sin＝2＋2cos cos2x＝2|cos ∵x∈0，2，∴cos ∴|a＋b|＝2cos(2)f(x)＝cos2x－4λcosf(x)＝2(cos ∵x∈0，2，∴0≤cos ①当λ<0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与 f(x)即

λ>1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)即1－4λ＝－3，解得λ＝5，这与λ>1 综上所述 3面上一求动点P的轨迹方程EF为圆N：x2＋(y－1)2＝1的任一条直径，(1)P(x，y)→1→→1

1→

即

P在椭圆上，其方程为(2)

→－

→－

＝(－→－

→－→(－→2－→2＝ P是椭圆16＋12＝1x2x则有0

y0＝1y

00 所以→

1NP

＝－3(y0＋3)

＝－3时，2故3当y →2取得最小值为 3(此时x＝故→3 时 的最小值为 规律方法载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决工具作用：利用a⊥b⇔a·b＝0；a∥b⇔a＝λb(b≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方M

→M解M(x，y)为所求轨迹上任一点，设0)，则

由PA·AM＝0，得由 3AM＝－2MQ，3

把

1 ＝4x所以动点M的轨迹方程为y＝1 4x向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题．通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决创新突破4— 平面向量与圆的交汇问a，b是单位向量【典a，b是单位向量c满足c满足

，则|c|的最大值 突破1：根据条件❶转化到平面直角坐标系中突破2：把条件❷坐标化突破3：把坐标化后的式子配方整理可得到圆的方程突破4：利用圆的知识求解析a⊥ba∴可设 而|c|＝x2＋y2，∴|c|的最大值为|OM|＋1，即|c|max＝2＋1. [感悟]平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：一是“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．本题采用了“形化”与“数化”的结合，利用

→＋→＋→ 0＝，则

→ 22

333 3

→

OA＋AB＋AC＝0B＝60°→且|CA|＝3(如图所示

3所以→ →3CA·CB＝|CA||CB|cos30°＝3×2×CO OA＋yOB，其中x，y∈R，则x＋y的最大值 解析法一

x B－2，2 设∠AOC＝αα∈03 C(cosα，sin由 OC＝xOA＋y cos33sinα＝所以x＝cosα